КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2012, том 50, № 2, с. 158-165
УДК 521.14
РЯДЫ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ВСЕХ ПОРЯДКОВ ОТ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА ПЛАНЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В СПУТНИКОВОЙ ГЕОДЕЗИИ И КОСМИЧЕСКОЙ НАВИГАЦИИ © 2012 г. М. С Петровская, А. Н. Вершков
Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, г. Санкт-Петербург
petrovsk@gao.spb.ru Поступила в редакцию 24.09.2010 г.
Построены ряды сферических функций для производных всех порядков от гравитационного потенциала любого объемного тела, включая Землю, Луну и другие планеты. Эти ряды имеют общую структуру, такую же простую, как и сам потенциал. Они отличаются друг от друга, а также от ряда для потенциала только численными коэффициентами при сферических функциях, степенью нормирующего множителя перед суммой двойного ряда и пределами суммирования. Построенные ряды могут найти применение во многих задачах небесной механики, спутниковой геодезии и космической навигации.
1. ВВЕДЕНИЕ
В качестве гравитирующего объекта, представляющего наибольший интерес, рассматривается Земля, а полученные результаты могут быть в равной степени применены к любой другой планете.
Общепринятой наиболее простой формой представления гравитационного потенциала планеты является ряд сферических функций
V ^l^J I ^ n,m
a \r
n=0 m=0
n+1
Pn m(sin ф) X X (Г cos mX + S„m sin mX),
(1)
где ц = GM — гравитационная постоянная, умноженная на массу Земли, a — большая полуось общего земного эллипсоида, r, ф, X — сферические координаты (геоцентрическое расстояние, широта и долгота). Произведения Pnm(sin ф) на cos mX и на sin mX представляют собой сферические функции степени n и порядка m, где Pnm(sin ф) — полностью нормированные присоединенные функции Лежандра, а Cnm и S — соответствующие гармонические коэффициенты, называемые стоксовыми постоянными.
Наиболее распространенная нормализация приведена, например, в [1].
Набор стоксовых постоянных при фиксированном верхнем пределе N значений n определяет модель гравитационного поля Земли. Эти модели используются при решении широкого круга научных и практических задач.
Рассматривается прямоугольная геоцентрическая система координат, связанная с Землей, в которой ось г представляет собой среднюю ось вращения Земли, ось х направлена вдоль линии пересечения плоскости Гринвичского меридиана с экваториальной плоскостью и ось y направлена к востоку.
Прямоугольные координаты выражаются через сферические координаты по формулам:
х = r cos ф cos X, y = r cos ф sin X, z = r sin ф. (2)
Для производных от гравитационного потенциала первого и второго порядков относительно координат х, y, г известны математические выражения в виде функций сферических координат и стоксовых постоянных. Однако эти выражения имеют очень сложную многоступенчатую структуру.
Вместо полного потенциала, представленного в (1), будем рассматривать возмущающий потенциал T, получающийся из потенциала Vпосле исключения из него гармоник нулевой и первой степени.
В работе [2] получены выражения для производных первого и второго порядков от потенциала V относительно х, y, г.
Соответствующие выражения для производных первого порядка от потенциала T имеют вид:
„ . dT sinфcosXdT sinX dT
1х = cos ф cos X---------,
dr r дф r cos фдХ
_ . ,дТ sin ф sin XdT, cos XdT
Ty = cos ф sin X-------1---, (3)
dr r дф r cos фдX
Tz = sin ф
дТ cos ф дT
дr
дф'
да n
где Тх, Ту, Тг — частные производные от Т относительно х, у, z■ Согласно [2], производные от Твторого порядка определяются с помощью матрич-но-тензорного уравнения:
T T
*xx * xy
T T
yx yy
T_ T T
T
xz
T
= A
T
T T \
T'qZ A
TZn TZi Tr,
(4)
В (4) тензор производных в прямоугольной геоцентрической системе координат х, у, z выражается через тензор производных в локальной прямоугольной северо-ориентированной системе 2,, п С с началом координат в центре тяжести спутника, осью направленной вдоль радиуса-вектора спутника, осью £,, направленной к северу, осью п — к востоку.
В правой части уравнения (4) матрица А и компоненты тензора вторых производных имеют вид
sin X - sin ф cos X cos ф cos X A = cos X - sin ф sin X cos ф sin X 0 cos ф sin ф
(5)
и
T -
nn
2 2 r cos ф
T tgфT
Txx гTv r
T,
—T
2 VV
1
Tr, TZZ - Trr
Tn -
-T,
TZn -
2 "'V
r cos ф
1 Tr-•
sin ф „
■~2-
r cos ф
(6)
%r 2 T'x, rcosф r cosф
Tn = ^T - — T
Й фг 2 ф'
rr
Предполагается, что выражения для производных от потенциала T относительно сферических координат, следующие из (1), подставляются в правые части уравнений (3) и (6). Полученные выражения для вторых производных в (6) и выражение для матрицы (5) подставляются в уравнение (4).
В итоге, выражения (3) и (6) зависят не только от функций Лежандра, но также от их первых и вторых производных. Кроме того, эти выражения содержат члены, имеющие сингулярные множители cosф-1 и cosф-2, которые обращаются в бесконечность на полюсах Земли.
Сингулярные множители первого порядка cosф-1, после их умножения на присоединенные функции Лежандра, могут быть устранены путем преобразований, таких например, как в работе [3]. Однако после аналогичных преобразований произведений функций Лежандра первого порядка />Bl(sin ф)
на множитель cosф 2 вместо последнего появится особенность первого порядка cosф-1
С другой стороны известно, что производные от потенциала относительно прямоугольных координат х, у, z не имеют особенностей. Это означает, что для устранения сингулярностей в выражениях для вторых производных не достаточно преобразовать только те члены, которые их содержат. Потребуются преобразования полных выражений для производных.
В любом случае, выражения для первых и вторых производных, описываемые уравнениями (3)—(6), имеют сложную аналитическую структуру как функции сферических координат и стоксо-вых постоянных.
В более поздних публикациях других авторов, например в [4] и [5], предложены другие алгоритмы поэтапного вычисления первых и вторых производных от потенциала. Однако не было получено простых аналитических выражений, в особенности если сравнивать существующие алгоритмы с рядом сферических функций (1) для самого потенциала.
В настоящей работе построены ряды сферических функций для производных от потенциала произвольного порядка в форме таких же рядов сферических функций, как и ряд (1). Все эти ряды могут быть представлены в виде одного общего ряда. Ряды для производных различного порядка отличаются от ряда для потенциала и друг от друга коэффициентами. При этом коэффициенты для производных первого порядка представляют собой линейные функции стоксовых постоянных, а коэффициенты для производных любого другого порядка имеют вид линейных комбинаций коэффициентов производных предыдущего порядка. В каждой последующей производной появляется, в виде множителя перед двойной суммой, дополнительная отрицательная степень большой полуоси а. Возрастают также пределы суммирования рядов относительно п.
При построении рядов сферических функций для производных от потенциала, в качестве исходного, используется выражение, выведенное в работе [6] для производной любого порядка от сферической функции относительно х, у, z■
Ряд (1) для полного потенциала V представлен в [6] в комплексной форме. Соответствующий усеченный ряд для возмущающего потенциала Т будет иметь вид
N n
T = ^Re^^an(Cn>m - iSn>m)Tn>
(7)
n=2 m=0
Сферические гармоники Tnm также представятся в комплексной форме
Tn,m Рп„m(sin ф)(^ 1пХ + i sin mX). (8)
Используются ненормированные выражения для функций Лежандра и стоксовых постоянных.
Выведенная в [6] общая формула для производной произвольного порядка от сферической гармоники запишется в виде
5
а+р+у
т
а+в
дх аду дгу
(овВ
1=00
(-1)
а+у-]
2
а+у
(9)
(п - т + у + 2])! с т (п - т)!
С,
где
а,в, ]
=В-')
кI а УР
1 - к Л к
(10)
тах{0, ] - а} < к < тт{р, ]}.
Таким образом, производная от любой сферической функции Т„т является линейной комбинацией других сферических функций.
Исходя из (7) и (9), можно написать следующее выражение для любой производной от потенциала Т
д
а+р+у
N п
дхадувдг
-Т = цЯеС/ВВа'Кт - (¿щт)х
^ <-1)а+у-' (п - т + у + 2])! т
, .. Са в Т п
(11)
1=0
2
а+у
(п - т)!
а,р,]1 п+а+р+у,т+а+р-2]*
2. ПОСТРОЕНИЕ РЯДОВ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ПОТЕНЦИАЛА ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
В [6], помимо общей формулы (9) для производной произвольного порядка от сферической гармоники, дополнительно приводятся выражения для производных первого и второго порядков. В настоящей работе эти выражения, а также формулы (7) и (8), используются в качестве исходных.
Для первых и вторых производных от потенциала Т первоначально выведены довольно сложные выражения — в вещественной форме, с ненормированными функциями Лежандра и сток-совыми постоянными. Для Тх и Тхх они имеют вид
N , \п+2
Тх =-4 Жо (а) Рп+Ц(в1п Ф)СС8 X-а \г)
N
2а2 ^ , ^
п=2 т=1
п=2 п+2
- Л ВВ (а) Рп+1,т+1(^1п ф)[Сп,т С08(т + 1)Х
+ Бпм 8ш(т + 1)Х] +
(12)
N п
2а2 В В г
п=2 т=1
п+2
(п - т + 1)(п - т + 2)Рп+1,т-1(®1п ф) х
х [Г С0Б(т - 1)Х + Бпм вт(т - 1)Х];
Подстановка в (11) выражений (8) и (10) приводит к очень сложному выражению для производных от потенциала. Поэтому автор работы [6] предполагает численное определение производных — в несколько этапов. Сначала для конкретной производной в рассматриваемой точке с координатами х, у, z вычисляются по рекуррентным формулам комплексные сферические гармоники (8) до степени N + а + в + у и порядка N + а + р. Эта информация запоминается и затем используется при вычислении правой части (11).
После публикации работы [6] появился ряд модификаций предложенного алгоритма вычисления первых и вторых производных от потенциала, в частности, в [7] и [8]. Однако, также как и в [2], не было получено простых аналитических выражений для производных от потенциала.
Модификации алгоритма, предложенного в [6], нашли приложение, в частности в работах [9] и [10]. В [8] приводится ряд других примеров применения производных потенциала первого и второго порядков, а также обсуждается возможное использование производных третьего и выше порядков для по
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.