ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2013, том 49, № 3, с. 84-98
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
СБАЛАНСИРОВАННОСТЬ, ОПТИМАЛЬНОСТЬ И ЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ В ОТКРЫТЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМАХ*
© 2013 г. В.Г. Медницкий, Ю.В. Медницкий
(Москва)
При математическом моделировании экономического равновесия различие между валовой продукцией производства и ее товарной составляющей обычно игнорируется, что не вполне правильно. Показано, что использование леонтьевской модели при формировании равновесия типа Эрроу-Дебре приводит к рынку товарной продукции, экономическое равновесие которого существует, если леонтьевская матрица продуктивна, а вектор цен на все включенные в нее виды продукции полуположительный. Денежная стоимость (в ценах равновесия) той части товарной продукции, на которую в равновесии возникает потребительский спрос, всегда будет положительной.
Ключевые слова: экономическое равновесие, полуположительные цены, леонтьевская модель, продуктивность.
ВВЕДЕНИЕ
Во всех известных математических моделях экономического равновесия валовая и товарная продукция не различаются, хотя производится именно валовая продукция, а до конечных потребителей, как правило, доходит только ее часть, которая здесь для краткости будет называться товарной продукцией. Она может создаваться на разных уровнях организации производства: от предприятия до народного хозяйства в целом (Немчинов, 1965). Наиболее просто различие между этими двумя видами продукции формализуется в леонтьевской модели (Леонтьев, 1990), которую обычно, хотя это и не совсем верно, отождествляют с системой алгебраических уравнений
хг - /аУх] = Ь] ! ^ (1)
]
где переменными хг, 2, г ! I должны быть определены объемы производства валовой и товарной продукции, а элементами множества I - наименования видов валовой продукции, которыми формируется квадратная матрица1 \\ау || = А >0.
В работах (Медницкий В., Медницкий Ю., Леонов; 2009; Медницкий В., Медницкий Ю., Фаттахов, 2011) было показано, что равновесие типа Эрроу-Дебре (Карлин, 1963) может быть создано при добавлении равенств (1) к некоторому другому набору моделей, описывающих производственные возможности рассматриваемой системы2 и процессы реализации произведенной ею товарной продукции. Оказалось, однако, что при этом становятся возможными оптимальные решения (в многокритериальном случае - равновесия) еще двух типов. В первом возникают нулевые цены и доходы, и, соответственно, планирование объемов производства продукции осуществляется не по экономическим критериям, а по критериям, которыми руководствуются лица, принимающие такие решения. Во втором типе решений существует положительный вектор цен,
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 12-01-00893а) и Российского гуманитарного научного фонда (проект 11-02-00149а).
1 Неравенство А >0 означает, что у матрицы А нет отрицательных элементов, а если А > 0, то все они положительны и матрица А называется полуположительной, если А >0, но положительны некоторые из ее элементов. Векторы при этом рассматриваются как матрицы с одной (одним) строкой (столбцом).
2 В дальнейшем для краткости она будет называться объединением предприятий.
определенный с точностью до произвольного положительного множителя, при котором добавленная стоимость единицы продукции во всех технологических процессах ее производства принимает отрицательные значения. По известной теореме выпуклого анализа (Рокафеллар, 1973) в этом случае у системы (1) - если рассматривать ее как однородную относительно векторов х, 2 -полуположительных решений не существует, а единственным, причем не только допустимым, но и при некоторых дополнительных предположениях (Медницкий В., Медницкий Ю., Фаттахов, 2011) оптимальным оказывается тривиальное решение х = 2 = 0. Следующее ниже определение вносит необходимое уточнение.
Определение 1. Экономическим будем называть равновесие типа Эрроу-Дебре, при котором полуположительны цены на все виды продукции и значения добавленной стоимости во всех технологических процессах ее производства, а денежная стоимость (в ценах равновесия) всей реализуемой в равновесии товарной продукции положительная.
Цель же настоящей работы заключается в выявлении факторов, обеспечивающих не только существование такого равновесия, но и сбалансированность, а также локальную оптимальность объемов производства и потребления всех видов продукции с учетом возможности импортных поставок.
СБАЛАНСИРОВАННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Поскольку матрица А квадратная, то двойственная (1) система уравнений может быть представлена в виде
Р]- /а] = , ^ ] ! 1 (2)
/
причем ее тоже можно рассматривать как однородную относительно векторов р, w. Любое из таких решений будем называть сбалансированным (в соответствующей системе уравнений). В связи с этим оказываются справедливыми следующие утверждения.
Теорема 1. Если пары х, г и р, w сбалансированы в (1), (2), то для четверки этих векторов выполняется равенство
рг = wx, (3)
а если при этом еще и А, р, х > 0, то
V/ ! I:
Равенства рг = р(Е - А)х = wx нетрудно получить из (1), (2), а условия (4) следуют из неравенств х > 2 ир > w (например, если х, А > 0, то х = Ах + 2 > 2 и т.д.).
Следует, однако, заметить, что поскольку неравенствар, х, А > 0 гарантируют лишь выполнение условий (4), то при подстановке в (1) и (2) каких-то конкретных значений векторов х, р > 0 у векторов 2, w могут появиться как положительные и нулевые, так и отрицательные компоненты. В последнем случае абсолютные значения произведений WjXj и естественно интерпретировать как дополнительные расходы, возникающие при производстве (или закупках) соответствующих видов продукции в тех объемах, которые необходимы для устранения балансовых дефицитов. Следовательно, в (2) строятся такие цены р^, / ! I, при которых денежная стоимость товарной продукции всегда совпадает с созданной в том же производственном процессе добавленной стоимостью с учетом дополнительных расходов, которые могут появиться в обеих частях равенства (3). Однако при этом выполняются два весьма важных с экономической точки зрения утверждения.
Следствие 1. Если вектор р >0, а в равенстве (3) wx > 0, то векторр Ф 0, а стоимость в ценах р^, / ! I, всей производимой товарной продукции ру > 0. Баланс же между объемами производства валовой продукции и потребительского спроса на все виды товарной продукции может быть построен с помощью соотношений
и + (Е - А)х > у; и, х, у >0, (5)
| 2/ >0 & х1 > 0, к,- >0 & р/ >0.
(4)
где вектором и формируются такие объемы импорта, при которых удовлетворяется определенный компонентами вектора у спрос на все виды товарной продукции.
Для доказательства достаточно заметить, что в (1) объемы собственного производства товарной продукции естественно определить, полагая уг = тах[0, 2г], г ! I, а объемы балансового дефицита - величинами йi = тах[0, - 2г], г ! I. Так как векторы у, м >0, а 2 = у - м, то в соответствии с равенством (3) ру = ри + wx > wx >0. Теперь соотношения у < и + 2 = (и - м) + (2 + м) = у + (и - м) нетрудно получить из (5) и (1). Так как ! I: 2г <0 & (йг > 0 & уг = 0), то входящим в (5) условием уг > 0 гарантируется, что и1 > йг >0, а если 2г >0, то мг = 0 & 0 < у1 < уг + иг.
Таким образом, в (5) суммарные объемы импорта и производства всех видов валовой продукции сбалансированы с объемами их потребления. Действительно, любой балансовый дефицит, возникающий в (1), балансируется в (5) компенсирующим импортом йг = - 2^ >0, а верхняя граница спроса при этом определяется дополняющим импортом и1 - > 0, причем последнее неравенство гарантируется входящим в (5) условием у > 0. Если 21 > 0, то объем спроса ограничивается сверху суммой уг + иг >0, причем выполнение неравенства гарантируется в (5) условиями у, и >0.
Такой способ получения сбалансированных объемов валовой и товарной продукции можно назвать внешним, поскольку источники, продукцией которых формируется вектор и, в (5) не определены (известно только, что в (1) она не производится). Возможно, однако, и внутреннее решение этой проблемы, когда матрица А > 0 и продуктивна в соответствии со следующим определением.
Определение 2 (Гейл, 1963). Квадратная матрица А продуктивна, если
7Х >0: X > Ах. (6)
В той же работе Гейлом показано, что необходимые и достаточные условия продуктивности квадратной матрицы А > 0 содержатся в следующем утверждении.
Теорема 2. Если квадратная матрица А > 0, то она продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е - А)-1 не только существует, но и неотрицательна.
В результате проблема построения полуположительных и сбаланированных в (1), (2) пар векторов х, 2 и р, м получает внутреннее решение, которое удобно сформулировать как одно из следствий теоремы 2.
Следствие 2. Если квадратная матрица А > 0 и продуктивна, то при любых, но фиксированных значениях векторов 2, м, каждая из систем (1) и (2) имеет единственное решение х, р. Оно будет полуположительным, если таким же окажется соответствующий ему вектор в паре 2, м, или даже положительным, если матрица А неприводима.
Действительно вектор х для любого значения вектора 2 определен однозначно равенством (Е - А)-1 2 = х. Но если 2 > 0, то по теореме 2 вектор х > 0, а значит, по теореме х > 2 и точно так же - м >0 & р > ж Если, например, вектор х только полуположительный, а вектор 2 > 0, то равенство (1) удобно представить в форме
х = 2
(Е1- А11) хА
- А21 х1 + (Е2 - А22)х2 =
,2
(7)
2
Если х1 > 0, а вектор х2 = 0, то второе из входящих в (7) равенств выполняется только при условиях 22, А21 = 0. В силу последнего из них матрица А приводима. Если 22, А21 = 0, а вектор 21 > 0, то вектор х2 = 0, а х1 > 0 по теореме 1. Другими словами, если в равенствах (7) х1 > 0, а х2 = 0, то, кроме следующего из теоремы 1 условия 22 = 0, должна быть приводимой и матрица А, а значит, если она неприводима, то вектор х > 0. (Относительно вектора р рассуждаем также.)
Определение 3. Полуположительная и в общем случае прямоугольная матрица будет называться полной, если полуположительны все ее строки и столбцы.
Лемма 1.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.