ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2013, № 6, с. 91-98
УДК 550.837.81
САМОСОГЛАСОВАННАЯ ЗАДАЧА ВЫЗВАННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОКИНЕТИЧЕСКОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ
© 2013 г. Б. С. Светов, В. В. Агеев, С. Д. Каринский, О. А. Агеева
Центр геоэлектромагнитных исследований, филиал Института физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Троицк E-mail: svetovbs@mail.ru Поступила в редакцию 16.12.2012 г.
В первой части статьи при определенных ограничениях находится аналитическое решение самосогласованной задачи вызванной поляризации (ВП) для электрокинетически поляризующегося шара. Стационарное (на больших временах) решение самосогласованной задачи представляет собой совокупность потенциальных, связанных между собой полей: возбуждающего электрического, стороннего и результирующего электромагнитного поля ВП. Стороннее поле представляет собой поле осмотического течения заряженной жидкости и зарядов, возникающих в силу мембранного эффекта в местах сужения поровых каналов. Расчетами показывается различие полей ВП, полученных в результате решения самосогласованной задачи и с помощью феноменологического подхода Сиге-ля—Комарова. Во второй части статьи на основе обобщения найденного аналитического решения излагается формулировка самосогласованной задачи ВП для изотропных ст—п тел произвольной формы, ограниченных гладкой поверхностью. Решение задачи может быть найдено численными методами.
DOI: 10.7868/S0002333713060148
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
С самых общих позиций вызванная поляризация — это возникновение внутри Земли переходных процессов в ЭМ поле, не обусловленных индукцией. Вызванная поляризация геологической среды была обнаружена и впервые использована для зондирований земли в 1912 году французским инженером Шлюмберже. С самого начала было понятно, что в этом явлении участвуют, в общем случае, не только электромагнитные (ЭМ), но и сторонние по отношению к ЭМ полю силы (например, электрохимические или электрокинетические). Во второй половине прошлого века в работах [Шейнманн, 1969; Геннадинник и др., 1978; Комаров, 1980; Кормильцев, 1981; Бе^е1, 1959] были предприняты попытки математически описать это явление, позволившие лучше понять его природу. В те же годы В.А. Сидоровым и Ю.Н. Шабаевым [1985] было показано, что в некоторых случаях явление ВП может быть связано с частотной дисперсией Максвелла—Вагнера (М—В) монофазной смеси веществ, различающихся по проводимости и диэлектрической проницаемости. Ввиду физической сложности процессов ВП и их зависимости от многих петрофизических параметров геологической среды, попытки строгого математического описания в последние годы не предпринимались; геофизики занимались, в основном, феноменологической теорией частотной дисперсии проводимости среды.
В статьях [Светов и др., 2011; Светов и др., 2013] на основе аналитических решений задач о вызванной поляризации сферической неоднородности и горизонтально слоистой среды было проведено сравнение описания этого явления на основе самосогласованного рассмотрения электромагнитного (ЭМ) и стороннего полей (ВП общего типа) и феноменологического подхода, связывающего поляризацию среды с частотной дисперсией ее проводимости (метод Сигеля—Комарова). Поскольку, в отличие от феноменологического подхода, описание явления ВП общего типа зависит от его природы, в качестве причины возникновения стороннего поля для определенности рассматривались электрокинетические процессы в ионопроводящей пористой проницаемой среде (горной породе). Эти процессы возникают в пористой среде под действием пропускаемого через него тока вследствие нарушения равновесной концентрации ионов разного знака в поровой жидкости в местах сужения поровых каналов (мембранный эффект). После "выключения" возбуждающего поля возникшее стороннее поле, в свою очередь, трансформируется обратно в электромагнитное. Для математического описания такого процесса необходимо решить самосогласованную задачу для ЭМ и стороннего полей. Геофизика с такого рода задачами встретилась при изучении сейсмоэлектрических явлений [Pride, 1994]. В этой задаче возбуждающее сейсмическое поле порождает в пористой влагона-
Ег
щающем пространстве и в постоянном поле удаленного источника тока (рис. 1).
Напряженности электрического поля в присутствии неполяризованного шара вне и внутри него (индексы "1" и "2") определяются выражениями:
Е1с = Е0еоь 0 - к1 ^, Е2с = Е0еоь 0(1 + кх), Е10 = -Е0 0 \ 1 + к1 а3 ], Е20 = -Е0 Бт 0(1 + к1).
Рис. 1. Модель рассматриваемой среды и система координат, используемые в работе. Проводящий шар радиуса г = а и проводимостью Ст2 помещен в проводящее пространство проводимостью Ст1 в электрическое поле Е0 источника постоянного тока.
сыщенной среде электрическое поле. В вызванной поляризации дело дополнительно усложняется тем, что, как возбуждающее, так и измеряемое поля являются электромагнитными. Стороннее поле участвует в процессе лишь как промежуточное в общем цикле преобразований. Фактически, общее самосогласованное поле (например, электрокинетической природы) состоит из трех связанных между собой полей: возбуждающего — электромагнитного, промежуточного — стороннего поля, порождаемого градиентом осмотического давления, и зарядами, возникающими на мембранных перегородках пористой среды, и результирующего — ЭМ поля ВП. Для решения подобных задач надо при установленных ограничениях сформулировать уравнения, краевые и начальные условия для каждого из этих полей, а также условия, связывающие эти поля между собой. Расчеты показали различие результатов, даваемых сравниваемыми методами.
В предлагаемой статье мы с существенными уточнениями вновь рассмотрим самосогласованную задачу о вызванной поляризации шара и на основе ее обобщения сформулируем основные черты алгоритма численного (методами интегральных уравнений или конечных разностей) решения самосогласованных задач ВП электрокинетической природы для изотропных поляризующихся тел, ограниченных гладкой поверхностью.
ВЫЗВАННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ШАРА
Будем решать осесимметрическую задачу о вызванной поляризации шара в однородном вме-
(1)
Здесь к1 = —1-—, Е0 = —^ — величина возбуж-
ст 2 + 2ст1 4пс0 дающего поля в центре шара.
Если шар поляризуется, то возникший в нем сторонний ток не выхолит за пределы поляризующегося тела, и, следовательно, его нормальная
■ ст
компонента ]г в соответствии с законом сохранения зарядов создает на его границе сторонние поверхностные заряды. Их плотность связана с разрывом плотности стороннего тока соотношением:
]? (?) *а(0 = -¿£<2.
(2)
В этой формуле знак "*" означает свертку, а функция а(1) представляет собой переходную характеристику стороннего тока на ступенчатое изменение сторонних зарядов в поляризующейся среде (фактор последействия, [Кормильцев, 1981]). Возникшие заряды создают токи вызванной поляризации — обычные токи проводимости,
сопровождаемые электрическим полем Е ВП: д2П =
ст™. Нормальная компонента этих токов на границе шара претерпевает скачок:
■ ВП / А .ВП / А дрст (?) .ст /А ч
Лс- (?) - ]2с (?) = - . = ]с (?). (2а)
д?
Это равенство, имеющее смысл передачи части зарядов, переносимых сторонними токами, токам ВП, устанавливает связь между двумя полями, участвующими в процессе поляризации тела: сторонним, и электромагнитным полем ВП. Сторонние силы возрастают с течением времени до тех пор, пока не установится баланс между ними и силой электрического поля. Процессы обмена зарядами на двух полусферах (ближней к источнику и удаленной от него) носят противоположный характер. Связь между процессами на этих полусферах осуществляется токами ВП во вме-шающей шар среде.
Поскольку модуль нормальной компоненты напряженности электрического поля по обе стороны слоя поверхностных зарядов можно считать
одинаковым, а направление поля противоположным, равенство (2а) допустимо переписать в виде:
/В" (?) - /ВВП (?) = + 02)ЕВП(?) = Г (?). (2б)
Это уравнение можно записать в более общей форме
Diy/ст (?) = -——— = ^гу/ВП (?), где оператор д?
Div обозначает поверхностную дивергенцию. Отсюда следует связь на границе сред токов ВП с порождающим их сторонним током:
■ ВП (Л
/В (О
-л (?), /2ВгП (?) = -
а, + а2
а, + а2
У (? )(2в)
Г(?) = -
а, + а 2
+ а 2(1 - п)
а 2Е0 (1 + к1 )п(?)соз 0, (2г)
а, + а2
- а2Е0 (1 + к,) п 0. (2д)
div Vст = 0.
(3а)
Поскольку стороннее течение жидкости не выходит за пределы поляризующегося тела, то на границе тела в силу неразрывности жидкости возни-
кает стороннее поверхностное течение и вместе с
т-ст
ним сторонний поверхностный токУ0 :
/Т (?) = -Div/ст (?) = I0ст (?)
(4)
^^ 12 — обозначение двумерной дивергенции на сферической поверхности шара) [Светов, 2008]. Из (4) следует:
Iст (?)=.
+ а 2
- а2Е0а(1 + к1)п (?) зт 0. (4а)
Сторонний ток пропорционален действующему внутри поляризующегося тела электрическому полю. Это поле включает радиальную компоненту тока ВП внутри шара. Нетрудно показать, что его радиальная компонента равна:
01 +02 (1 - П) Таким образом, найденное поле сторонних токов включает в себя гармонические объемные
• ст
сторонние токи / и сингулярный поверхностный ток IСТ.
После того, как поле сторонних токов определено, можно найти электрическое поле созданных им зарядов (поле ВП). На основе (2в, г, д) выпишем поле Е™ внутри (5) и вне (5а, б) шара:
еВп (?) =
01 + 02(1 - П)
Е0 (1 + к1 )п (?) соз 0, (5)
где п(?) = па(0, П — коэффициент поляризации. Будем полагать, что препятствия стороннему току в виде мембранных перегородок, создающих сторонние заряды и токи, располагаются только на поверхности тела. Сторонний ток в объеме шара носит чисто гармонический характер:
div/ст = 0. (3)
Тогда можно найти тангенциальную компоненту
сторонних токов /ст. Она также существует, поскольку существует © — компонента возбуждающего тока /0, приводящая к поляризации среды. Однако ввиду предполагаемой однородности среды в этом направлении, она не создает токов ВП. Из (3) следует:
ЕВ" (?) = -
0?
01 + 02<1 - П)
П (?) Е0(1 + к1п 0 (5а)
еВп (?) =
у а1 + а 2(1 - п)
Поле стороннего тока однородно и направлено вдоль оси ОZ противоположно возбуждающему электрическому полю.
Будем предполагать, чт
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.