ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2007, том 70, № 1, с. 98-113
= ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
СЕЧЕНИЯ ЯДРО-ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ В ГЛАУБЕРОВСКОМ ПОДХОДЕ ДЛЯ ЛЕГКИХ ЭКЗОТИЧЕСКИХ ЯДЕР
© 2007 г. Г. Д. Алхазов, А. А. Лободенко
Петербургский институт ядерной физики РАН, Гатчина
Поступила в редакцию 03.04.2006 г.
Вычислены сечения реакций взаимодействия экзотических ядер 6He и 11 Li с ядрами 12C при энергии ^0.8 ГэВ/нуклон. Проведено сопоставление сечений, рассчитанных по точной формуле Глаубера и по формулам оптического предела, приближения жесткой мишени и приближения нескольких тел. Рассмотрено влияние структуры исследуемых ядер на величину рассчитываемого сечения. На основании экспериментальных данных по сечениям взаимодействия экзотических ядер с ядрами 12 C сделана оценка величин среднеквадратичных радиусов ядер 6He и 11 Li.
PACS numbers: 25.60.Dz, 24.10.-i, 21.45.+v, 21.10.Gv, 27.20.+n
1. ВВЕДЕНИЕ
Изучение нестабильных ядер, в том числе экзотических ядер с гало, является актуальным направлением исследований в современной физике атомного ядра. Первые данные о размерах ядер с гало были получены из экспериментальных значений сечений ядро-ядерного взаимодействия [1, 2]. И в настоящее время сечения ядро-ядерного взаимодействия, измеряемые при промежуточных энергиях, являются одним из главных источников информации о размерах экзотических ядер [3].
Размеры ядер определяются по сечениям ядро-ядерного взаимодействия на основании сравнения расчетных сечений реакций ог [4] с экспериментальными. Отметим, что в экспериментах обычно измеряют не сечения реакций ог, а сечения взаимодействия ai [1, 2]. Однако считается, что в случае экзотических ядер с гало относительная разность между этими сечениями мала, так что ог & ai [4]. Сечения взаимодействия ai измеряются с достаточно высокой точностью. Основная погрешность в размере ядра, определяемом по измеренному сечению, возникает из-за неоднозначностей в расчете сечения. Так, например, в работе [5] среднеквадратичный радиус (с.к.р.) ядра 6Не был определен как R6He = 2.33(6) Фм, а в работе [6] при использовании той же величины экспериментального сечения был получен радиус R6He = 2.71(6) Фм. Таким образом, разность между этими значениями радиуса, обусловленная различиями в подходах, использовавшихся при расчете сечения, достигает почти 0.4 Фм, в то время как ошибка в радиусе, связанная с погрешностью измеренного сечения,
здесь составляет всего лишь 0.06 Фм. При промежуточной энергии ГэВ/нуклон) сечения ог могут быть, в принципе, вычислены с высокой точностью с помощью теории многократного рассеяния Глаубера [7, 8]. Однако при использовании точных формул теории многократного рассеяния возникают проблемы с вычислением интегралов высокой кратности. Поэтому до последнего времени расчеты сечений ядро-ядерных реакций проводились, как правило, в рамках приближенных подходов.
В настоящей работе мы впервые вычислили сечения реакций ог по точным формулам теории Глаубера в случае взаимодействия экзотических ядер 6Не и 11 Li с ядрами 12С и провели сравнение "точных" сечений с результатами аналогичных расчетов по формулам, полученным в нескольких приближенных подходах. В работе выясняется также вопрос, в какой мере значения с.к.р., извлекаемые из данных по сечениям ог, зависят от предположений о деталях пространственной структуры исследуемых ядер. В результате сравнения расчетных сечений с экспериментальными определены значения с.к.р. ядер 6Не и 11 Li. О некоторых результатах этой работы уже сообщалось ранее [9—11].
2. ФОРМАЛИЗМ РАСЧЕТА СЕЧЕНИЙ РЕАКЦИЙ: ГЛАУБЕРОВСКИЙ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ПОДХОДЫ
Согласно теории Глаубера [7] интегральное сечение реакций ог двух взаимодействующих ядер с массовыми числами А и В, определяемое как разность между полным сечением сильного взаи-
АВ
модействия оАг и интегральным сечением упругого
рассеяния aAB этих ядер, может быть рассчитано
по формуле
— ~AB „AB
= Otot "
= J Pab(b)d2b, (1)
XAB(b) = 11n/ ФаФв
- Ylm(b - xi + Xm
AB
ПП n
l=1 m=1
ФаФв
AB
Xlm(b - xl + xm)
l=1 m=1
где
Xlm (b - Xl + Xm) = = -ln[l - Ylm(b - Xl + Xm)]-
Согласно формуле (3) полная матрица рассеяния Sab может быть выражена через матрицы нуклон-нуклонного (NN) рассеяния sim как
Sab (b) = (6)
Pab(b) = l - \Sab(b)|2 = (2)
= l -\1 - Гав(b)\2 = l - \exp[ixAB(b)]\2-
Здесь Pab — вероятность того, что при прицельном векторе b между ядрами А и В произойдет неупругое взаимодействие, Sab — матрица рассеяния, Гав — профиль-функция упругого рассеяния ядер А и В,а хав — соответствующая эйкональная фаза.
Центральной формулой теории Глаубера является выражение, связывающее полную эйкональ-ную фазу хав сталкивающихся ядер А и В с профиль-функциями Yim взаимодействия нуклонов, составляющих эти ядра:
= ( ФаФв
AB
Slm(b - Xl + Xm)
l=1 m=1
ФаФв
где
(3)
В этой формуле фл и фв — волновые функции ядер А и В в основном состоянии, скобки ( || ) означают интегрирование по всем координатам нуклонов, XI и хт — поперечные координаты нуклонов соответственно в ядрах А и В. Профиль-функции ^ьт взаимодействия 1-го нуклона ядра А с т-м нуклоном ядра В выражаются через соответствующие амплитуды ^т свободного рассеяния нуклонов посредством известного преобразования Фурье. Формула (3) получена с использованием адиабатического приближения в предположении аддитивности эйкональных фаз, т.е. в предположении, что полная эйкональная фаза сталкивающихся ядер А и В при конкретных значениях координат нуклонов XI и хт равна сумме индивидуальных фаз Х1т взаимодействующих нуклонов:
Хлв(Ь, ХЪ х21 ...) =
Slm(b - XI + Хт) = 1 - 7т(Ь - XI + Хт). (7)
Отметим, что в приведенных выше формулах для вычисления сечений реакций учитывается только сильное взаимодействие, в то время как в сечения реакций, измеряемые в эксперименте, существенный вклад может также вносить кулоновское взаимодействие (если заряды ядер А и В достаточно велики).
Расчеты сечений реакций по формулам теории Глаубера сопряжены с вычислением многократных интегралов в выражении (3), что является весьма сложной задачей. Чтобы обойти эту проблему, обычно используют приближенные подходы (см., например, [12—14]). В частности, профиль-функцию Хлв можно разложить в ряд по крат-ностям соударений [15] и ограничиться первыми членами разложения. Наиболее простые формулы получаются, если в этом разложении учесть только члены однократного рассеяния. Тогда эйкональная фаза хлв может быть записана как
хОв (Ь) = (8)
лв
= ^2(Фл Фв Ьт(Ь - XI + Хт)1фл Фв ).
1=1 т=1
Это широко используемая в расчетах сечений реакций формула "оптического предела" [16, 17]. Размеры ядер А и В обычно значительно превосходят радиус ЖЖ-взаимодействия. Поэтому в расчетах сечений в приближении оптического предела иногда делается дополнительное приближение "нулевого" радиуса сил ЖЖ-взаимодействия, а именно полагается
(4)
YNN (b) = NN (0)W,
(9)
(5)
где fNN(0) — амплитуда ЖЖ-взаимодействия при q = 0.
Дифференциальные сечения упругого и неупругого рассеяния и сечения реакций аг в случае взаимодействия нуклонов с ядрами и ядер с ядрами при низкой и промежуточной энергии иногда рассчитывают в рамках так называемой фолдинг-модели [18—20]. В этой модели эффективный потенциал взаимодействия двух ядер представляется
как усредненная по волновым функциям рассматриваемых ядер сумма индивидуальных потенциалов взаимодействующих объектов, из которых состоят ядра, т.е. нуклонов или нуклонных кластерных структур. Соответственно полная эйкональная фаза хаВ равна сумме индивидуальных фаз, усредненных по ядерным волновым функциям [21, 22]. Выраженная в терминах хш, эта фаза имеет вид
Хав (ь) =
(10)
— ( ФаФв
а в
Х1т(Ь - х1 + хш)
1=1 т=1
ФаФв
Джонсон и Гебель [23], Ал-Халили и Нунес [24] и некоторые другие авторы отождествляют это выражение для хаВ с формулой оптического предела (см., например, формулу (22) в работе [24]). На самом же деле фаза ХаВ существенно отличается от фазы оптического предела хОВ. Действительно, подставив в формулу (10) выражение (5) для хш, получим
а в
Хав(Ь) = ^ аФвМ1
(11
1=1 т=1
- 71т(Ь - XI + Хт)]\Ф аФВ).
время как использование формулы (10) приводит к совершенно неправильному результату1).
Считается, что формулы оптического предела (8) и (8) с (9) позволяют рассчитывать сечения реакций для стабильных (компактных) ядер с вполне удовлетворительной точностью [17]. В то же время в ряде работ (см., например, [6, 30]) отмечалось, что в случае рассеяния экзотических ядер с гало на ядерных мишенях расчеты по этим формулам существенно завышают сечения.
В отличие от ядро-ядерного рассеяния в случае нуклон-ядерного рассеяния сечение реакций может быть легко рассчитано по точной формуле (3), если пренебречь корреляциями нуклонов в ядре. Рассмотрим рассеяние нуклона N на ядре Т (состоящем из Т нуклонов). Матрица взаимодействия здесь выражается через матрицы NN-рас-сеяния sm как
^Ъмт(Ь) — ( фт
т
11 sm(Ь хт)
т=1
Фт , (12)
где
sm(Ь хт) — 1 7т(Ь хт).
(13)
Если пренебречь пространственными корреляциями между нуклонами, то матрицу SNT можно записать в виде
SNT — [1 - (7)]
т
(14)
где
Фаза хААВ была бы близка к фазе ХаВ, если бы профиль-функции NN-взаимодействия были малы, т.е. если бы выполнялись условия ^ ^ 1 и, следовательно, 1п(1 - 7ш) & -1т. Однако при малых значениях прицельного параметра Ь величины 7ш при промежуточных энергиях близки к единице, так что 1п(1 - 7ш) — 1т и, таким образом, х Аав — Х°В. Для того чтобы посмотреть, в какой мере различаются сечения, рассчитанные с использованием эйкональных фаз (10) и (8), мы в качестве примера провели расчеты сечения аг для случая взаимодействия ядер 4Не с ядрами 12С при энергии Е — 0.79 ГэВ/нуклон. Ядерные плотности описывались гауссовскими распределениями со значениями с.к.р. R4нe — 1.49 Фм [25] и Rl2с — 2.32 Фм [26]. Величины параметров использовавшейся в расчете амплитуды NN-рассеяния приводятся в следующем разделе. Расчеты сечения реакций по формулам (10) и (8) дали соответственно следующие значения: аг — — 660 и 524 мбн. Экспериментальное же значение этого сечения в данном случае равно аг — 503 ± ± 5 мбн [1] (в предположен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.