КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 3, с. 206-218
УДК 521.1
СЕМЕЙСТВО ПОТЕНЦИАЛОВ, ДОПУСКАЮЩИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ВОЗМУЩЕННОЙ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ В РЕГУЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
© 2008 г. С. М. Полещиков1, А. В. Жубр2
Сыктывкарский лесной институт 2Коми научный центр, отдел математики, г. Сыктывкар Поступила в редакцию 29.03.2006 г.
Приводится бесконечная система потенциалов, допускающих разделение регулярных переменных в возмущенной задаче двух тел. Регулярные координаты строятся с помощью специально подобранной L-матрицы. Построено явное решение задачи в эллиптическом случае. В общем случае решение сводится к обращению гиперэллиптических интегралов. Разобраны случаи ограниченного и неограниченного движения. Приведены результаты численных экспериментов.
PACS: 46.50.Pk
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе дана бесконечная система потенциалов, допускающих интегрирование возмущенной задачи двух тел в регулярных координатах. Вообще говоря, здесь возникают гиперэллиптические интегралы. Уже по этой причине данная задача не может быть частным случаем известной интегрируемой задачи двух неподвижных центров. Рассмотренные ранее [1, 2] интегрируемые случаи являются частными случаями исследуемой задачи, и мы будем здесь придерживаться тех же обозначений.
Функция Гамильтона возмущенной задачи двух тел имеет вид
Н = Н(х, у) = 1 у|2 - — + V, 2 г
- = у( т + т0), г = |х|,
где х = (х1, х2, х3)т - вектор положения точки с массой т относительно точки с массой т0, у = (у1, у2, у3)Т -обобщенный импульс (у, = х, , = 1, 2, 3), у - гравитационная постоянная, V - возмущающий потенциал.
Введем две системы функций
- (г + bTx), - (г - bTx), k = 1, 2, ... (1) r г
где Ь = (Ь1, Ь2, Ь3)Т - произвольный единичный постоянный вектор. Составим из них конечную ли-
нейную комбинацию
V = V( х) =
^.т Л т Ж (2)
= -- Ак( г + Ь х) + вк( г - Ь х) ),
к = 1
которую примем в качестве возмущающего потенциала. Здесь Ак, Вк - постоянные величины. Отметим, что комбинация
A -v.T \2 A + В. ,т ,2 -(г + b x) + —— (г - b x)
4 г
4г
дает потенциал из работы [2]. При А = 0 получается потенциал, порождающий постоянную силу и этот случай рассматривался в работах [3]-[6].
Покажем, что уравнения движения
dxi дН
dt ду;
= У;,
dy_i dt
дН = -
'ЭХ;
-3 I( Ak(г + bTx) + Вк(г - bTx)) +
г к = 1
N
+ 1 If kAk (г + bT x )k-1f Х + b'ij +
i = 1, 2, 3
(3)
k=1
+ kBk(г - bTx)k-11 Х - b;
N
интегрируются в регулярных переменных, получаемых с помощью ¿-преобразований.
Система (3) эквивалентна уравнению возмущенной задачи двух тел
N
х + ^х = - V к[Лк(г + Ьтх)к -- Бк(г - Ьтх)к]Ь +
г г
к = -
N (4)
+ - V [Лк(г + ЬТх)к- - (г(к - 1) - Ьтх) +
к = -
„к--
+ Бк(г - Ь х) (г (к--) + Ьх)] х.
В этом уравнении возмущение определяется суперпозицией двух возмущающих ускорений. Одно из них коллинеарно фиксированному вектору Ь и имеет переменный модуль. Другое ускорение является радиальным.
В системе (3) выполним переход от переменных г, хг, у к новым переменным т, д, р^ по формулам
йг = гйт,
х = Л( q)q, -
У
2| Ы
Л(q)р, ы, р е К
(5)
где
Л( q) =
к - к 4
qT К2 К4
т
ы К з К
4
Здесь К кососимметрические ортогональные матрицы четвертого порядка, связанные между собой определенными соотношениями [7, 8] и называемые образующими ¿-матрицы.
В новых переменных д, р г рассмотрим каноническую систему
йд: дЖ йр:
эж
й т д р■ й т дд,'
] = 0, -, 2, 3, 4 (6)
с гамильтонианом
ж = 8 р| 2 + Ро1 2 + 2 Ус( ы ),
(7)
Ус ( ы ) = У (х ( ы )).
В этой системе первое уравнение при ] = 0 соответствует временному преобразованию: йд0 = |ы|2йт. Переменная р0 является сопряженной по отношению к д0 и принимает постоянное значение. Если
х(0) = х0, У(0) = У0 (8)
начальные условия для переменных системы (3), то, как доказано в [9, 10], при выборе начальных значений по правилу
д(0) = 0, х0 = Л(ы0)ы0, и(0) = -Н(х0, У0), р0 = 2Лт(ы0)У0,
(9)
решение системы (6) под действием преобразования (5) переходит в решение канонической системы (3), удовлетворяющего начальным условиям (8). Напомним, что функция ытК4р сохраняет постоянное значение на решениях системы (6) и при выборе начальных условий из (9) это значение равно нулю (см. [10]). То есть равенство ытК4р = 0 есть первый интеграл этой системы.
Отметим, что системы (3), (6) имеют разные порядки. Выбор начальных значений по формулам (9) означает, что для каждой траектории системы (3) строится своя система (6). Поскольку независимые переменные г, т этих систем связаны неинтегрируемым соотношением, то фиктивное время т изменяется по-разному для каждой траектории системы (3).
В преобразовании (5) участвует произвольная ¿-матрица. Подберем ее образующие К по тому же алгоритму, что и в [2]. Тогда в гамильтониане (7) слагаемое, содержащее Ус(ы), примет вид
2 Ус (ы) = - V 2к(Лк (?2 + д2) + Бк(д3 + д24))
к = -
Значит, гамильтониан (7) распадается в сумму
Ж = Ж1 + ж2,
где
N
-
Ж- = -(р- + р2) + р0(д2 + д2) - V 2кЛк(д2 + д2) ,
к = -
N
Ж2 = -(р3 + р4) + р0(д3 + д4) - V 2Бк(д2 + д2).
к = -
Величина р0, как следует из второго уравнения (6) при ] = 0, постоянная. Таким образом, система (6) содержит две однотипные подсистемы
йд . _ дЖ- ср = дЖ-
йт дрг ' йт дд
йд . = дЖ2 й- = _ дЖ
йт дрг ' йт ддг
г = 2, г = 3,4.
(10) (11)
N
2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ (10), (11) полином степени N + 1 относительно Q1, c2 - посто-
Для решения системы (10) выполним канони- янная интегрир°вания, определяемая равенством ческое преобразование, определяемое производящей функцией W = pi TQ1 cos Q2 + Р2 VQisin Q2
qi = VQiCOS Q2, q2 = VQiSin Q2,
c2 = 4 Pi( 0) 2 +
Ei
pi
i = 2 Pi jQi cos Q2 sin Q2,
Qi(0)2 Qi(0)
N
У2k + 3 AkQi (0 )k
,k-i
Mi
(12)
k = 2
Сравнивая это выражение с (14), получаем c2 = = 16A1 - 8p0. В силу неотрицательности Q1 из первого уравнения системы (13) следует, что 51 = sign Q\. В новых переменных гамильтониан Ж1 и соответ- Подставляя полученное P1 в первое уравнение (13),
P2
p2 = 2 PiJ QiSin Q2 + —= COS Q2.
Mi
ственно система примут вид
„2 N
ti = 8 f 4Qi P? + QQ:^ + pe Qi- У2kAkQÍ,
8
dQ d т
k = i
dQ2
= Qi Pi' dT = 4QQ;'
dPi i n2 P2 V nk .
-7- = Pi + —2- pc+ У k2 AkQ dT 2 8Q? ^
k-1 i ,
k=1
d т
= 0.
k=1
P2 = ci.
P1dP1 =
2
c
-V—2 + У 2k (k-i) AkQ
4Q3 8Q? k=2
k-2 1
dQ1.
Следовательно,
2 2 N
^ = -^2 + 80: + У 2 kAkQ
8 Q2 8 Qi k^2 8
или
где
S
Pi = ^ТФЖ), Si = ±i,
находим
Qi
T + c3
= 2 gi J
dQi
ТФЖ)
(15)
При N = 2, 3 мы имеем в (15) эллиптический интеграл, при N > 3 - гиперэллиптический интеграл. Обращая (15), получим Q1 как функцию величи-(13) ны т, которую подставим во второе уравнение системы (13). Получим
Q = Ci¡ _dr_
Q2= 4 J Qi ( t)
+ C4, C4 = Q2( 0).
Так как гамильтонная Ж1 не зависит явно от т и Q2, то система (13) имеет два интеграла
2N
i Qi Pi + 8Q- + p°Qi- У 2kAkQi = Ei. (14)
Здесь с3, с4 - постоянные интегрирования. При N = 2 или N = 3 величины Q1, Q2, Р1 выражаются через эллиптические функции Якоби sn т, сп т.
Аналогично интегрируется система (11) с помощью предварительного преобразования
Здесь Е1, с1 - постоянные интегрирования. Исключая dт из уравнений для Р1 и Q1 и учитывая эти интегралы, получим
q3 = VQ3COS Q4, q4 = TQsSin Q4,
P4
Р3 = 2 P3J Q3COS Q4- —Sin Q4,
Q3
= 2 P^VQ¡Sin Q4 + p4r cos Q4.
3 3 4 Q3 4
(16)
p4
В новых переменных получаются интегралы
2N i ^ n2 P4 , ^ V1 ^kn -.k e2 2Q3P3 + 8TT + P0Q3- У 2 BkQ3 = -8"'
k=i
(17)
и выражения для P3 и Q4
P3 = QJ Ф2 (Q3), S2 = sign Q3,
Ф1 (Qi) = - ci + Ei Qi + c2 Q? + У 2k + 3AkQi + i
k=2
°> = ci J
С5Г dT
Q3(t)
+ c8, c8 = Q4( 0),
T
0
T
N
0
где
Ф2(йъ) = - с5 + ¿203 + Сбе2+ V 2к + 3Бкб3+-
к=2
полином степени N + 1 относительно б3 и с6 = = 16Б1 - 8р0 - постоянная интегрирования. Функция б3(т) является результатом обращения интеграла
т + с7
= 2 52|
й03
ТФЖ)
(18)
Таким образом, при N = 2, 3 величины б3, б4, Р3 также выражаются через эллиптические функции. Нижние пределы п в интегралах (15), (18) выбираются в зависимости от расположения ¿1, б3 относительно корней полиномов Ф^бх), Ф2(б3) соответственно.
Начальные значения переменных ¿г, Рг (г = 1, 2, 3, 4) находятся из формул обратного преобразования.
Значения постоянных интегрирования с1, с2, с3, с4, Е1 находятся по начальным значениям для переменных б1, б2, Р1, Р2. Отметим, что интеграл (14) связывает между собой эти пять постоянных. Точно так же постоянные с5, с6, с7, с8, Е2 связаны посредством интеграла (17) и определяются по начальным значениям для переменных ¿3, ¿4, Р3, Р4. К этим связям добавляется соотношение с2 - с6 = = 16(Л1 - Б1). Кроме того, из интеграла ытК4р = 0 находим еще одно соотношение: сх = с5.
Применяя далее формулы (12) и (16), найдем величины д, р г (г = 1, 2, 3, 4) как функции т.
Для окончательного интегрирования системы (6) необходимо рассмотреть два оставшихся уравнения при ] = 0:
й д 0 йт
дЖ = ^2 йр0
др
йт
дЖ
дд0
= 0.
Из первого уравнения находим физическое время, выраженное через т:
т
г = д0 = | 2йт + с9 = г- + г2, (19)
где
г- = | б-(т) йт, г2 = | ¿3 (т) йт 00 (постоянную интегрирования с9 принимаем равной нулю). Второе уравнение дает р0 = -Я(х°, у0). Таким образом, система (6) полностью проинтегрирована.
Рис. 1. Случай Л3 > 0. Два вещественных корня.
3. обращение эллиптических интегралов
Рассмотрим случай N = 3. Тогда Ф1(б1), Ф2(б3) полиномы четвертой степени
4 3 2 2
Ф-(0-) = 64Л3+ 32Л2б- + с1й\ + Е-й- - с-,
Ф2(¿3) = 64Б3б3 + 32Б2б3 + сбб3 + ¿263- 4
Переменные и б3 по определению неотрицательные и из интегралов (15), (18) вытекает, что область изменения этих переменных определяется неравенствами
Ф1(б1) > 0, Ф2Ш > 0.
(20)
Обратим интеграл (15). Расположение корней многочлена Ф1 зависит от значений старшего коэффициента Л3. Поэтому будем различать два случая относительно знака величины Л3: Л3 > 0, Л3 < 0. Если Л3 = 0, то Ф1 многочлен третьей степени и этот случай рассматривается как в работе [2]. Случай кратных корней здесь не рассматривается, так как он приводит к элементарным интегралам. Обозначим корни многочлена Ф1 через
I. Предположим, что Л3 > 0. Так как Ф1(±^) > 0 и Ф1(0) < 0, то Ф1 имее
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.