5. Machin G. e. a. Concerted International Project to Establish High-Temperature Fixed Points for Primary Thermometry // Int. J. Thermophys. 2007. V. 28. N 6. P. 1976—1982.
6. Samoylov M. e. a. High accuracy radiation TSP-type thermometers for radiometric scale realization in the temperature range from 600 to 3200 °C // AIP Conf. Proc. 2003. V. 684. P. 583.
7. Khlevnoy B. B. e. a. Development of high-temperature blackbodies and furnaces for radiation thermometry // Int. J. Thermophys. 2011. V. 32. N 7—8. P. 1686—1696.
8. ГОСТ 9411—91. Стекло оптическое цветное. Технические условия.
Дата принятия 13.09.2012 г.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
621.142.681
Шум квантования дельта-сигма аналого-цифрового преобразователя для различных законов изменения
входного сигнала
В. И. ДИДЕНКО*, А. В. ИВАНОВ**, А. С. ВОРОНОВ**
' Национальный исследовательский университет «МЭИ», Москва, Россия,
e-mail: didenkovi@mail.ru ** ОАО «Московское конструкторское бюро «Компас», Москва, Россия
Рассмотрены шумы квантования на выходах модулятора и цифрового фильтра дельта-сигма аналого-цифрового преобразователя. Аналитическое и имитационное моделирование использовано при различных законах изменения входного сигнала и для различной реализации цифрового фильтра.
Ключевые слова: дельта-сигма аналого-цифровой преобразователь, шум квантования.
Quantization noise is investigated at the outputs of a modulator and a digital filter for delta-sigma analog-to-digital converter (ADC). Modeling and simulation were used for different laws of input signal change and several realizations of the digital filter.
Key words: delta-sigma ADC, quantization noise.
Дельта-сигма аналого-цифровой преобразователь (ДСАЦП) состоит из дельта-сигма модулятора (ДСМ) и цифрового фильтра (ЦФ). Модулятор можно рассматривать как стохастический аналого-цифровой преобразователь (АЦП) [1]. Это означает, что для постоянного входного сигнала на его выходе образуется последовательность кодов, причем входной сигнал влияет на вероятность появления того или иного значения кода. Для многих модуляторов имеется только два выходных кода: 1 и -1. Для ДСМ с единичным номинальным коэффициентом передачи код 1 соответствует опорному напряжению Уоп, а код -1 — тому же опорному напряжению с обратным знаком. Если ДСМ имеет коэффициент передачи Км, то код 1 соответствует напряжению, в Км раз меньше опорного. В дальнейшем полагаем Км =1.
По аналогии с детерминированными АЦП [2] шум квантования ДСМ ранее предполагали распределенным по закону равномерной плотности [3, 4] вне зависимости от входно-
го сигнала Vх. Среднее квадратическое отклонение (СКО) для ДСМ принимали, как и для АЦП с детерминированной функцией преобразования:
о^ = 1/3. (1)
Ошибочность этого, к сожалению общепринятого, подхода была показана в [1, 5—7]. Истинное значение СКО шума квантования согласно аналитическому и имитационному моделированию для ДСМ при постоянном входном сигнале X = /Уоп находится как [1]:
о2 = 1 - X2. (2)
Нетрудно заметить, что при -1 < X < 1 отличия между (1) и (2) могут быть весьма значительными.
Задачей данной статьи является нахождение СКО шума квантования на выходе модулятора и цифрового фильтра (ЦФ) при различных видах входного сигнала ДСАЦП. Электронный шум компонентов при этом не учитывается, при Км = 1 он обычно несущественен по сравнению с шумом квантования [8].
Шум квантования на выходе ДСМ. Как было показано в [1], погрешность шума квантования А является функцией входного сигнала Х:
А = Ф(Х).
Тогда для любого входного сигнала X с функцией распределения f1(X) погрешность А принимает два значения А1 и А2 с вероятностями Р1 и Р2, соответственно [1]. Условная плотность вероятности погрешности А для фиксированного сигнала Хф будет выражаться через 8-функцию (функцию Дирака) [9]:
<2(А | Хф) = 8(А - ф(Хф)).
Плотность вероятности совместного распределения двух случайных величин X и А = ф(Х) [9]:
^Х, А) = Л,(Х)8 (А - ф(Х)), при этом плотность вероятности
f2(А) =| *,(X)5(А-ф(X))ЬХ. (3)
Закон распределения погрешности шума квантования [9]:
<2(А) = Р (А) /(Ь - а),
где Р(А) — функция распределения вероятности погрешности шума квантования для постоянного входного сигнала Используя выражения из [1], находим
(1 + 0,51 А|) / (Ь - а) для -1-Ь <Д<-1-а и 1 - Ь < А < 1 - а; /7(А) = 0 для -~<А<-1 -Ь, -1-а<А< 1 -Ь, (5) 1 - а<А<^.
Согласно (5) СКО погрешности шума квантования выражается как
о2 = 1 - (а2 + аЬ + Ь2)/3. (6)
При а = -1 и Ь = 1 зависимость (6) имеет вид треугольного
закона распределения (закон Симпсона) с СКО о = 72 / 3.
Синусоидальный входной сигнал X = Asin О, где амплитуда А выбирается в диапазоне 0 — 1. Если погрешность ДСМ реализуется в случайные моменты времени, то О становится случайной величиной, распределенной по закону равномерной плотности. Плотность вероятности для О будет равна 1/(2п) в диапазоне 0 - 2п. Чтобы найти плотность вероятности ^(Х), сначала требуется определить кумулятивную функцию распределения
Если известны закон распределения входного сигнала и зависимость погрешности от входного сигнала, то в результате интегрирования можно найти закон распределения погрешности шума квантования. Далее будут приведены примеры расчетов для нескольких наиболее распространенных законов распределения входного сигнала.
Постоянный входной сигнал. Для этого сигнала погрешность при случайном выборе момента времени описывается дискретным двузначным законом [1].
Равномерно распределенный входной сигнал на интервале [а, Ь]. Его плотность вероятности имеет вид
^(Х) = (Ь - а)
-1
(4)
Ж X) =
0 для X<-А;
0,5 + п-1 arcsin (X/А) для -А< X<А;
1 для X > А.
Плотность вероятности f1(X) можно получить, взяв производную от Р1(Х). Тогда
К X) =
0 для | X| > А;
л^А2-
X2
-1
для - А< X< А.
С учетом (3) и выражений из [1] плотность вероятности на выходе ДСМ представим в виде
Рис. 1. Плотности вероятности погрешности шума квантования на выходе дельта-сигма модулятора:
1, 2 ■
при синусоидальном входном сигнале для двух амплитуд А = 1 и 0,5; 3 — по теории [3, 4]
/2( А) =
0 для |А|>1 + А и |А|< 1-А; 1 - 0,5 |А|
п VА2 - (1 - |А|)2
для 1-А < | А| < 1 + А.
(7)
Кривые 1 и 2 на рис. 1 иллюстрируют аналитическую зависимость (7) для двух значений амплитуды А = 1 и 0,5. На рис. 1 также представлен равномерный закон распределения (кривая 3), соответствующий теории [3, 4]; нетрудно заметить, что он дает значительные отклонения от истинных законов.
Из (7) можно найти СКО погрешности шума квантования
о2 = 1 - 0,5А2.
Ранее в [1] уже было получено такое выражение для синусоидального входного сигнала, но другим путем — из частотного анализа ДСМ.
Нормально распределенный входной сигнал (закон Гаусса). Его плотность вероятности описывается выражением
_ (X - Мх )2
*,( X) е 2(7x2 , (8)
с XV 2п
где сх, Мх — СКО и математическое ожидание входного сигнала.
Чтобы ДСМ остался в линейной области -1 < X < 1, входной нормально распределенный сигнал должен быть усеченным: -а < X - Мх < а, 0 < а < 1. В этом случае плотность вероятности
_ (X - м X )2
Г1(х) = —V-е 2сX , (9)
с ХУ1 2п
где |Мх| < 1 - а.
Значения коэффициента X для некоторых наиболее распространенных диапазонов усечения а представлены в табл. 1.
Т а б л и ц а 1
Вероятности Р попадания коэффициента X в интервал Мх ± а для распределений по (8) и (9)
Л л
/\ 2 2 / \ 1 \
¡У N1
;/ Ч 7--- 1 V ' V
/ V у у
л ! / \ \\
Л \ у^ УУ
Л
Рис. 2. Плотности вероятности погрешности шума квантования на выходе дельта-сигма модулятора: 1, 2 — при входном сигнале, распределенном по нормальному усеченному закону для двух значений СКО сх = 0,3 и 0,2; 3 — по теории [3, 4]
лены в табл. 2, откуда следует, что при увеличении N различие между результатами ИМ и аналитических расчетов стабильно снижается и может быть сведено к сколь угодно малой величине.
Т а б л и ц а 2
Сравнение результатов аналитических расчетов с результатами ИМ при изменении числа точек входного равномерно распределенного сигнала на интервале [-1; 1]
а 1с 2с 3с 4с
Р 0,683 0,954 0,997 1,00
X 1,465 1,048 1,003 1,000
СКО Число точек входного сигнала
10 102 103 104 105
сД 0,985 0,329 0,106 0,035 0,0118
сИМ 0,467 0,775 0,832 0,820 0,818
сИМ - с, % -42,8 -5,14 1,84 0,367 0,122
С учетом (3) и выражений из [1] получаем
0 для 1 + а < | Д| и -1+ а <Д< 1 - а;
/2( Д) =
(-|Д|+1-Мх )2
Х(1-0,5 |Д|)
2с
с X
>/2л
для 1-а < | Д| < 1 + а.
(10)
В качестве примера на рис. 2 показаны плотности вероятности выходного сигнала ДСМ, рассчитанные по (10) для входных сигналов с Мх = 0, сх = 0,2 и 0,3, X = 1, а = 0,9. Как следует из рис. 2, плотность вероятности очень сильно отличается от равномерного закона распределения [3, 4].
Результаты имитационного моделирования (ИМ). Для проверки полученных аналитических зависимостей (5), (6) использовали ИМ в прикладном пакете программ Ма^аЬ со стандартной моделью ДСАЦП. На вход ДСМ подавался равномерно распределенный на интервале [-1; 1] случайный сигнал, как это было сделано в [1]. Абсолютная погрешность ДД между результатами ИМ и расчетов по (5) не превышает 0,041; ее СКО сД является показателем близости этих результатов и в идеальном случае сД = 0. Также вычисляли сИМ — СКО сигнала на выходе ДСМ, найденного путем ИМ, и
разность сИМ - с, где с = ^2/3 = 0,817 по (6). Результаты в виде функции от числа N точек входного сигнала представ-
Аналогичным образом проверяли полученные аналитические зависимости для синусоидального и нормального входных сигналов с учетом требований [10]. Как и в случае с равномерно распределенным входным сигналом, расхождения между результатами ИМ и аналитическими расчетами непрерывно уменьшаются при увеличении числа точек эксперимента и могут быть сведены к сколь угодно малой величине.
Шум квантования на выходе ЦФ. В известных авторам работах закон распределения шума квантования на выходе ЦФ принимают нормальным и для аналитического расчета его СКО полагают, что полоса частот ЦФ равна половине частоты выдачи данных на выходе этого фильтра. Последняя обычно (хотя и не всегда) совпадает с частотой первой ре-жекц
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.