ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2014, том 54, № 7, с. 1203-1217
УДК 519.634
СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ1)
© 2014 г. А. В. Васюков, А. С. Ермаков, И. Б. Петров, А. П. Потапов, А. В. Фаворская, А. В. Шевцов
(141700Долгопрудный М.о., Институтский пер., 9, МФТИ) e-mail: petrov@mipt.ru Поступила в редакцию 24.01.2014 г.
В работе рассматривается комбинированный метод моделирования упругопластических тел, призванный объединить преимущества двух методов: сглаженных частиц и сеточно-характе-ристического. Для численного моделирования упругопластических сред уже долгое время применяются различные сеточные методы, в том числе сеточно-характеристический метод. Данный метод позволяет моделировать волновые процессы в упругих средах, в том числе и упругие удары, причем в этом случае преимущество имеет использование подвижной тетраэдральной сетки. Кроме того, использование различных критериев разрушений позволяет моделировать процессы разрушения, что, однако, является технически сложным и снижает точность из-за необходимости регулярного перестроения расчетной сетки. Для моделирования процессов, сопровождающихся значительными разрушениями и деформациями, лучше подходит метод сглаженных частиц, являющийся бессеточным методом. Тем не менее, этот метод не лишен недостатков: для метода характерны нефизичные осцилляции, а моделирование колебаний требует измельчения частиц. Таким образом, имеется два семейства методов, являющихся оптимальными для двух разных групп задач. Однако реальная задача часто может оказаться смешанной, что потребует идти на существенный компромисс при выборе численного метода. С целью решения таких задач разрабатывается комбинированный численный метод GCM—SPH, объединяющий преимущества и частично устраняющий недостатки двух базовых методов. Библ. 32. Фиг. 16.
Ключевые слова: сеточно-характеристический метод, метод сглаженных частиц, численное моделирование, неструктурированные сетки, комбинированный метод, высокопроизводительные вычислительные системы, пространственные динамические задачи.
DOI: 10.7868/S0044466914070114
ВВЕДЕНИЕ
При моделировании упругих и упругопластических взаимодействий на протяжении значительного времени широкое распространение имеют сеточные методы, в частности: метод конечных объемов (см. [1]) и сеточно-характеристический (см. [1]—[10]). Задачи ударного взаимодействия деформируемых твердых тел рассматриваются в [4], [11]—[19].
В последнем десятилетии XX века с ростом вычислительных мощностей стали приобретать распространение адаптации метода сглаженных частиц (8РИ) к моделированию упругопластических тел (см. [20]—[23]), который был предложен первоначально для моделирования звезд и претерпел затем ряд усовершенствований (см. [24], [25]). Также для решения задач в системе "ударник—мишень" используются адаптивные сетки (см. [26]).
Суть комбинированного метода ОСМ—8РИ (см. [27], [28]) состоит в моделировании частей тел, подверженных существенным деформациям, методом сглаженных частиц (см. [29]), в то время как остальные части тел моделируются сеточно-характеристическим методом (см. [2]—[10]). Более того, путем соответствующего разделения удается добиться отсутствия пластических деформаций в области, моделируемой сеткой, и вблизи границы раздела сеточно-характеристиче-ского метода и метода сглаженных частиц. Поэтому можно ограничиться решением системы
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 13-07-00072 а и 13-01-12009 офи_м) и Российского научного фонда (код проекта 14-11-00263).
1203
10*
уравнений, характеризующей состояние бесконечно малого объема сплошной линейно-упругой среды (см. [30]) с использованием сеточно-характеристического метода, в то время как метод сглаженных частиц используется для решения аналогичной системы линейной упругости (см. [30]) в сочетании с критерием пластического течения Мизеса (см. [31]).
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Состояние бесконечно малого объема сплошной линейно-упругой среды подчиняется следующим уравнениям (см. [30]):
рдV = (V- о)т, (1)
д(а =Х (V-V) + ц (V® V + (V® V)). (2)
Уравнение (1) является локальным уравнением движения. В нем р — плотность материала, V — скорость движения, а — тензор напряжений Коши, являющийся симметричным в силу закона парности касательных напряжений (см. [30]). Уравнение (2) выводится из закона Гука путем дифференцирования по времени. В нем X, ц — параметры Ляме, определяющие свойства упругого материала. Метод сглаженных частиц используется для решения системы (1), (2) в сочетании с критерием пластического течения Мизеса (см. [31]).
В (1), (2) использованы следующие обозначения: да
д ,а =--частная производная поля а по
д?
а ® Ь — тензорное произведение векторов а и Ь, (а ® Ь) = а Ь.
Поскольку для обоих базовых методов решение в каждой точке пространства на каждом шаге по времени зависит только от решения в близлежащей области на предыдущем шаге, вдали от границы раздела двух методов каждый из них работает независимо. Поэтому наибольший интерес представляет организация взаимодействия двух методов вдоль границы их раздела.
Как известно, основой сеточно-характеристического метода является перенос решения между временными слоями вдоль характеристик (см. [2]—[10]), а конкретный способ вычисления значения решения в точке пересечения характеристики с предыдущим временным слоем не имеет значения. Это позволяет реализовать учет решения в области с частицами при поиске решения в области сетки, граничащей с частицами: при попадании характеристики в область с частицами интерполяция компонент скорости и тензора напряжений производится с использованием того же ядра сглаживания, которое используется в реализованной вариации метода сглаженных частиц.
Несколько сложнее оказывается организация учета решения в области с сеткой при поиске решения в области с частицами, граничащей с сеткой. Суть метода сглаженных частиц (см. [29]) состоит в вычислении временных производных компонент решения, аналитически выраженных через численное решение в соседних частицах, и последующем явном интегрировании по времени. Для решения проблемы переноса решения из части области интегрирования, в которой используется сеточно-характеристический метод, в часть области интегрирования, в которой используется метод сглаженных частиц, используются "сеточные" частицы — тонкий слой особых частиц, расположенных вдоль границы раздела методов внутри области с сеткой. В отличие от обычных частиц решение в этих частицах, а также их смещение за шаг, не вычисляется обычным методом (см. [29]), а интерполируется по значениям компонент скорости и тензора напряжений в опорных точках тетраэдральной сетки.
Максимальный шаг по времени для метода в целом определяется как минимум из максимально возможных шагов для каждого из методов.
2. ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Пусть рассматриваемая область интегрирования разделена на две части. В правой части применяется сеточно-характеристический метод. Далее будем называть ее ОСМ-областью. В левой части применяется гибридный метод сглаженных частиц. Далее будем называть ее 8РИ-обла-стью.
Обозначим вектор-функцию, описывающую состояние вещества в ОСМ-области, через Ч осм(?). При этом qgcm (?) характеризует совокупность значений величин, описывающих состояние вещества в ОСМ-области во всех узлах используемой тетраэдральной сетки на данном временном слое
Обозначим тетраэдральную сетку, используемую в ОСМ-области на данном временном слое через МеБ^м (?).
Обозначим вектор-функцию, описывающую состояние вещества в ЗРИ-области, через Чзрн (?). При этом ч 8ри (?) характеризует совокупность значений величин, описывающих состояние вещества в ЗРИ-области во всех используемых частицах на данном временном слое
Вдоль границы между ОСМ-областью и ЗРИ-областью в ОСМ-области вводятся два слоя вспомогательных частиц. При этом за чзрн (?, т) обозначим ту часть совокупности значений Чзрн (?), которая характеризует состояние вещества в данных вспомогательных частицах. Двух слоев мнимых частиц достаточно для поиска недостающих соседей для частиц из ЗРИ-области при условии, что глубина сглаживания используемого ядра не превышает начального расстояния между частицами более чем в 2 раза.
Обозначим максимально возможный на данном временном слое ? шаг интегрирования в ОСМ-области через тОСМ (?), а максимально возможный на данном временном слое ? шаг интегрирования в ЗРИ-области — через х8РИ (?).
Обозначим оператор перехода на новый временной слой в ОСМ-области через ^см. Тогда справедливо уравнение
Чосм (? + т (?)) = ^см • Чосм (?).
Данный оператор ^см определяет всю совокупность действий над значениями предыдущего временного слоя чОСМ (?) в соответствии с использованием сеточно-характеристического метода (см. [2]—[10]) на используемой тетраэдральной сетке Ме8ИОСМ (?).
Обозначим оператор перехода на новый временной слой в ЗРИ-области через ^рн. Тогда справедливо соотношение
Чзри (? + т (?)) = ^ри • Чзры (?).
Данный оператор NSPH определяет всю совокупность действий над значениями предыдущего временного слоя чзрн (?) в соответствии с использованием гибридного метода сглаженных частиц (см. [29]). При этом его действия разбиты на следующие этапы.
1. Предварительные вычисления в данной части области интегрирования с целью определить максимально возможный временной шаг:
4зри ) = ^рн ' 4 зри (?) ,
Тзрн (?) = / (Ч зрн (?)).
2. Расчет функций, описывающих состояние вещества в ЗРИ-области:
Чзрн (? + т (?)) = зрн • 4зрн (?).
Таким образом, оператор ^рн представим в виде произведения двух вспомогательных операторов N зрн и N зрн:
N зрн = ^^ sphn зрн.
Обозначим оператор интерполяции в мнимых частицах по значениям в тетраэдральной сетке
через ^рн^осм:
чзрн (?) 1т) = ^рн^осм ' чосм ).
Можно представить данный оператор 1ЗРН^ОСМ и так, что он действует на всю совокупность Чзрн (?), при этом изменения будут произведены им только в мнимых частицах чзрн (?, 1т):
чзрн ) = ^рн^осм ' чосм ).
Обозначим оператор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.