научная статья по теме СЕМИНАР ПО КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЕ В 2012-2013 ГГ Математика

Текст научной статьи на тему «СЕМИНАР ПО КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЕ В 2012-2013 ГГ»

ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2014, No 2, с. 3-11

КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА

У V 004.421.6

СЕМИНАР ПО КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЕ В 2012^2013 г.г.

© 2014 г. С. А. Абрамов*, А. А. Боголюбская**, В. А. Ростовцев**

* Вычислительный центр РАН 119333 Москва, ул. Вавилова, 40 **Объединенный институт ядерных исследований 141980 Дубна Московской области E-mail: sergeyabramov@mail.ru, abogol@jinr.ru, rost@jinr.ru Поступила в редакцию 30.06.2013

Годовой отчет о работе научно-исследовательского семинара по компьютерной алгебре.

1. О СЕМИНАРЕ

В семинаре рассматриваются новые результаты в области компьютерной алгебры — символьные алгоритмы и их реализация, соответствующие вопросы системного программирования.

В 2012-2013 учебном году семинар собирался раз в месяц по третьим средам на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, а в мае 2013 г. в Дубне, в Объединенном институте ядерных исследований (ОИЯИ) состоялось традиционное заседание, организованное совместно с Лабораторией информационных технологий ОИЯИ.

Web-страница семинара http : //

www.ccas.ru/sabramov/seminar/doku.php содержит информацию о планируемых и состоявшихся ранее докладах.

2. РЕГУЛЯРНЫЕ СОБРАНИЯ СЕМИНАРА

С сентября по апрель были прочитаны следующие доклады1.

О.Н. Переславцева (ТГУ им. Г.Р. Державина, Тамбов; oxana.pereslavtseva@gmail.com) Вычисление характеристических полипомов плотных матриц: последовательные и параллельные алгоритмы.

1Перечень докладов, прочитанных в 1995-2012 г.г., опубликован в [1]-[18].

Рассматриваются алгоритмы вычисления характеристических полиномов матриц в коммутативных кольцах. Исследуются два класса алгоритмов - прямые алгоритмы и алгоритмы, основанные на методе гомоморфных образов. Для прямых алгоритмов получены выражения для сложности по числу мультипликативных операций над машинными словами. Эти выражения дают возможность сравнивать исследуемые алгоритмы. Приводится экспериментальное сравнение программ, которые были разработаны по этим алгоритмам. Сопоставляются теоретические и экспериментальные результаты.

Описываются также параллельный алгоритм и программа вычисления характеристических полиномов для целочисленных и полиномиальных матриц. Приводятся результаты экспериментов, проведенных на вычислительном кластере МУБЮОк Межведомственного суперкомпьютерного центра РАН.

С.Ф. Адлай (ВЦ РАН, Москва; 8енцопас11а.]@ gmail.com) Приложение алгебраического подхода Софуса Ли к исследованию эллиптических функций.

Шагом на пути к исследованию решений дифференциального уравнения является определение структуры его фиксирующей группы, то есть структуры группы преобразований, переводящих одно решение данного дифференциального уравнения в другое. Такой подход позволяет объединить два традиционных подхода к ис-

следованию эллиптических функций, а именно подход Якоби и подход Вейерштрасса. Группы дифференциального уравнения, которому удовлетворяет эллиптический синус Якоби, и, соответственно, дифференциального уравнения, которому удовлетворяет эллиптическая функция Вейерштрасса, оказываются изоморфными че-тырехэлементной группе Клейна. Это позволяет получить новые результаты, касающиеся эллиптических интегралов и функций.

A.B. Батхин (1111\! им. М.В. Келдыша, Москва; batkhin@gmail.com) Двоякосиммет-ричные периодические решения системы Гамильтона.

Рассматривается автономная система Гамильтона с двумя степенями свободы, система канонических уравнений которой ¿-инвариантна относительно конечной группы преобразований с двумя образующими. Методами компьютерной алгебры исследуется структура матрицы мо-нодромии двоякосимметричного периодического решения системы Гамильтона. Показано, что наименьшее значение индекса устойчивости такого периодического решения равно —1; при этом значении всегда имеется пара периодических решений второго рода по Пуанкаре с удвоенным периодом и с одной симметрией. Полученные результаты применяются к исследованию новых семейств периодических решений плоской круговой задачи Хилла.

A.A. Рябенко (ВЦ РАН, Москва; anna.ryabenko@gmail.com) Символьное решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Предлагаются компьютерно-алгебраические алгоритмы решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами. Для неоднородных уравнений даются алгоритмы построения решений в виде рядов с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими коэффициентами и алгоритмы поиска точек, в которых такие решения существуют. Для однородных уравнений описывается модулярно-вероятностный алгоритм поиска m-точек (m — целое, m ^ 2), то есть точек, в которых существуют решения в виде ряда, только каждый m

Представляются алгоритмы построения в особых точках однородных уравнений формальных экспоненциально-логарифмических решений, содержащих ряды с гипергеометрическими и даламберовыми коэффициентами.

Реализация алгоритмов встроена в систему Maple как пакет Slode.

Е.С. Шемякова (ВЦ РАН, Москва; shemyakova.katya@gmail.com) Обратимые преобразования Дарбу.

Статья по теме доклада публикуется в этом номере журнала.

М.Н. Геворкян (ФМиЕН РУДН, Москва; mngevorkvan@sci.pfu.edu.ru) Анализ составных симплектических методов и симплектичес-ких методов семейства Рунге-Кутта для, протяженных во времени задач.

При разработке классических численных методов основное внимание уделено уменьшению локальной ошибки вычислений. Однако по мере усложнения решаемых задач возникает необходимость производить вычисления для протяженных во времени процессов. В связи с этим получили развитие геометрические интеграторы, которые учитывают геометрическую структуру решаемой задачи. В случае гамильтоновой механики здесь надо упомянуть симплектические численные методы, каждая итерация которых в точности сохраняет симплектическую структуру уравнений Гамильтона (симплектическую 2-форму). Достоинство таких методов в том, что погрешность вычисления инвариантов системы не растет со временем, а изменяется в очень ограниченных пределах. Благодаря этому свойству симплектические численные методы нашли применение в небесной механике, молекулярной динамике и компьютерной анимации.

Дается краткий обзор симплектических методов. Представлены некоторые теоретические результаты, касающиеся условий симплектично-сти при композиции раздельного метода Рун-ге-Кутта с присоединенным. Также описывается составной симплектический метод для ограниченной задачи трех тел, который не сводится к методу типа Рунге-Кутта. Приведены результаты сравнения различных симплектических методов (раздельных методов Рунге-Кутта, методов I'yinc Купа Пкнтрема. различных состав-

ных методов), и дается оценка точности сохранения инвариантов (полной энергии, момента импульса, вектора Лапласа-Рунге-Ленца).

С.А. Абрамов (ВЦ РАН, МГУ, Москва; sergeyabramov@mail.ru), М.А. Баркату (Лимож-ский университет, Лимож;

moulav. barkatou@unilim.fr), Д.Е.Хмельнов (ВЦ РАН, Москва; dennis_khmelnov@mail.ru) О дифференциальных системах полного ранга с коэффициентами в виде степенных рядов.

Рассматривается следующая задача: дана система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с коэффициентами в виде формальных степенных рядов, требуется установить, имеет ли система ненулевые решения в виде лорановых рядов, и найти все такие решения, если они существуют (в усеченном виде с сохранением размерности пространства таких решений). Предполагается, что ряды, представляющие собой коэффициенты исходной системы, заданы алгоритмами вычисления коэффициентов; таким образом, мы в общем случае не можем сказать, является ли данный ряд нулевым. Рассматриваемая задача оказывается алгоритмически неразрешимой. Но она разрешима в случае, когда заранее известно, что система имеет полный ранг.

Предлагаемый алгоритм реализован в Maple.

B.B. Галкин (МГУ; galkin-vv@vandex.ru) Сигнатурные алгоритмы, вычисления базисов Греб-нера для решения полиномиальных систем.

Статья по теме доклада публикуется в этом номере журнала.

C.А. Гутник (МФТИ, Москва; s.gutnik@inno.mgimo.ru), В.А. Сарычев (1111 \! им. М.В.Келдыша РАН, Москва; vas31@rambler.ru) Символьно-численные методы исследования, динамики спутника-гиростата.

Статья по теме доклада будет опубликована в следующем номере журнала.

A.A. Михалев (Мех-мат МГУ, Москва; aamikhalev@mail.ru) ПБВ-пары, многообразий линейных алгебр и символьные вычисления в свободных алгебрах.

Рассматривается понятие ПБВ-пары многообразий линейных алгебр над полем. Если

(V, Ш) — ПБВ-пара многообразий и многообразие V шрайерово, то Ш — также шрайерово многообразие. Аналогичные результаты справедливы для теоремы о свободе и для проблемы равенства. Если V(X) и Ш(X) — свободные алгебры с множеством X свободных образующих многообразий V и Ш соответственно, то алгебра

V (X) является универсальной обертывающей алгеброй для алгебры Ш(X). В случае, когда

V (X) — свободная неассоциативная алгебра, это открывает возможность использования алгоритмов символьных вычислений в алгебре Ш (X) (распознавание автоморфизмов, примитивных элементов, построение нормальных форм элементов и стандартных базисов идеалов). Доклад основан на совместной с И.П.Шестаковым статье.

3. ДВУХДНЕВНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ В ОБЪЕДИНЕННОМ ИНСТИТУТЕ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ(ДУБНА)

По установившейся традиции в мае 2013 г. в Дубне прошло совместное заседание семинаров "Компьютерная алгебра" факультета ВМК МГУ и ВЦ РАН и семинара Лаборатории информационных технологий ОИЯИ. По существу, это была двухдневная конференция по компьютерной алгебре и ее приложениям.

Вниманию участников были предложены следующие выступления.

С.А. Абрамов (ВЦ РАН, МГУ, Москва; sergevabramov@mail.ru), М.А.Баркату (Лимож-ский университет, Лимож;

пюи1ау. barkatou@unilim.fr) О размерности простра нет в решений линейных дифференциальных систем полного ранга.

Исследуется изменение размерности пространства решений имеющей полный ранг системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка под действием дифференцирования какого-то одного уравнения системы. На основе этого показывается, как может быть

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»