ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, № 8, с. 99-103
УДК 530.145
РОЛЬ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА В УГЛОВОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ФОТОНОВ ПРИ АННИГИЛЯЦИИ ПОЗИТРОНА И ЭЛЕКТРОНА
© 2015 г. А. Н. Волобуев*, А. П. Толстоногов
Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева, 443086 Самара, Россия *Е-таП: volobuev47@yandex.ru Поступила в редакцию 29.12.2014 г.
Рассмотрены причины возникновения углового распределения фотонов, образующихся при аннигиляции электрона и позитрона. Показано, что угловое распределение фотонов является следствием эффекта Доплера в системе отсчета центра масс электрона и позитрона. В системе отсчета, связанной с электроном, угловое распределение фотонов отсутствует, но заменяется доплеровским изменением частот фотонов. Полученные результаты применены к анализу работы позитронно-эмиссионного томографа.
Ключевые слова: аннигиляция, электрон, позитрон, фотон, эффект Доплера, угловое распределение фотонов, позитронно-эмиссионный томограф.
БО1: 10.7868/80207352815080168
Анализ углового распределения вылетающих фотонов при аннигиляции позитрона и электрона имеет важное значение для проектирования позитронно-эмиссионного томографа, представляющего собой самое современное диагностическое устройство, используемое для поиска новообразований на самых ранних стадиях их появления.
К сожалению, механизм процесса аннигиляции электрона и позитрона неизвестен. П. Дираком была предложена модель этого процесса.
Согласно представлениям Дирака [1, 2], аннигиляцию можно рассматривать как переход электрона из состояния с положительной энергией в состояние с отрицательной энергией. Согласно теории вакуумных дырок Дирака, позитрон представляет собой дырку в поле вакуума. Взаимодействие электрона и позитрона, их аннигиляция — это заполнение вакуумной дырки электроном. При этом выделяется энергия в виде двух квантов электромагнитного излучения.
Квантово-электродинамические расчеты процесса аннигиляции были проведены довольно давно, неоднократно проверялись и перепроверялись, в том числе и авторами статьи.
В результате этих расчетов были получены две формулы для дифференциального эффективного сечения рассеяния квантов электромагнитного излучения в телесный угол dQ..
Первая по времени формула была получена Гайтлером [2]. Эта формула имеет вид:
йъ = ■
4 (4п)2 к0 р
(0 \ 2 2 2 2 к ) + р + р БШ 6
(к0)2 - р2ОС82 6 ((к0)
1 4 • 4 п 2р БШ 6
2 2 , р СОБ (
(1)
йП.
Формула дана в обозначениях [3], где имеется ее подробный вывод. Использована так называемая рациональная система единиц, в которой скорость света и постоянная Планка равны единице: с = й = 1. В этой системе единиц энергия, импульс и масса имеют одну и ту же размерность.
В формуле (1) е — заряд электрона (или позитрона с противоположным знаком), к0 — энергия фотона, р — импульс электрона, 9 — угол между импульсами электрона и одного из излученных фотонов. Формула (1) получена при условии суммирования по всем направлениям поляризации фотонов.
При выводе (1) использована система отсчета, связанная с центром масс взаимодействующих электрона и позитрона, в которой их импульсы равны по модулю и противоположны по направлению: р! = -р2 = р. Импульсы фотонов также равны по модулю и противоположны по направ-
4
е
х
99
7*
лению: к! = -к2 [2, 3]. Отметим, что в этой системе отсчета условия наблюдения обоих фотонов одинаковы.
Вторая формула была предложена несколько позже Фейнманом [4]:
йа =
4 2
е к»!
64тс24т2 |рн
к + к + 2 - 4 (е1е 2 )2
Ю2 Ю1
т) йП.
(2)
Формула (2) записана в обозначениях [4]. Как и в предыдущем случае, использована рациональная система единиц.
В формуле (2) в! и в2 — единичные векторы поляризации излученных при аннигиляции фотонов, ю1 и ю2 — частоты излученных фотонов, т — масса электрона (или позитрона), |р + — модуль импульса позитрона, Е+ — его энергия.
Формула (2) похожа на формулу Клейна—Ни-шины для эффекта Комптона [4, 5]. Главное отличие в том, что перед третьим и четвертым слагаемыми в квадратных скобках знаки изменены на противоположные.
Важнейшим отличием при выводе формулы (2) является использование другой системы отсчета по сравнению с выводом формулы (1). Формула (2) выводилась в системе отсчета, в которой электрон покоится, а движется позитрон.
Эта система отсчета в целом эквивалентна системе отсчета, связанной с позитронно-эмисси-онным томографом. Поэтому назовем эту систему отсчета лабораторной. Электроны объекта, исследуемого в томографе, в основном находятся в связанном состоянии. Позитроны же возникают в результате Р-позитронного распада радиоактивных элементов. Поэтому электроны в лабораторной системе отсчета можно считать неподвижными (если исключить хаотическое тепловое движение молекул).
Обе формулы (1) и (2) выводились с помощью стандартной диаграммной техники Фейнмана и диаграмм второго порядка теории возмущений. Однако результаты вывода существенно различаются.
Во-первых, формула (1) предполагает довольно сложное угловое распределение аннигиляци-онных фотонов. Причем это распределение связано только с импульсом электрона, угол 0 присутствует только в комплексе с импульсом р. В формуле (2) угловое распределение фотонов в явном виде отсутствует.
Во-вторых, формула (2) предполагает возможность различной энергии фотонов при аннигиля-
ции, что запрещается выводом формулы (1) вследствие к 1 = -к 2.
Поэтому прежде всего возникает вопрос, какова природа углового распределения аннигиляци-онных фотонов в (1)? Связано ли это распределение с самим процессом аннигиляции, т.е. переходом вещество—энергия, либо определяется какими-то другими эффектами? Сохранится ли данное угловое распределение фотонов при переходе к другой системе отсчета, например, связанной с позитронно-эмиссионным томографом?
Для исследования причины угловой зависимости дифференциального эффективного сечения (1) рассмотрим промежуточное выражение вывода, которое еще не просуммировано по направлениям поляризации фотонов [3]:
йа = ■
(к0 )4
(3)
128п2рк0 [(рк1 )(рк2) _ 4 (к0)4 (ре1)) (ре2)) _ (Рк1 )2 (Рк2)2
4(к0)2 (е1е2)(ре1)(ре2) _ )21 (Рк1 )(рк2) 112) ]
где к1 и к2 — импульсы фотонов. Переменные в квадратных скобках — импульс электрона, импульсы фотонов, единичные векторы поляризации фотонов — записаны в виде 4-векторов.
Формулу (3) несложно преобразовать к виду:
1 4 х
128п рк
(4)
йа =
(к0 )4
(рк1) (рк2 )
•■(к")
2 (ре1 )(ре2) (рк1) (рк2)
■ (е1е2)
й П.
Перейдем в (4) к пространственным векторам,
используя правило (аЬ) = а°Ь° - аЬ, где а и Ь — трехмерные векторы, компоненты которых изменяются ковариантно, а0 и Ь° — контравариантно изменяющиеся компоненты 4-векторов, в данном случае энергетические компоненты.
Переходя к трехмерным векторам, а также учитывая отсутствие контравариантных компонент у поляризационных 4-векторов е0 = 0, выражение (4) можно представить в виде:
х
4
1
е
РОЛЬ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА В УГЛОВОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ФОТОНОВ
101
Рис. 1. Наблюдение фотонов, испускаемых движущимся источником.
da =
2 (k о )
1
128п2pk0
(k0 )4
(k0)4 - (Pki)2
(Pe1) (Pe2 ) (k0)4 - (Pkl)
+ (ele 2 )
dQ =
i
128n2 pk°
1
1-
2
Pki
v(k ° )
(5)
iPeiKM + (eie 2)
(k0) ' л2
1-
Pki
v(k") ,
dn.
При выводе (5) также использовано условие вылета фотонов в строго противоположных направлениях к 2 = -к 1.
Учитывая = к0, а также в соответствии с законом сохранения энергии ск0 = шс2 (для наглядности вводим внутри скобок скорость света с = 1),
в формуле (5) заменим
Pki = — cos 0, где V — ско-
(k")2 '
рость электрона. В результате получим:
d а =
_j__el
128п2 pk0
1 - ( cos (
(Pe1 )(Pe2)
1 - (cos(
(k0 )2
+ (e1e2)
(6)
da
скорость движения позитрона. То же самое относится и к величинер в коэффициенте перед скобками. В данной системе отсчета формула (6) значительно упрощается:
d а =
1
1
128п2pk0 |1 -((cos(
V,
- (e1e2)2
d. (7)
Исследуем вспомогательную задачу.
Наблюдатель 1, находящийся в "неподвижной" (связанной с Землей) системе отсчета (рис. 1), рассматривает некоторую движущуюся со скоростью V частицу 2, которая в определенный момент времени излучает два противоположно направленных кванта. При V = 0 частота квантов равна ю0. Угол между скоростью частицы и направлением распространения одного из квантов равен 0. В направлении наблюдателя частица имеет составляющую скорости V cos 9. За счет эффекта Доплера квант, движущийся в направлении наблюдателя, будет обладать повышенной частотой [6]:
®1 = ®о
1 - —2
2
С
1 -Vcos (
(8)
Для кванта, движущегося в противоположном направлении, будет наблюдаться так называемое "красное смещение":
®2 = Юо
V
1 -
—2
1 + Vcos(
С
(9)
Перейдем в (6) в лабораторную систему отсчета, предложенную в [4], связанную с электроном. В этом случае р = 0, а V можно рассматривать как
Используя (8) и (9), найдем величину комплекса
— + — + 2, который входит в формулу (2):
Ю2
т. (т, + т~ )2 /I
(10)
+ ®2 + 2 = (ю1 + ю2)
Ю2 Ю1
Ю1Ю2
1 - (( cos (
2
4
1
2
С
2
Д2
d а =
1
128п2 pk [4ю1
1+ ^ + 2 |-(в1в2)2
d Q.=
1
128п2 4pk0
®i + 2 - 4 (e1e2) ю2 ю1
(11)
d D..
ю2 = ki = 1 - V cost ю1 k1 1 + V cos<
(12)
В [7, 8] предлагается следующее соотношение:
v2 _
E+ - p+ cos <
k1
(13)
m
(14)
Рис. 2. Принципиальная схема регистрации фотонов в позитронно-эмиссионном томографе.
Отметим, что различие в частотах квантов в рассматриваемой задаче определяется различием в условиях наблюдения этих квантов: один квант движется к наблюдателю, другой удаляется от него.
В формуле (7) фактически реализуется рассмотренная вспомогательная задача. Под движущейся частицей подразумевается позитрон, а наблюдатель находится на "неподвижном" электроне. Поэтому, подставляя (10) в (7), найдем:
Учитывая E+ = m и p+ = mV, находим: k2 = 1 - V cos 0.
К
Формула (14) несколько отличается от формулы (12). Это связано с тем, что она получена в рамках первого приближения теории возмущений. Поэтому она принципиально неточная. Формула (12) следует из точных формул эффекта Доплера. Таким образом, оставаясь только в рамках первого приближен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.