Письма в ЖЭТФ, том 89, вып. 9, с. 528-534
© 2009 г. 10 мая
Серфотронное ускорение в электромагнитных волнах с малой
фазовой скоростью
А. И. Нейштадт +*, А. В. Артемьев+1\ Л. М. Зеленый+, Д. Л. Вайпштейпv
+ Институт космических исследований РАН, 117997 Москва, Россия "Dept. of Math. Sciences, Lougbborougb University, LEU 3TU Loughborough, UK v Dept. of Mechanical Engineering, Temple University, PA 19122 Philadelphia, USA
Поступила в редакцию 10 марта 2009 г.
Обнаружена возможность неограниченного серфотронного ускорения нерелятивистских заряженных частиц медленными электромагнитными волнами и описан захват в режим такого ускорения. Рассмотрена область параметров, в которой существует эффект захвата и ускорения. Проведены оценки вклада данного механизма в рост энергии заряженных частиц в земной магнитосфере.
РАСБ: 05.45.^а, 94.05.Pt
Серфотронным ускорением заряженных частиц называется их ускорение плазменной волной в направлении вдоль фронта волны, обеспечиваемое присутствием стационарного магнитного поля (см., например, [1], гл.8, §4). На возможность такого ускорения ударной волной указано в [2]. В работах [3-6] рассматривалось ускорение электростатической волной, распространяющейся перпендикулярно магнитному полю. Волна предполагалась синусоидальной высокочастотной (частота волны много больше лар-моровской частоты вращения частицы). Предполагалось, что частица изначально находится на дне потенциального рва, созданного совместным влиянием волны и магнитного поля. Было показано, что энергия нерелятивистской частицы при ускорении растет лишь до определенного предела [3, 4]. Затем потенциальный ров исчезает и ускорение прекращается. Ультрарелятивистская частица при некоторых соотношениях между параметрами задачи ускоряется неограниченно: ее скорость все больше приближается к скорости света, а энергия неограниченно растет [5] (термин "серфотронное ускорение" был первоначально предложен при описании именно этого явления). Исследовался также и случай, когда изначально частица не находилась в потенциальном рве. В этом случае основное воздействие на частицу волна оказывает вблизи черенковского резонанса, когда проекция скорости частицы на направление распространения волны близка к фазовой скорости волны. Вдали от резонанса воздействием волны на частицу можно пренебречь и считать, что частица в главном приближении движется по ларморовской окружнос-
^ e-mail: artemyeveiki.rssi.ru
ти. Однако в ходе этого движения проекция скорости частицы на направление распространения волны изменяется, и, если абсолютная величина скорости частицы больше фазовой скорости волны, то неизбежно должен возникнуть резонанс. Анализ происходящих при этом явлений приводит к известной общей задаче о резонансах в системах с быстрыми и медленными движениями ([7], гл. 6, §1.7). При этом возможен захват в резонанс: частица захватывается в потенциальный ров и начинает двигаться так, чтобы поддерживалось состояние резонанса. Это и есть захват в режим серфотронного ускорения, который возможен и для нерелятивистской [8, 9], и для релятивистской частиц [10]. В [11, 12] результаты [10] распространены на случай электростатической волны, распространяющейся не перпендикулярно магнитному полю. Случай ультрарелятивистской частицы и электромагнитной волны был рассмотрен в [11, 13].
В настоящей работе рассматривается возможность серфотронного ускорения нерелятивистской частицы плазменной электромагнитной волной, распространяющейся перпендикулярно стационарному постоянному магнитному полю. Основной результат состоит в том, что в данной конфигурации полей частица, захватившись в режим серфотронного ускорения, уже не покидает потенциальный ров и неограниченно ускоряется. Если же параметры задачи таковы, что серфотронное ускорение невозможно (нет потенциального рва), то энергия частицы испытывает изменения при каждом переходе через резонанс, но накопление этих изменений ведет к ограниченному росту энергии (энергия частицы е не может превысить некоторого значения £*).
Структурно работа разделена на три части. В первой части обсуждается возможность захвата частицы волной и изучается дальнейшее ускорение этой частицы. Во второй части речь идет о движении частицы в отсутствие захвата в резонанс и разобран диффузионный механизм набора энергии. И, наконец, третья часть посвящена рассмотрению тех диапазонов параметров, в которых наблюдаются эффекты захвата и ускорения. При этом, если большинство работ по серфотронному ускорению посвящено реляти-вистким пределам и, таким образом, изучаемые эффекты характерны для межзвездного пространства [14-16], то в этой работе мы рассматриваем спектр параметров, характерных для геофизики.
Рассматриваемая задача имеет плоскую геометрию: частицы движутся в плоскости (ж, у), перпендикулярно которой действует магнитное поле Bz(x,y,t). Это поле представляет собой сумму постоянной компоненты Во и поля электромагнитной волны В\ = В\ sin(kr — wt). Электрическое поле определяется из уравнений Максвелла (rotE = = ^c~1ezdBz/dt) и параллельно плоскости (х, у); его компоненты: Ех (x,y,t) и Еу (x,y,t).
Уравнения движения заряженной частицы с массой тп и зарядом е в такой конфигурации полей выглядят следующим образом: mdv/dt = еЕ + e.Bz(v х х е~)/с и dr/dt = v.
Захват частицы волной. Будем считать, что волна распространяется вдоль оси у: k = кеу, и обозначим ее фазовую скорость через Юф = из/к (случай волны с кюф Ьп, Ьп = еВо/тс рассматривается аналитически, но численные результаты будут представлены для более широкого набора параметров). Тогда уравнения движения частицы примут вид
vx = 5ьф sin (ф) vy = ^ (b„
(Ьп - 5sin (ф))ьу, -£sin(0))tv
(1)
Здесь ф = к(у — УфЬ) + фо - фаза волны и S = = —еВ\/тс- ее амплитуда. Система (1) приводится к безразмерным переменным введением временного масштаба io (8 toS, bn —t tobn), пространственного масштаба Zo (г —^ r/Zo, к —t klo) и связанного с ними масштаба по скоростям и = Zo/io (v -^ v/u, Ьф —t —t Ьф/и). Добавим к системе уравнений (1) уравнение ф = k(vy — i>ф). В полученной системе уравнений при кюф Ьп переменные vx, vy медленные, а переменная ф вдали от резонанса, где vy и Ьф, может рассматриваться как быстрая. Для приближенного описания динамики вдали от резонанса усредним правую часть полученной системы уравнений по быстрой пе-
ременной ф. Получим уравнения, описывающие лар-моровское движение: vx = bnvy, vy = vx. Лармо-ровская окружность + vy = Vg = const на плоскости vx, vy пересекает резонансную прямую vy = Юф в двух точках (считаем, что г»о > Ьф> 0). Для описания динамики вблизи резонанса учтем, что ф к, 0, и будем использовать ф, ф вместо у, vy:
Vx = Ь„Ьф,
ф = -k(bn - 6sm№))vx
(2)
В этой системе переменная юх меняется медленнее, чем пара ф, ф. Поэтому сначала рассмотрим второе уравнение системы (2) при замороженном значении юх. Это уравнение нелинейного маятника с постоянным крутящим моментом. Фазовый портрет такого маятника для случая 5 > Ьп представлен на рис.1. Толстой черной линией на рисунке пока-
=?
Рис.1. Фазовый портрет маятника с крутящим моментом для случая их > О
зана сепаратриса, разделяющая два типа движения. Чтобы получить важную для дальнейшего формулу для площади в под сепаратрисой, напишем гамильтониан для второго уравнения системы (2): Н = = ф2/2+кух{Ьпф + 5со$,{ф)). Энергия на сепаратрисе может быть найдена как Нв = кух{Ьпфа + 6соз(фе)). Здесь фц - значение фазы в седле. Сепаратриса пересекает ось ф = 0 в точках фе и Ф2, и Ф2 можно определить из уравнения Не = кух{Ьпф2 + ¿сов^г))-Тогда
5 = 23/2УВД1х
02
/ V\Ws
I bn/S + (cos (ф8) - cos (ф)) |d0. (3)
0
12 г 840-4-
к = 1 Г):
| I | I | I |
к = 100
4
I I I I I I I I
-10 0 10 20 30 40 -10 0 10 20 30 40 -10 0 10 20 30 40
Рис.2. Захват частицы в одну волну для трех различных значений волнового числа. Параметры системы (1): Ь„ = 7г/4, 5 = 7Г, Уф = 1
Учтем теперь медленный линейный рост юх со временем в соответствии с первым уравнением (2): юх ~ ~ ЬпУф1. Движение частиц, находящихся внутри области, ограниченной сепаратрисой (области колебаний, рис.1, литера А), можно представить как суперпозицию движения по замкнутым фазовым кривым гамильтониана Н и эволюции этих кривых. При этом из-за наличия быстрых и медленных переменных система имеет адиабатический инвариант: эволюция происходит так, что площадь I, ограниченная замкнутой фазовой кривой, в главном приближении остается постоянной [17]. Площадь, ограниченная сепаратрисой, в ходе этого движения при юх > 0 растет, так как эта площадь пропорциональна \/\юх\, а |г»„| растет. Поэтому частицы, находящиеся при юх > 0 в области колебаний, не могут из нее выйти и неограниченно ускоряются по закону юх ~ ЬпУф1. По этой же причине в область колебаний могут захва-титься новые частицы из числа совершающих лар-моровское движение и подошедших к резонансу при юх > 0. Таким образом, на ларморовской окружности из двух точек, в которых частица находится в резонансе с волной, остается только одна, с юх > 0, в которой частица может захватиться в резонанс. В ансамбле частиц, подошедших к резонансу при некотором юх > 0, относительная доля тех, которые захватятся в область колебаний, в главном приближении по малому параметру 1 /к составляет {дЗ/дух) Ьх/(2тгкЬ^х) = вУф/Аж. Эта формула вытекает из общей формулы для вероятности захвата в резонанс (поскольку начальные данные для траекторий с захватом и без захвата перемешаны, то приходится говорить о вероятности захвата) [7]. Вероятность захвата вычисляется через отношение втекающего в область колебаний фазового объема к сумме втекающего в область колебаний и протекающего че-
рез резонанс без захвата фазовых объемов, и является величиной порядка 1 /у/к.
Численные расчеты для системы (1) представлены на рис.2: показаны траектории частиц в пространстве скоростей (захват в резонанс происходит при vx > 0, как это и следует из теории). До этого момента рассматривался случай волны с ш > !)„ (и, соответственно, к 1). Но стоит отметить, что, как видно из рис.2, аналогичные эффекты имеют место и для случая умеренных длин волн и низких частот
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.