ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 3, с. 393-416
УДК 519.633
СХЕМА УЛУЧШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ РЕШЕНИЯ1
© 2015 г. Г. И. Шишкин, Л. П. Шишкина
(620990 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, ИММ УрО РАН) e-mail: shishkin@imm.uran.ru; Lida@convex.ru Поступила в редакцию 31.07.2014 г.
В случае начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции—диффузии разрабатывается техника построения разностных схем улучшенного порядка точности, сходящихся s-равномерно в равномерной норме (s — возмущающий параметр при старшей производной, s е (0, 1]). Приводится схема метода декомпозиции решения, в которой сеточные подзадачи для регулярной и сингулярной компонент решения рассматриваются на равномерных сетках. С использованием техники Ричардсона строится схема метода декомпозиции решения улучшенного порядка точности, решение которой сходится s-равномерно в равномерной норме со скоростью 0(N-41n4N + N-2), где N + 1 и N0 + 1 — число узлов равномерных сеток по x и t соответственно. Разработана также новая численно-аналитическая схема Ричардсона метода декомпозиции решения. Развиваемая в работе техника позволяет строить улучшенные разностные схемы на основе метода декомпозиции решения и метода Ричардсона при числе вложенных сеток больше двух, сходящиеся s-равномерно с порядком, близким к шестому по x и третьим по t, а также с более высокими порядками. Библ. 24.
Ключевые слова: сингулярно возмущенная начально-краевая задача, параболическое уравнение реакции—диффузии, возмущающий параметр е, метод декомпозиции решения, численно-аналитическая схема, улучшенная разностная схема Ричардсона, Е-равномерная сходимость, равномерная норма.
Б01: 10.7868/80044466915030175
1. ВВЕДЕНИЕ
В последнее время для сингулярно возмущенных задач на основе схем на кусочно-равномерных сетках с использованием техники Ричардсона (технику Ричардсона для регулярных задач см. в [1]) построены Е-равномерно сходящиеся схемы повышенного порядка точности (см., например, [2]—[8], а также [9, гл. 10] и библиографию там). Однако использование неравномерных сеток вызывает затруднения при построении схем высокого порядка точности. Так, метод Ричардсона в случае параболического уравнения реакции—диффузии не позволяет строить схемы на кусочно-равномерных сетках с порядком точности по х выше третьего (см. [7]), а в случае эллиптического уравнения конвекции—диффузии — с порядком точности выше второго (см. [8]).
В [10] разработан новый подход к построению специальных схем на основе техники асимптотических конструкций — метод декомпозиции сеточного решения. Главное в этом подходе — использование классических аппроксимаций задач для регулярной и сингулярной компонент решения на равномерных сетках. В отличие от известных подходов к построению б-равномерных сходящихся разностных схем — метода подгонки (приводящего к схемам Ильина/Аллена-Сау-свелла, см. [11], [12]) и метода специальных сеток, сгущающихся в погранслое (использующего классические схемы на сетках Бахвалова и/или Шишкина, см. [13]—[15]), в новом подходе сеточные подзадачи решаются на соответствующих равномерных сетках, причем коэффициенты сеточных уравнений не зависят от явного вида сингулярной компоненты решения. В [10] для зада-
1) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (код проекта 13-01-00618).
чи Дирихле для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения реакции—диффузии с использованием техники декомпозиции сеточного решения построена схема метода декомпозиции решения, сходящаяся 6-равномерно в равномерной норме со скоростью ©(^21п2^, где N + 1 — число узлов в используемых сетках. В этой же работе — с использованием техники Ричардсона — впервые построена улучшенная схема метода декомпозиции решения, сходящаяся 6-равномерно в равномерной норме со скоростью 0(^41п4^.
В [16] для задачи Дирихле для одномерного сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции—диффузии построена схема метода декомпозиции решения, сходящаяся 6-равномерно в равномерной норме со скоростью ©^—21п^ + Щ1), где N + 1 и N0 + 1 — число узлов в пространственной и временной сетках соответственно. В [17] для такой же задачи, как в [16], с использованием техники Ричардсона построена также улучшенная схема метода декомпозиции
решения, сходящаяся со скоростью ©^—41п^ + Щ2).
В ряде задач (например в задаче об обтекании тел потоком вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса, см. [18]) аппроксимация производных решений также важна, как и самих решений; производная первого порядка по нормали к обтекаемой поверхности определяет сопротивление обтекаемому потоку, производная второго порядка — отрыв потока от обтекаемой поверхности. В [19] для такой же задачи, как в [10], построена улучшенная схема метода декомпозиции решения, аппроксимирующая 6-равномерно решение дифференциальной задачи и ее нормированные производные до второго порядка: 6кйк/йХи(х), к = 1, 2, сходящаяся со скоростью ©(^^п4^, где N + 1 — число узлов в используемых сетках. Следует отметить, что техника Ричардсона повышения порядка скорости сходимости, использованная в [10], [17], [19], не позволяет строить схемы с порядком скорости сходимости выше четвертого по х и выше второго по t.
В настоящей работе для начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции—диффузии развивается техника из [17] на основе метода декомпозиции решения и метода экстраполяции Ричардсона для построения 6-равномерно сходящихся разностных схем повышенного порядка точности. Разрабатывается также новая численно-аналитическая схема Ричардсона метода декомпозиции решения, в которой главная часть регулярной компоненты решения начально-краевой задачи выписывается в явном виде. В отличие от [17] разрабатываемые здесь схемы Ричардсона на основе схем метода декомпозиции решения позволяют строить улучшенные разностные схемы при числе вложенных сеток больше двух, сходящиеся 6-равномерно с порядком, близким к шестому по х и третьим по t, а также с более высокими порядками.
О содержании работы
Постановка краевой задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции—диффузии и цель исследования сформулированы в разд. 2. В разд. 3 приводится стандартная
разностная схема на равномерной сетке, сходящаяся со скоростью ©(б-2^2 + Щ1 ). В разд. 4 дается метод экстраполяции Ричардсона, используемый для повышения точности решений стандартной разностной схемы на равномерной сетке; такая схема при = о(б) сходится со скоростью ©(б-4^4 + Щ-). В разд. 5 рассмотрена декомпозиция решения начально-краевой задачи — простейшая декомпозиция решения, используемая при выводе априорных оценок решений и их производных в разд. 10; эта декомпозиция решения используется в разд. 6 при построении разностной схемы — схемы метода декомпозиции решения, сходящейся 6-равномерно со скоростью
©(^2 1п^ + Щ1). В этом же разд. 5 приводится вариант несколько расширенной декомпозиции решения, который используется в разд. 8 при построении схемы Ричардсона метода декомпозиции решения повышенного порядка точности, сходящейся 6-равномерно со скоростью
©(^^п^ + Щ-). Новые численно-аналитические схемы — схема метода декомпозиции решения и схема Ричардсона метода декомпозиции решения строятся в разд. 7 и 9 соответственно.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
2.1. На множестве в с границей Б
в = в и Б, в = Б х(0, Т], Б = (0, й), (2.1)
рассмотрим начально-краевую задачу для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии
Ьи(х, г) = /(х, г), (х, г) е в, (2.2а)
и(х, г) = ф(х, г), (х, г) е Б, (2.2б)
где
ь = б2ь2 + Ь1, ц = —с(х, г) -р(х, г)£, ь2 = а(х, г) —2,
дг дх
функции а(х, 1), с(х, 1),р(х, 1),/(х, 1) на О, а также граничная функция ф(х, 1) на замыканиях гладких частей границы Б предполагаются достаточно гладкими, причем
а0 < а(х, г)< а°, р{](х, г)<р0, С0 < с(х, г)< с0, (х, г) е в, а0, С0,р{] > 0; (23)
|Дх, г)\ < М, (х, г) е в, |ф(х, г)\ < М, (х, г) е Б;
параметр б принимает произвольные значения из полуинтервала (0, 1]. (Через М (через т) обозначаем достаточно большие (малые) положительные постоянные, не зависящие от величины параметра 6. В случае сеточных задач эти постоянные не зависят и от шаблонов разностных схем.) При малых значениях параметра 6 в окрестности множества Г появляется пограничный слой.
Пусть
Б = Б1 и Б0, Б1 = Г х (0, Т], (2.4)
где Б1 и Б0 — боковая и нижняя части границы, Б1 = и/Б/, Б/ = Г/ х (0, 7],/ = 1, 2, Г1 и Г2 — левый и правый концы отрезка Б; Б0 = Б0. Полагаем Бс = БЬ п Б0.
На множестве Бс на функцию ф(х, 1), помимо условия непрерывности, накладываются дополнительные условия согласования, обеспечивающие достаточную гладкость решения начально-краевой задачи.
2.2. Техника построения схем повышенного порядка точности, рассмотренная в [17], не позволяет использовать метод Ричардсона при числе вложенных сеток больше двух. Это обстоятельство существенно ограничивает разработку 6-равномерно сходящихся численных методов высокого порядка точности, в частности, не позволяет для начально-краевой задачи (2.2), (2.1) строить схемы, сходящиеся с порядком выше четвертого по х и выше второго по 1.
Наша цель — для начально-краевой задачи (2.2), (2.1) на основе техники декомпозиции сеточного решения построить 6-равномерно сходящуюся (в равномерной норме) разностную схему, использующую сеточные аппроксимации регулярной и сингулярной компонент на соответствующих равномерных сетках. Используя эту схему метода декомпозиции сеточного решения и технику экстраполяции Ричардсона, построить схему повышенного порядка точности — схему, сходящуюся 6-равномерно в равномерной норме с четвертым порядком точности (с точностью до логарифмического сомножителя) по х и вторым по 1. Требуется, чтобы техника Ричардсона, в отличие от техники, изложенной в [17], допускала применение системы вложенных сеток более двух.
3. СТАНДАРТНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА НА РАВНОМЕРНОЙ СЕТК
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.