АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2012, том 46, № 1, с. 72-80
УДК 521.14
СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ СЛАБОЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ГАУССОВА КОЛЬЦА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ НА ПОЧТИ КОМПЛАНАРНУЮ
СИСТЕМУ КОЛЕЦ
© 2012 г. М. А. Вашковьяк1, С. Н. Вашковьяк2
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва 2Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва
Поступила в редакцию 01.03.2011 г.
Предложено аналитическое выражение силовой функции слабоэллиптического гауссова кольца. Полученное разложение по степеням эксцентриситета эллипса содержит слагаемые до третьей степени включительно. Коэффициенты этого разложения зависят от координат пробной точки и большой полуоси эллипса. В перспективном применении к системе главных спутников Урана для исследования вековых взаимных возмущений выполнено обобщение силовой функции на случай почти компланарной системы колец. Полученная в данной работе силовая функция является более точной по сравнению с ранее известными и учитывает слагаемые до третьей степени включительно относительно эксцентриситетов и экваториальных наклонений спутниковых орбит.
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, силовая функция (или потенциал) кругового гауссова кольца как функция декартовых координат пробной точки выражается через полный эллиптический интеграл первого рода. Ее аналитическое выражение приводится во многих руководствах по теории потенциала и, в частности, в монографиях Г.Н. Дубошина (Дубошин, 1963) и Б.П. Кондратьева (Кондратьев, 2007). Силовая функция притяжения эллиптического кольца как функция эллипсоидальных координат выражена через полные и неполные эллиптические интегралы первого и второго рода (Антонов и др., 2008). Однако вычисление декартовых координат по эллипсоидальным представляет собой нетривиальную задачу, в особенности для произвольного значения эксцентриситета кольца. В то же время оказывается необходимым приближенное аналитическое выражение силовой функции эллиптического гауссова кольца, в частности, при исследовании вековых возмущений астероидных орбит под действием притяжения Юпитера и остальных планет.
В данной работе получено выражение силовой функции эллиптического кольца в виде частичной суммы степенного ряда с точностью до третьей степени эксцентриситета включительно. Его коэффициенты зависят от координат пробной точки и большой полуоси эллипса. Динамически интерпретируемая как силовая функция материального гауссова кольца, математически она представляет собой возмущающую функцию притяжения планеты, осред-ненную по средней аномалии ее движения.
Естественным обобщением этой функции на случай нескольких возмущающих планет (или спутников) служит возмущающая функция почти компланарной системы слабоэллиптических колец (планетных или спутниковых орбит), осредненная по средним аномалиям всех возмущающих тел, конечно, при отсутствии соизмеримостей низших порядков их средних движений. Соответствующая силовая функция с точностью лишь до квадратов эксцентриситетов и наклонов планетных орбит была получена в работе (Вашковьяк, 1986) и использована для исследования эволюции некоторых астероидных орбит численно-аналитическим методом. В данной работе для спутниковой системы получено уточненное выражение этой функции, учитывающее слагаемые до третьей степени включительно относительно малых параметров — эксцентриситетов и экваториальных наклонений спутниковых орбит.
При изучении взаимного притяжения в спутниковой системе, состоящей из I спутников, естественно различать спутник с номером I (1 < I < I), возмущаемый притяжением остальных I — 1 возмущающих спутников. Вековая часть возмущающей функции, выражающей их действие на 1-й спутник, дается следующей формулой
= 2П1V (м'м" (1)
0
в которой
Здесь
V
1=1 (1 *1)
• М)=2П X -11 М
(2)
А1 = Г - Ц
(3)
2п
V (М) = и1 Г ^ 2п •> г - г.
(4)
(х + а1е1 )2 - а2 (1 - е,2) + у2 = 0,
(5)
к {м)=2П |
(1-
■ е, ео8
Е )<1 Е,
2п 0 VА + В ео8 Е, + С 8Ш Е, + БсоьЕу
.. (6)
А = а2 + г2 + 2а1е1х, В = -2а, (а1е1 + х), С = -2а- е,2у, Д = а^2,
(7)
представляет собой силовую функцию материального гауссова кольца, ^ — произведение гравитационной постоянной на массу у-го возмущающего спутника, распределенную вдоль его эллиптической орбиты с переменной линейной плотностью, Мх и Му — средние аномалии невозмущенного кеплеров-ского движения возмущаемого и возмущающего спутников соответственно, Ау — их взаимное расстояние, определяемое формулой
а г; и гу—радиус-векторы I -го и у -го спутников.
Получение функции V в аналитической форме составляет один из начальных этапов развития теории вековых взаимных спутниковых возмущений. Предполагается, что эта теория будет учитывать в правых частях уравнений в элементах слагаемые, нелинейные относительно элементов Лагранжа (21). Мы начнём с простейшего случая J = 2.
СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ГАУССОВА КОЛЬЦА
В двухспутниковой системе Ц = 2) будем считать возмущающим спутник с номером у = 1, а возмущаемым — спутник с номером I = 2, причем для упрощения формул индекс " I = 2" в данном разделе будет опущен. Тогда искомая силовая функция определится выражением
Е1 — эксцентрическая аномалия возмущающего спутника, осреднение по которой более предпочтительно, чем по средней аномалии.
Для нахождения определенного интеграла в формуле (6) мы использовали способ, предложенный в работе (Гордеева, 1975) для произвольного значения эксцентриситета е1. Этот способ позволяет выразить функцию Кчерез полные эллиптические интегралы первого и второго рода рекуррентным образом. Применение данного способа для малых значений эксцентриситета с использованием гипергеометрических функций Гаусса Ш приводит к конечному выражению с точностью до третьей степени относительно е1 включительно
к=0
V (х, у, г, ць а,, е,) =
e1,
(8)
где аргумент гипергеометрических функций определяется формулой
4а, V* я V
V=0
В формулах (7), (8) а = л/а}
2 , 2 + Г , Г
2 , 2 I 2 , 2
р + г , р = V х + у ,
(9)
(10)
а коэффициенты рк, qk, даются следующими выражениями
в котором г = (х, у, ¿?, Г1 = (хь уь ^1)т.
Введем прямоугольную систему координат Оху1 с началом в центре масс планеты, плоскость хОу пусть совпадает с плоскостью кеплеровской эллиптической орбиты спутника с номером 1 = 0), а ось Ох направлена в ее перицентр. При этом уравнением эллипса (гауссова кольца) будет
л а,х а,
Ро = 1, р, =--^ Р2
а 2а
I + -3л
, 2 2 ЬЧР а У
2 2у х —
р3 = а,х
2 2 Р а
\
1 +
-3 + 2
2 2 ча Р У
2
(11)
\
-'204+
+-I
,-,2 2 4
2р а р у
_1_
о 4
3Р _
где а1 и е1 — соответственно, его большая полуось и эксцентриситет, а функция Кимеет вид
„ а,х а, (3х ,
2а 2а V1
ил
93 = 7
"о 2 ( 2 . 2
3а, х х + 4у
5х2
2
1 J
, х , а, / 4 , 22 04\
+ 7-Г + -г4 (у + х у - 2х )
3р Р а 4 _
о
3
о
2,2 = 01 +
2,0 = Р , = 2aix
2 Л
^ о Л
1 - 2Р_
2
а У
6a2 | 2р__1
ГI Г -1 а I а
У
2
Р J
2
2
x1+ I2J -1 - О-а у
2
У ,
2з = 2aix 2
2ai2 ' з _ 8р
2
' 2 Р J
x2 +
(13)
1 6a1 ^
2 I 1 + ~
а V а у
Л|1+2s2
2
Р У
где коэффициенты hn определяются рекуррентным соотношением
hn = hn-i +
2 (3 - 8n)
n (4n - 3) (4n -1)
, n > 0, h0 = 6ln2.
В отличие от безразмерных коэффициентов рк, qь коэффициенты имеют размерность квадрата длины. Таким образом, формулой (8) определяется силовая функция эллиптического материального гауссова кольца с точностью до третьей степени эксцентриситета включительно. Эта функция зависит от координат пробной точки х, у, т, а постоянные ц1, а1, е1 входят в нее в качестве параметров кольца. В простейшем случае е1 = 0 из (8) при р0 = 1 и q0 = 0 получается формула для силовой функции кругового гауссова кольца, предложенная в работе (\ashkovjak, 1976), которая, в свою очередь, получена из хорошо известного классического выражения (Дубошин, 1963) через полный эллиптический интеграл первого рода.
В зависимости от величины аргумента ^ гипергеометрических функций вида Да, в; а + в; целесообразно использовать их представления в виде различных функциональных рядов.
При 0 < ^ < С*, где С* — некоторое положительное число, меньшее 1, функция Кдается формулой
Здесь для связности изложения мы позволили себе повторить некоторые формулы, содержащиеся в работе (Вашковьяк, 1985).
Значение верхнего предела суммирования N определяется требуемой точностью вычислений, а для выбора параметра Z* можно предложить приближенные механические соображения. Когда пробная точка очень близка к кольцу, более полезной является формула (16) в виде ряда, содержащего степени 1 — Ç. При Ç = 1 точка с координатами x, y, z = 0 принадлежит эллиптическому кольцу, определяемому уравнением (5), а функция V имеет особенность, вблизи которой она изменяется как
ln(1- Z).
Напротив, представление функции Vв виде (14) предпочтительнее для пробной точки, не слишком приближенной к кольцу, когда ряд по степеням Ç сходится достаточно быстро, а в сумме по n достаточно ограничиться не слишком большим значением N. При этом малой величиной можно считать не только е1, но и произведение nex. Полагая указанные условия выполненными, мы проведем преобразование функции V, представленной лишь формулой (14). Применяя к выражению (9) формулу бинома Ньютона, ограничиваясь слагаемыми порядка не выше, чем (ne1)3 и производя необходимые действия, получим формулу для силовой функции слабоэллиптического материального гауссова кольца
V = R
1
(17)
V = * Z
k=0
N
Z ( pk
n=0
4n +1. n +1
Qk '
k e1,
(14)
3 ( N
k=0 Ln=0
x (Pk + 4 (4n + 1) Qk) - 16Qk] Bn (1 - ç» Ief,
(16)
где
где коэффициенты Bn определяются рекуррентным соотношением
B„ =|1 -1 + IБпЛ, n > 0, B0 = 1. (15)
R =1 Ъп sMn), S- 2aP
G
n=0
a
n 16n
При С** < С < 1 для функции К следует использовать другую формулу
а коэффициенты w(n) определяются следующими промежуточными равенствами
w(n) _ g(n) w(n) _ g(n) + n ?
w0 _ g0 , w1 _ g1 + ^ Sb
(n) (n) , n _ g2) + ~ P
gin)^1+ ~r ?2 2p2 .
w(n) _ g(n) + n
w3 _ g3 + — P
g 2%+g1(n)
+ +
r 1 Л ? + n-1 ?2 ?2 + 2
V 2P
V
? + n-2 ?2
6P
yj
^=0
Здесь £,m определены формулами (13), а величины gm даются формулами
= Pm + 4n±1 qm, (m = 0,1,2,3).
СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.