ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2009, том 49, № 8, с. 1416-1436
УДК 519.633
СХЕМА РИЧАРДСОНА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ С РАЗРЫВНЫМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ^
© 2009 г. Г. И. Шишкин
(620219 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, ИММ УрО РАН) e-mail: shishkin@imm.uran.ru Поступила в редакцию 20.10.2008 г.
Рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии с кусочно-непрерывным начальным условием в прямоугольной области. Старшая производная уравнения содержит параметр s2; s е (0, 1]. При малых значениях параметра s в окрестности боковой части границы и в окрестности характеристики предельного уравнения, проходящей через точку разрыва начальной функции, возникают, соответственно, пограничный и внутренний слои (с характерной шириной s), имеющие ограниченную гладкость при фиксированных значениях параметра s. С использованием метода аддитивного выделения особенностей (порождаемых разрывами начальной функции и ее производных низкого порядка), а также метода сгущающихся сеток (кусочно-равномерных сеток, сгущающихся в окрестности пограничных слоев) строится разностная схема, сходящаяся s-равно-
мерно со скоростью O(N-2ln2N + N01), где N + 1 и N0 + 1 — число узлов по х и t используемых сеток. На основе техники Ричардсона построена схема, сходящаяся s-равномерно со скоро-
3 -2
стью O(N + N0 ); показано, что для метода Ричардсона скорость s-равномерной сходимости по х с порядком выше третьего недостижима. Библ. 31.
Ключевые слова: сингулярно возмущенная краевая задача, параболическое уравнение реакции-диффузии, кусочно-непрерывное начальное условие, сеточная аппроксимация, метод аддитивного выделения особенности, специальные сетки, s-равномерная сходимость, метод Ричардсона.
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время для сингулярно возмущенных краевых задач, решения которых являются достаточно гладкими, хорошо разработаны численные методы, ошибки решений которых не зависят от возмущающего параметра б, т.е. методы, сходящиеся s-равномерно (см., например, [1]—[4] и библиографию там). Для таких задач разработаны подходы, позволяющие строить схемы с улучшенным порядком s-равномерной скорости сходимости (см., например, [5]—[9] и библиографию там).
Снижение гладкости решения, например, в том случае, когда начальное либо граничное условия являются кусочно-гладкими или терпят разрыв, приводит к снижению (и даже полной потере) скорости s-равномерной сходимости строящихся схем. Сингулярно возмущенные задачи с негладкими данными либо недостаточно гладкими данными возникают, например, при моделировании диффузионных процессов в обработке металлов (см. [10]), в финансовой математике (см. [11]).
Специальные схемы для сингулярно возмущенных параболических уравнений реакции-диффузии и конвекции-диффузии со слабыми особенностями — кусочно-гладкими начально-краевыми условиями рассматривались в [11]—[14]. В этих работах при построении s-равномерно сходящихся схем использовался метод сгущающихся сеток (для сингулярно возмущенных задач с
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00729), Булевского центра исследований по информатике (BCRI) Национального ун-та Ирландии г. Корк, а также MACSI — Ассоциации по приложениям математики в науке и технике в Ирландии по математической инициативе Ирландского научного фонда (Mathematics Applications Consortium for Science and Industry in Ireland (MACSI) under the Science Foundation Irelant (SFI) mathematics initiative).
достаточно гладкими решениями метод впервые рассмотрен в [15]) — классические сеточные аппроксимации задачи на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в окрестности пограничного слоя.
Задачи для сингулярно возмущенных параболических уравнений реакции-диффузии с сильной особенностью — разрывным начальным условием — рассмотрены в [10], [16]—[21]. В этих задачах при построении специальных схем, кроме метода сгущающихся сеток (сгущающихся в окрестности пограничных слоев), использовалась специфическая техника, такая как метод подгонки в [16]—[19] либо метод аддитивного выделения особенности в [10], [20] (в окрестности точек разрыва начальной функции). В методах подгонки сингулярные компоненты решения (либо некоторые из них) являются решением разностной схемы (для сингулярно возмущенных задач с гладкими решениями метод впервые обоснован в [22]), а в методах аддитивного выделения особенности эти компоненты входят в приближенное решение аддитивно (в случае регулярной задачи с негладкими данными описание метода см., например, в [23] и библиографию там же).
Как правило, порядок 6-равномерной скорости сходимости строящихся схем по пространственным переменным не превосходит второго, а по временной переменной — первого. В этой связи для сингулярно возмущенных задач, решения которых помимо пограничных слоев имеют слабые и/или сильные особенности, возникает проблема разработки численных методов, сходящихся б-равномерно с повышенным порядком скорости сходимости.
В настоящей работе рассматривается задача Дирихле в прямоугольной области для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии с параметром б2 при старшей производной. Начальная функция и/или ее производные (низкого порядка) терпят разрывы I рода. Когда параметр б стремится к нулю, возникают пограничные и внутренние параболические слои, имеющие ограниченную гладкость при фиксированных значениях параметра 6. В работе строятся специальные разностные схемы, сходящиеся 6-равномерно со скоростью
0(^-21п2^ + И- ), где N + 1 и N + 1 — число узлов по х и t используемых сеток. При построении схем используются метод аддитивного выделения особенностей (порождаемых разрывами граничной функции и ее производных низких порядков), а также метод сгущающихся сеток (кусочно-равномерных сеток, сгущающихся в окрестности пограничных слоев).
С использованием подхода на основе техники Ричардсона к построению схем повышенного
порядка точности разработана схема, сходящаяся 6-равномерно со скоростью + И0 ). Так-
же показано, что метод Ричардсона не позволяет строить схемы, сходящиеся 6-равномерно с порядком скорости сходимости по х выше третьего.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ЦЕЛЬ РАБОТЫ 2.1. В области О с границей S, где
О = О и 5, О = Б х(0, Т], Б = {х: х е (-й, й)}, (2.1)
рассмотрим задачу Дирихле для сингулярно возмущенного параболического уравнения с постоянными коэффициентами
Ь{2.2)и(х, 0 = | б2а —2 - с -рд 1и(х, 0 = /(х, 0, (х, 0 е О,
I д х д 1 \ (2.2)
и(х, 0 = ф(х, 0, (х, 0 е 5й. (Запись (шук), М/к), Ощ,щ) означает, что эти операторы (постоянные, сетки) введены в формуле (/.к).)
Здесь а, р > 0, с > 0, правая часть/(х, 1) является достаточно гладкой на множестве О; параметр 6 принимает произвольные значения из полуинтервала (0, 1].
Начально-краевая функция ф(х, 1) является непрерывной на Б\Б" и терпит разрыв I рода на
-I
множестве Б", где Б" = {(0, 0)}. Функция ф(х, 1) предполагается достаточно гладкой на замыкании 5 (боковой части границы Б) и на замыкании тех участков границы Б0 (нижней части границы Б), на которых она непрерывна; продолжения ф(х, 1) на замыкания множеств обозначаем также через ф(х, 1). Предполагаем выполненными условия согласования из [24] на множестве угловых точек Бс, что обеспечивает требуемую гладкость решения в окрестности этого множества. Здесь Б =
= Б0 и Б1, Б0 = Б0 и Б1 — нижняя и боковая части границы Б, Б1 = Г х (0, Т], Г = Б\Д Бс = Б0 п Б — множество угловых точек; Б1 = Б11 и Б1г, Г = Г' и Гг, где Б11, Г' и Б1г, Гг, соответственно, левые и правые части границ Б1 и Г.
В случае условия
Ба Ф 0 (2.3)
под решением задачи (2.2) понимается функция и е С(О* ) п С2,1(О), ограниченная на О, удовлетворяющая дифференциальному уравнению на О и граничному условию на Б*, где О * = О \Ба, Б* = Б\Б^.
2.2. При фиксированных значениях параметра б функция и(х, 1) терпит разрыв на Б^; производные функции и(х, 1) неограниченно возрастают при (х, 1) —»-
Уточним поведение решения при малых значениях параметра 6. Пусть БУо = {(х, 1) : х = у0(1) = 0, 1 е [0, Т]} — характеристика предельного уравнения, проходящая через При стремлении параметра 6 к нулю в окрестности множеств Б1 и Б1" появляются параболические пограничные и внутренний слои с характерным масштабом 6 (см. оценки в разд. 3).
Известно, что уже в случае сингулярно возмущенных задач с достаточно гладкими данными решения классических разностных схем не сходятся 6-равномерно (см., например, [2], [10]). Для сингулярно возмущенных уравнений с параболическим пограничным слоем не существует схем метода подгонки, сходящихся 6-равномерно (см., например, [1], [3], [25]). В том случае, когда функция ф(х, 1) терпит разрыв, разностные схемы на основе классических аппроксимаций краевой задачи не сходятся в равномерной норме уже при фиксированных значениях параметра 6 (см., например, [16]).
Наша цель — для задачи (2.2), (2.1), (2.3) построить 6-равномерно сходящуюся разностную схему метода аддитивного выделения особенностей, порождаемых разрывами функции ф(х, 1), (х, 1) е Ба, и ее производных. Кроме того, с использованием техники Ричардсона (применяемой для построения улучшенной сеточной аппроксимации решения задачи (2.2), (2.1), (2.3), не содержащего аддитивно выделенной компоненты решения) построить схему повышенного порядка точности, сходящуюся 6-равномерно с порядком скорости сходимости выше второго и первого по х и 1 соответственно.
3. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Для решения краевой задачи (2.2) и его производных получим ряд оценок. При выводе оценок применяется техника из [1], [13], [27], [28] — используется декомпозиция решения задачи на регулярную ("достаточно гладкую") и сингулярную компоненты решения. Предполагаем, что
- -I + _
функции /(х, 1) и ф(х, 1) — достаточно гладкие на множествах О и Б , Бо , Бо соответственно; ф(х, 1) е С(Б*). Здесь Б0 = Б- и Б0+ , Б- = Б0 п {х < 0}, Б0+ = Б0 п {х < 0}.
3.1. Множество О представим в виде суммы пересекающихся подмножеств
- -1 -2 -21 — 2г
О = ^О , у = 1, 2, 3, О = О и О , (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.