РОЖДЕНИЕ е-е+-ПАР ФОТОНОМ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ В СИЛЬНОЗАМАГНИЧЕННОЙ ТЕРМАЛЬНОЙ БАНЕ
М. А. Дунаев* Н. В. Михеев**
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова 150000, Ярославль, Россия
Поступила в редакцию 2 мая 2011 1".
Рассматривается процесс рождения е~е+-пар фотоном при его распространении в термальной бане как в условиях без магнитного поля, так и в сильном магнитном поле (В 4.41-101л Гс). Вычислена длина свободного пробега фотона высокой энергии, распространяющегося сквозь термодинамически равновесный фотонный газ вдоль силовых линий магнитного поля так, что процесс распада 7 —> с~с+ кинематически закрыт. Показано, что сильное магнитное поле подавляет вероятность процесса 77' —э- с~с+. Рассмотренный процесс может быть полезен при анализе возможных механизмов генерации е-е+-плазмы в окрестностях полярных шапок магнитаров.
1. ВВЕДЕНИЕ
Существует целый ряд астрофизических объектов, где напряженность магнитного поля может достигать значений 1014 — 1016 Гс, что значительно превышает напряженность так называемого критического поля Ве = т2/е « 4.41 • 1013 Гс, где m масса электрона1^. Среди таких объектов можно выделить, например, магнитары и взрывы сверхновых звезд.
В условиях сильного магнитного поля некоторые процессы, кинематически запрещенные в вакууме, становятся допустимыми. Среди них следует указать распад фотона на е-е+-пару, который может быть ответствен за рождение е_е+-плазмы. В ряде работ [1, 2] показано, что в условиях сильного (В В(:) магнитного поля данный процесс может быть подавлен по сравнению с процессом распада фотона на пару более мягких фотонов, 7 —¥ 77, который также запрещен в вакууме. Это имеет место, даже несмотря на то, что однофотонное рождение пары является процессом первого порядка по теории возмущений, а распад фотона на пару фотонов третьего.
Сильное магнитное поле является оптически ак-
E-mail: yarosla'fflrambler.ru E-mail: mikheev(&4miyar.ac.ru Здесь и далее используется система единиц, в которой с = кв = h = 1.
тивной и весьма плотной средой с массовой плотностью
8тг см3\Ю16Гс;
Следует отметить, что сели фотон с энергией и> и проекцией ц- импульса на ось г, которая направлена вдоль поля, движется под острым углом к магнитному полю В так, что </| = и/2 — < 4т2, то процесс 7 е~е+ оказывается кинематически запрещенным. Обычно полагается, что при движении фотона в магнитном поле с искривленными силовыми линиями угол между векторами qиB увеличивается, а ц- уменьшается так, что величина могла бы превысить пороговое значение 4т2. Однако, как было отмечено в работах [3 6], учет дисперсии фотона в сильном магнитном поле приводит к специфическому явлению захвата фотона магнитным полем. Таким образом, если фотон родился в кинематической области < 4т2, то он в ней и останется, несмотря на искривление силовых линий магнитного поля.
В связи с этим становится интересным процесс столкновения фотона, летящего под острым углом к магнитному полю (</| < 4т2), с мягким термальным фотоном в сильном магнитном поле. В данной работе рассматривается процесс рождения е-е+-пары фотоном большой энергии при его распространении в термальной бане как в условиях без поля, так и в сильном магнитном поле. Показано, что сильное
магнитное поло оказывает подавляющее влияние на данный процесс.
2. РОЖДЕНИЕ е"е+-ПАР ФОТОНОМ В ТЕРМАЛЬНОЙ ВАНЕ В ОТСУТСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Рассмотрим задачу о рождении е-е+-пар фотоном высокой энергии, распространяющимся сквозь термодинамически равновесный фотонный газ с температурой Т. Процесс
где р и р' импульсы электрона и позитрона, описывается двумя диаграммами Фойнмана, изображенными на рис. 1. Используя диаграммную технику Фойнмана, нетрудно показать, что амплитуды, соответствующие диаграммам, имеют вид
М{1) = е2и(р)ё(ч)
р — ц + т
(р-ч)2
■ т.
Нч')и(-р')
(1)
м(2> = м(1>
где и(р) биспинор, описывающий электрон (позитрон), черта над буквой дпраковское сопряжение. ё = (е^о^), £^(4) и Нч) векторы поляризации фотонов, матрицы Дирака.
Квадрат амплитуды процесса, просуммированный по поляризациям электронов j, / и усредненный по поляризациям фотонов А, А', хорошо известен и имеет вид [7]
£
А, А
= 8е4
1м'1) + М'2)
т"
т"
п — т2 / —
т"
т"
т"
í — т2
1 / и_
I Ч. / — III2
II — III
I — т2 и — т2
(2)
е (р)
Рис. 1. Диаграммы Фейнмана, описывающие процесс 77' е~е+
где были введены переменные Мандсльстама I = = (д -р)2, и = (д — р')2.
Сечение данного процесса после усреднения по поляризациям начальных фотонов имеет вид [8]
( \ 7ГГ-Г (Л
т2
2 V
■ 1п ■
1-(-
(3)
где введена переменная V = — 4т2/л\ имеющая физический смысл скорости электрона (позитрона) в системе центра инерции, а = 1/137 постоянная тонкой структуры.
Зная выражение для сечения <т, вероятность процесса в единицу времени можно представить в виде интеграла по импульсам термальных фотонов:
(1?'(/
И'0 =
(271
и! и/ -1
гНЯсУ)
(4)
где /(и/) = [ехр(и//Т) — 1]^ функция распределения термальных фотонов по энергиям, и; и и/ соответственно энергии жесткого и термального фотонов, а переменная Мандсльстама я = (д + ц')2.
Изучение процесса рождения фотоном е-«^-пары при его распространении в термальной бане имеет долгую историю (см., например, работы [9 11]), однако при нахождении вероятности процесса интегрирование по импульсам термальных фотонов обычно проводится с учетом различных приближений. Нами показано, что для изотропного термального распределения задача значительно упрощается и вероятность процесса в единицу времени (4) может быть представлена в виде однократного интеграла:
з
И'и = п'2 | —
т
(5)
1
Р0{а) = _£н2 Г
7Г .7
111
1 — ехр
1 -1-2
х [(3 — <>4)Л'(<>) ^ 2 + <>2
г"(/г
(1-й2
(6)
где введены переменная и = т2 /и>Т и функция
1 1 + ч> ^ 2о 1 - с Индекс «0» означает, что расчет проводился без учета магнитного поля.
Подчеркнем, что при выводе формул (5) и (6) не использовались какие-либо кинематические приближения.
Для случая, когда температура фотонного газа равна 1 кэВ, длина свободного пробега фотона /° = = 1/И"° изображена на рис. 2 (кривая, соответствующая В = 0).
см
100 1000 ш, ГэВ
Рис.2. Зависимость длины свободного пробега от энергии фотона, распространяющегося сквозь термальную баню с температурой Т = 1 кэВ для реакции 77' —¥ е~е+. Для ветвей графика, соответствующих случаю сильного магнитного поля предполагается, что фотон распространяется под острым углом к силовым линиям магнитного поля так, что выполняется условие </м <С тп2
3. РОЖДЕНИЕ е"е+-ПАР ЖЕСТКИМ ФОТОНОМ В ЗАМАГНИЧЕННОЙ ТЕРМАЛЬНОЙ ВАНЕ
В данном разделе рассматривается процесс 77' —¥ е~е+ при распространении жесткого фотона в замагниченной термальной бане, когда параметры задачи температура Т фотонного газа, напряженность В магнитного поля и энергия и; жесткого фотона связаны соотношением
Г2 -С т2 -С еВ,и/2.
(7)
Как известно, сильное (В Вс) магнитное поле кардинальным образом меняет закон дисперсии фотонов. Состояниями с определенным законом дисперсии являются фотоны с поляризациями [3, 12]
r(i) =
-{4f)c
г(2) =
ЛчФ)с
(8)
где tp = Faß/B, ф = Faß/B, Faß тензор электромагнитного поля, а Faß = ea(illvFiLV¡2 дуальный ему тензор. В данном выражении использовалось разложение 4-вектора на продольную и поперечную компоненты:
i/ц = (tJ,0,0,i/t), q_l = (0,qx,qy,0), q2 = q\ - q2±.
Множители \pZ\ и s/Z-2 в (8) учитывают перенормировку волновых функций фотонов [3, 12]:
z-1 = 1
ЭПд
dq2 '
О)
где Пд собственные значения поляризационного оператора фотона моды А = 1,2. В пределе сильного магнитного поля в кинематической области (Ч\\<Ч± ^ 4т2) эти коэффициенты можно найти из выражений [12, 13]
В
2Г1
1
— (In-
Зтг V Вг.
1.79
^ а В а Зтг Вс Зтг
, в In -—
-ß,
1.79
(Ю)
Видно, что перенормировочный коэффициент \J~Z2 может существенно отличаться от единицы, особенно при полях В ~ 10001?с, в то время как отличном коэффициента \[2\ от единицы можно пренебречь.
Рассматриваемый процесс изображается теми же диаграммами (см. рис. 1), однако в данном случае волновые функции электронов описываются решениями уравнения Дирака в магнитном поле. В пределе сильного магнитного поля электроны и позитроны занимают основной уровень Ландау и выражения, описывающие их волновые функции, значительно упрощаются. Для положительно-частотного решения (электрона) в калибровке А1Л = (0,0,хВ,0), где магнитное поле направлено вдоль осп г, имеем
\/2poLxLy
и И = ип Т(0,
Up„ = 0, s/Po + m, 0,
Р-
s/PÖ
тп
Т(£) = ( '-^j охр
(Н)
(12)
(13)
(14)
где £ = \/еВ(х + ру/еВ), Ь^ нормировочная длина вдоль оси г, при этом нормировочный объем V = ЬхЬуЬДля отрицательно-частотного решения уравнения Дирака, соответствующего позитрону, выражение для волновой функции получается из (11) (14) сменой знака у энергии рд и компонент импульса ру, р- частицы.
Для вычисления лидирующего вклада будем использовать пропагатор электрона в пределе сильного поля в виде частичного фурье-разложония в продольном подпространстве (0,3):
¿е В
5'(х, у) = —— охр /Ф(.г. у)] охр 2тг
<Рр\\ охр[—г(/)(х — у))ц] (27г)2 р1 - т2
еВ
(х± ~У± )'2
(щ + т)П_. (15)
Здось
Ф(.(;,.(/) = -еВ^г + У1)(х2 -у2)/2
калибровочно- и трансляционно-нсинвариантная фаза, П_ = (1— /7172)/2 проекционный оператор, Р = (Р/Л11)^ (12Р\\ = ФоФз-
Использование указанного фермионного пропага-тора приводит к тому, что при вычислении лидирующего вклада амплитуда данного процесса равна нулю. если по крайней мере один из фотонов имеет (1)
поляризацию еа .
Рассмотрим более детально процесс 77' —¥ е~е+. когда оба фотона имеют поляризацию еа . В данном случае можно выделить две кинематические области, обусловленные законом дисперсии. Будем полагать, что жесткий фотон движется под острым углом в к силовым линиям магнитного поля (0 < в < 2т/и;) так, что < 4т2 и процесс 7 в~в+ кинематически запрещен. Напомним, что в данной кинематической области имеет место «захват» фотона силовыми линиями магнитного поля [3 6].
5'-матричный элемент и амплитуда процесса М-22 в данном случае связаны соотношением
5'.
—- = г62(р^ +р'и - (Щ - Ш )б(р-2 +р2 - Ц2 — Ч2) X
(2тг
х (2ц¡V
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.