ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 11, № 1, 2015, стр. 36-40
= МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА =
УДК 539.3
SH-ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ
МАГНИТОУПРУГОЙ СРЕДЫ
© 2015 г. М.О. Леви1, 2, К.Л. Агаян3, О.М. Тукодова4
Поступила 30.10.2014
В безобменном приближении рассмотрена динамическая связанная задача о распространении БН-волн в предварительно напряженном структурно неоднородном магнитоупругом полупространстве. Среда представляет собой преднапряженный пьезоактивный слой, жестко сцепленный с предна-пряженным пьезоактивным полупространством. В качестве примера исследуется среда, выполненная из ферромагнетика гексагональной симметрии 6тт феррита кобальта (II). Верхняя граница среды механически свободна, на границе раздела полупространства и слоя установлены условия непрерывности магнитного потенциала, механических напряжений и механических смещений. При магнитозакрытых условиях на границах раздела соответствующий магнитный потенциал равен нулю. В рамках материальной (лагранжевой) системы координат проведена последовательная линеаризация определяющих соотношений нелинейной механики магнитоупругой среды, находящейся под действием начальных механических напряжений. Построена и исследована функция Грина магнитоупругой среды. Получены распределения фазовых скоростей в зависимости от частоты при различных граничных условиях на поверхности и границе раздела между слоем и полупространством. Рассмотрено влияние различных режимов осевой деформации среды на фазовые скорости. Исследована возможность компенсации различного типа магнитных условий с помощью различных режимов начальной деформации верхнего слоя. Установлены условия существования магнитоупругих БН-волн в зависимости от условий на внутренней и внешней границах в однородной среде.
Ключевые слова: динамика, магнитоупругость, контактное взаимодействие, магнитное поле, сдвиговые колебания, функция Грина, начальная деформация.
ВВЕДЕНИЕ
Разработка устройств обработки и генерации сигналов, работающих при различных внешних условиях под действием больших динамических нагрузок, предъявляет новые требования к исследованию взаимодействия магнитных, электрических и механических полей. Поверхностные сдвиговые волны под действием внешнего магнитного поля были рассмотрены в работе [1]. Магнитоуп-ругие волны Лява в пористой среде были изучены
1 Южный научный центр Российской академии наук (Southern Scientific Centre, Russian Academy of Sciences), 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41, тел. 8 (863) 250-98-10, e-mail: moderx@mail.ru, kalin@ssc-ras.ru
2 НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воро-вича Южного федерального университета (Vorovich Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics, Southern Federal University), 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1.
3 Институт механики Национальной академии наук Республики Армения (Institute of Mechanics, National Academy of Sciences of Armenia), 375019, Республика Армения, г. Ереван, пр. маршала Баграмяна, 24б.
4 Донской государственный технический университет (Don State Technical University), 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1.
в работе [2]. Установлены критерии существования магнитоупругих волн. В [3] исследовалось распространение волн Гуляева-Блюштейна в элек-тромагнитоупругих функционально-градиентных материалах в отсутствие начальных напряжений. В [4] получены определяющие соотношения динамики предварительно напряженных электроупругих сред. В [5] исследовались особенности динамики слабонеоднородных электроупругих сред, неоднородность которых обусловлена различной поляризацией составляющих среды. Показано, что слабая неоднородность может существенно влиять на структуру поверхностного волнового поля. В [6] были выведены определяющие соотношения динамики предварительно напряженных магнито-упругих сред. Динамическая задача для сдвиговых электромагнитоупругих волн рассматривалась в [7; 8], в этих работах были получены фазовые скорости, а также распределения механических смещений в зависимости от начальных магнитных условий на границах среды. Распространение БН-волн в преднапряженных электроупругих средах с различной конфигурацией исследовалось в работах [9-16]. В данной работе показаны особенности распространения БН-волн в предварительно
напряженном слоистом магнитоупругом полупространстве. Исследуется влияние слабой неоднородности, вызванной различным начальным напряженным состоянием составляющих среды, а также магнитными условиями на границах. Рассмотрено влияние начальных напряжений на фазовые скорости БИ-волн.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Краевая задача о колебаниях предварительно напряженной неоднородной среды описывается системой линеаризованных уравнений движения и магнитостатики [7]
V ■ 0(n } = p(n)
2„(")
az u
dt2
V ■ B
(n) -
0.
(1)
b (n)_ fin )* и (n) n (n )* и (n) °l J lsp us, p-nlp «4, p
скр ё /¡кр" - упругие и пьезомагнитные константы, п(Р)* - константы магнитной проницаемости слоя (п = 1) или полупространства (п = 2) в начально-деформированном состоянии.
Из условий постановки задачи колебания среды удовлетворяют следующим критериям:
и 1 ) = и2п) = 0, -^ = 0, икп) = икп\х 1, X2), дх3
к = 3,4, п = 1,2. (3)
Подставляя формулы (3) в уравнения (1) и (2), получим уравнения сдвиговых колебаний для магни-
тоупругой БИ-волны
„(п)* и(п) + „(п)* и(п) + /(п)*и(п) +
с1331 "3,11 ^с2332 "3,22 ТУ231 "4,11 т
An)
+ f(n)* c(n) и(n) _ P(n) 'J 232 c 2342 «4,22 p
d2и3n)
at2 '
(4)
cО)* _ p(n) 5 + v(n)v(n) c(n)
clksp r lk 5ks + vk vs clksp7
f(n)* _ v(n) f(n) lsp s lsp
n(p )S_ n 0 o 1n) v 2n) v 3n) v (n)2 5 lp + 3lp).
(7)
(8)
пьезомагнитные и
Здесь р(п) - плотность материалов слоя (п = 1) и полупространства (п = 2), и(п) = {и 1п), и2п), и3п), и4п)} -расширенный вектор смещения произвольной точки среды (и4п) - потенциал магнитного поля в среде). @(п) и В(п) - линеаризованные тензор напряжений и вектор индукции магнитного поля магнитоупругой среды, компоненты которых определяются формулами [6]
О(п) = с(п)* и(п) + /(п)* и(п) (2)
01к с 1к$ри$,р +/ ¡кр и4,(2)
Здесь c lkSp, ftp и ) - упругие, константы магнитной проницаемости в отсутствие начальных напряжений, соответственно. n0 - магнитная проницаемость вакуума. oi _ 1 + 5, 5, - относительные удлинения волокон вдоль осей x1, x2, x3. bkp - константы магнитной восприимчивости, связанные с константами магнитной проницаемости соотношениями nkp _ П0 5kp + 3<fp). 5 j - символ Кронекера. Компоненты тензора напряжений Кирхгофа в начально-деформированном состоянии вычисляются из формулы ( Y(jn) _ - и 4nl)
p(n) _ c (n) о(n) f(n) xKn) (O)
-Wl c qjll qj J jll 1 j . (O)
Компоненты тензора деформации Коши в начально-деформированной конфигурации определяются выражением
Sjn)_1/25j(v,n)2 -1). (10)
Вектор магнитной индукции в начально-деформированном состоянии определяется формулой
b kn)_ ftn Sln)+nn y ). (11)
Предположим, что начальное напряженное состояние задано условиями
r(n)_ r(n) $ K(n) Q(n)_ K(n) $ K(n)T
(12)
K(n)_ 5jVin) rrj, v(n) _ 1 + 5(n)_ const.
Здесь R(n), r(n) - радиусы-векторы точки среды в начально-деформированном и естественном состоянии соответственно, G(n) - мера деформации Коши-Грина и для магнитного поля выполняются условия Yf) _ Y2n) _ 0.
Тогда, учитывая свойства пьезоактивных материалов класса 6mm, получим систему уравнений p(n)_ c (n) s(n) + c (n) s + c (n) s f(n) y(n)
r 11 +с1122°22+СШ3°33 -/311 3 ,
p(n)_ c (n) S + c (n) S + c (n) S f(n) Y(n) r22 c112^1^t111^2^t223^33 /31^3 '
p(n)_ c (n) S(n) + c (n) S + c (n) S f(n) y(n) Г33 <^1133^11 +c1133^22+c3333 ^33 - J 333 1 3 ,
b(n) _ f(n) S(n) + f(n) S(n) + ) S(n) + n (n) y(n)
(13)
Ап)* и(п) + Лп)* и(п) - И(п)* и(п) - И(п)* и(п) =0 (5) /231 «3,11 ^ 232 «3,22 п11 «4,11 п22 «4,22 0. (5)
НАЧАЛЬНОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
Компоненты тензора напряжений и вектора магнитной индукции (2) в начально-деформированном состоянии рассчитываются по формулам [17]
(6)
Уравнения (13) связывают между собой три компоненты тензора напряжений, три компоненты тензора деформаций и по одной компоненте вектора индукции и вектора напряженности магнитного поля. Для определения конкретного вида начального напряженного состояния достаточно задать любые четыре величины, остальные параметры будут найдены из уравнений (13). Ниже перейдем к безразмерным параметрам по формулам Л]к1 = /ук1 $ к/ /с2323^' п'ц = ПЦ ■ к/ /П0 с2323, ~ = мк/V/, к/ = 107 м/А. Здесь V/ - скорость
38
М.О. ЛЕВИ и др.
сдвиговой волны в магнитоупругой среде, к^ - специальная константа. Упругие константы отнесены к модулю сдвига полупространства, линейные параметры отнесены к толщине слоя, плотности слоя и полупространства - к плотности полупространства. Далее штрихи опускаем.
MC: u41)_0, u42)_0.
(20)
Далее полагаем, что внешнее статическое магнитное поле отсутствует.
ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Будем рассматривать комбинации граничных условий на поверхности, а также между слоем и подстилающим полупространством. Магнитоот-крытым (Magneto Open, MO) случаем будем называть случай, когда заданы условия полной сопряженности магнитного потенциала и индукции между двумя средами: b ^ = b 22) и u 4^ = u 42) - или заданной индукцией на поверхности среды b 2^ = 0. Магнитозакрытым (Magneto Closed, MC) случаем назовем случай, когда магнитный потенциал U4") равен нулю на границе раздела двух сред: u 4") = 0 (n = 0,2). Механические условия определим как полное сцепление между слоем и подстилающим полупространством: u 32) = u 3^ и 6 223) = 0 2У. На поверхности среда свободна от механических напряжений: 023 = 0. В символьном виде условия на поверхности х2 = h примут вид [8]
(14)
"(")"" $ u3,22 +/212 $ u4,2
2332
МО: /232* $ u312- n212)* $ u412 _0
(1)*
,(1) = ,
MC: u 41)_0.
(15)
(16)
Граничные условия между слоем и полупространством х2 = 0 представлены в виде
,(2)* .„(2) + Л2)* $ u(2) _ c(1)* $ u(1) + ^1)*
......'.+J232 и4,2 ^2332 и3,2 +J232
-2332 $ u3,2
u 412, (17)
u 3 ) u 3 ),
(18)
MO: /2з2 $ u3,(2 - n22 $ u4,2 _/2з2 $ u3,(2 - n2() $ u4,2^,
u(2) _ u(1) 44
(19)
Дисперсионное уравнение задачи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.