ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2010, том 50, № 3, с. 458-478
УДК 519.632.4
СХЕМА РИЧАРДСОНА ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ
ДЛЯ СЕМИЛИНЕЙНОГО СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ )
© 2010 г. Г. И. Шишкин, Л. П. Шишкина
(620219 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, ИММ УрО РАН) e-mail: shishkin@imm.uran.ru Поступила в редакцию 22.09.2009 г.
Рассматривается задача Дирихле на вертикальной полосе для семилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии. Для такой задачи нелинейная базовая разностная схема на основе классических аппроксимаций задачи на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в слое, сходится s-равномерно с порядком точности не выше первого. С использованием техники Ричардсона строится нелинейная схема, сходяща-
-2 2 -2
яся s-равномерно с улучшенной скоростью сходимости — со скоростью O{ Nj inj N + N2 ), где Ni + 1 и N2 + 1 — число узлов сетки по оси x и на единичном отрезке оси x2 соответственно. На основе нелинейной базовой схемы строится линеаризованная итерационная схема, в которой нелинейный член вычисляется по искомой функции с предыдущей итерации. Эта схема используется при построении линеаризованной итерационной схемы Ричардсона, сходящейся s-равномерно с улучшенным порядком скорости сходимости. Итерационные схемы (базовая и улучшенная) с ростом числа итераций сходятся s-равномерно со скоростью геометрической прогрессии. Использование в качестве индикаторов верхних и нижних решений итерационных схем Ричардсона позволяет в процессе решения определить текущую итерацию, при которой достигается такая же s-равномерная скорость сходимости, как безытерационной нелинейной схемы Ричардсона. Показано, что для краевой задачи конвекции-диффузии не существует схем метода Ричардсона, сходящихся s-равномерно с порядком скорости сходимости выше второго: обсуждается принцип построения схемы выше второго порядка точности. Библ. 27.
Ключевые слова: эллиптическое уравнение конвекции-диффузии, регулярный и пограничный слои, техника Ричардсона, разностная схема, нелинейная схема, линеаризованная итерационная схема, усеченная итерационная схема, Е-равномерная сходимость.
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время для достаточно широких классов сингулярно возмущенных краевых задач построены специальные численные методы, которые позволяют получать решения, сходящиеся 6-равномерно. В случае краевых задач для эллиптических уравнений реакции-диффузии порядок б-равномерной скорости сходимости хорошо известных специальных методов не превосходит второго, а для уравнений конвекции-диффузии — не выше первого (см., например, [1]—[7] и библиографию там же). В связи с отмеченным обстоятельством возникает интерес к построению специальных схем для задач реакции-диффузии и конвекции-диффузии, порядок 6-равномер-ной скорости сходимости которых выше второго и первого соответственно.
Для повышения точности сеточных решений регулярных краевых задач хорошо развиты, например, методы дефект-коррекции и Ричардсона (см. [8]—[10] и библиографию там же). Эти методы оказываются эффективными и для повышения б-равномерной точности решений линейных сингулярно возмущенных краевых задач. Разностные схемы повышенной точности для таких задач с применением метода дефект-коррекции построены для параболических уравнений реакции-диффузии и конвекции-диффузии (см., например, [7], [11]—[13] и библиографию там же). Применение метода экстраполяции Ричардсона для параболических и эллиптических
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00729).
уравнений в случае линейных сингулярно возмущенных краевых задач рассматривается в [7], [14]—[16]. Другие подходы к построению разностных схем повышенной точности, отличные от техники Ричардсона, рассматриваются в [7], [17]. В качестве базовых схем, на основе которых строятся сеточные решения повышенной точности, используются специальные схемы — классические сеточные аппроксимации краевых задач (см., например, [18]) на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в окрестности пограничных слоев (см., например, [7] и библиографию там).
Метод экстраполяции Ричардсона основывается на представлении главной части ошибки решения некоторой базовой схемы в виде разложения по степеням эффективных шагов используемых сеток. Это представление позволяет построить подходящую линейную комбинацию сеточных решений, получаемых на вложенных сетках, имеющую повышенную точность (на пересечении сеток) по сравнению с базовой схемой. Достоинство этого метода в том, что решается одна сеточная задача, но на однотипных вложенных сетках.
В последнее время с использованием техники Ричардсона были построены 6-равномерно сходящиеся разностные схемы с улучшенной точностью для семилинейных сингулярно возмущенных уравнений параболического типа реакции-диффузии на полосе (см. [19]) и конвекции-диффузии на отрезке (см. [20]), а также эллиптического типа реакции-диффузии на полосе (см. [21]). Сеточные аппроксимации краевых задач для семилинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнений конвекции-диффузии, сходящиеся 6-равномерно с порядком не выше первого, рассматривались в [22], [23]; схемы, сходящиеся 6-равномерно с порядком выше первого, в литературе не известны.
В настоящей работе разрабатываются разностные схемы улучшенной точности для семилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения типа конвекции-диффузии на вертикальной полосе (постановка краевой задачи и априорные оценки решения приводятся в разд. 2 и 3 соответственно).
Известно, что для нелинейных (в частности, семилинейных) сингулярно возмущенных задач (как и в случае линейных задач при наличии параболических слоев) при построении 6-равномер-но сходящихся методов использование сеток, сгущающихся в пограничном слое, является необходимым (см., например, [23], [24], а также [6], [7] и библиографию там, где показано, что в случае равномерных сеток не существует схем метода подгонки, сходящихся в равномерной норме 6-равномерно).
Для исследуемой семилинейной задачи строится базовая нелинейная специальная разностная схема — безытерационная схема на кусочно-равномерной сетке, сходящаяся 6-равномерно
со скоростью 0( N11п N + И-), где N + 1 и N + 1 — число узлов сетки по оси х1 и на единичном отрезке оси х2 соответственно (см. разд. 4).
На основе нелинейной базовой схемы строится линеаризованная базовая схема — итерационная схема, в которой нелинейный член вычисляется по искомой функции с предыдущей итерации (см. разд. 5).
С использованием техники Ричардсона на основе нелинейной базовой схемы строится нелинейная схема повышенной точности (см. разд. 6); улучшенная схема сходится 6-равномерно со
скоростью 0( И-21п2 N + И-2).
На основе линеаризованной итерационной базовой схемы (из разд. 5) строится линеаризованная итерационная схема Ричардсона (см. разд. 7), сходящаяся к решению краевой задачи 6-равномерно с улучшенным порядком сходимости. Решение такой итерационной схемы сходится к решению нелинейной схемы со скоростью геометрической прогрессии 6-равномерно относительно числа итераций. Использование в качестве индикаторов верхних и нижних решений итерационной схемы Ричардсона позволяет определять окончание процесса вычислений — текущую итерацию, при которой достигается 6-равномерная точность решения безытерационной нелинейной схемы Ричардсона.
Обсуждаются проблемы, возникающие при построении 6-равномерно сходящихся схем высокого порядка точности на основе техники Ричардсона (см. разд. 8). Показано, что не существует схем метода Ричардсона (на вложенных кусочно-равномерных сетках), сходящихся 6-равно-мерно с порядком скорости сходимости выше второго; обсуждается также принцип построения схемы порядка точности выше второго.
На вертикальной полосе Б
ШИШКИН, ШИШКИНА 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Б = {х: 0 < х1 < й, х2 е К}
2)
рассмотрим краевую задачу для семилинейного эллиптического уравнения
L(2.2)(и(х)) = ¿(2.2)и(х) -/(х, и(х)) = 0, х е Б, и(х) = ф(х), х е Г.
(2.1)
(2.2)
Здесь Г = Б \Б,
т2 = г (2) + г(у) т(2.2) = т(2.2) + т(2.2),
Т(22)2) = 6 X а'(х) ~2, Т(2)2) = X Ь*(х) д^" " С(х), Х е Б,
* = 1,2 дх* * = 1,2 *
функции а(х), Ь (х), с(х),/(х, и) и ф(х) предполагаются достаточно гладкими на Б, Б х К и Г со-
3)
ответственно, причем
а0 < а*(х)< а0, Ь0 < Ь*(х)< Ь0, * = 1, 2, \с(х)| < с0, х е Б;
|Дх, 0)| < И, с1 < с(х) + —/(х, и) < с1, (х, и) е Б х К;
д и
(2.3)
|ф(х)| < И, х еГ, а0, Ь0, с1 > 0;
параметр 6 принимает произвольные значения из полуинтервала (0, 1]. Пусть для данных краевой задачи (2.2), (2.1) выполняются условия
аЬ, с е С1+а( Б), / е С1 + а( Б х К), Фе С1 +2 + а( Б), * = 1, 2, I > 0, ае( 0, 1).
В этом случае имеем и е С1 + 2 + а(Б) (см. [26], [27]).
Через Г- (через Г+) обозначим ту часть границы Г, через которую характеристики предельного уравнения, проходящие через точки х е Б, покидают (входят в) множество Б, Г = Г- и Г+, Г- = = {х : х1 = 0, х2 е К}. При стремлении параметра к нулю в окрестности множества Г- появляется регулярный пограничный слой.
Наша цель: для краевой задачи (2.2), (2.1) с использованием техники Ричардсона построить разностную схему, сходящуюся 6-равномерно с порядком скорости сходимости выше первого.
Замечание 1. В том случае, когда в (2.3) условие
д -
с (х) + —/(х, и) > с1 > 0, (х, и) е Б х ди
нарушается, однако
ди
/(х, и)
< И, (х, и) е Б х
(2.4)
(2.5)
перейдем к новой переменной ^х), х е Б , и(х) = тл(х)ехр(-ах^), х е Б . При условии 6 < 60, где 60 - достаточно мало, т < 60 < 1, величину а выбираем так, чтобы в новом дифференциальном уравнении, которому удовлетворяет функция ^(х), выполнялось условие, подобное условию (2.4). При условии 60 < 6 < 1 задача (2.2), (2.1) относится к регулярным.
2) Запись Ьц к) (Оц к), Му к)) означает, что этот оператор (область, постоянная) введен в формуле {¡.к).
3) Через М (через т) обозначаем достаточно большие (малые) положительные постоянные, не зависящие от величины параметра е. В случае сеточных задач эти постоянные не зависят и от шаблонов разностных схем.
Может оказаться,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.