КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 2, с. 122-137
УДК 523.4
СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ ВНУТРИ ТОНКОГО НЕОДНОРОДНОГО
МЕТЕОРНОГО КОЛЬЦА
© 2007 г. Г. В. Касаткин
Тульский государственный университет Поступила в редакцию 11.11.2004 г.
Найдены силы притяжения внутри тонкого неодномерного метеорного кольца и раскрыты их особые свойства.
PACS: 45.50.-j
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОЛЬЦА.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПЛАН ЕЕ РЕШЕНИЯ
Возьмем окружность C радиуса R с центром в точке P. Свяжем с этой точкой декартову систему координат PXYZ так, чтобы плоскость PXY совпала с плоскостью окружности C. Введем вспомогательные системы координат PX^Y^Z и C^X^Y^Z (см. рисунок). Система PX^Y^Z получена поворотом системы PXYZ на угол ф е [0; 2п] вокруг оси PZ, а система C- сдвигом системы PX^Y^Z
в точку Сф пересечения окружности C с плоскостью PX(pZ
Рассмотрим замкнутую линию Н, точки Нф пересечения которой плоскостями C(X(Z в системе PXYZ имеют следующие координаты
X( Нф) = R( 1+ йф) cos ф, Y (Нф) = R( 1+ йф) sin ф, Z = RC(,
где аф, сф е П(ф, о(1)). Здесь и ниже П(ф, k) обозначает множество 2п-периодических по углу ф функций, абсолютные значения которых не превосходят величины, сравнимой с постоянной k.
Считаем, что линия Н проходит внутри кольца, выполняя далее роль его "срединной линии". При любом значении угла ф кольцо пересекается плоскостью C^XpZ по сечению £(ф) с диаметром ^(ф). Предположим, что
1. max( D (ф)/Л) ~ £2, где 0 < £ 1.
ф
2. аф = £a, сф = £с, где a, с е П(ф, 1).
3. Сечения £(ф) имеют площадь уо1(£(ф)) =
= пRф, где Rф = £2Rq, q е П(ф, 1).
Пусть Qф - некоторая точка сечения £(ф). Ее координаты в системе РХУ2 представимы в виде
X = R (1+ х) cos ф, Y = R (1+ х) sin ф, Z = Rz.
(1.1)
Геометрию кольца определим с помощью следующих трех замен переменных.
1) Сначала проведем замену (х, г) ^ (^ф, £ф) по формулам
X = Оф + д ^ф, г = Сф + д
в результате которой сечения £(ф) преобразуются в области ^(ф) на плоскости переменных £ф, имеющие Уф е [0; 2п] одну и ту же площадь У01(5(ф)) = пе4.
2) Допустим теперь, что выполнено условие
4. Уф е [0; 2п] отвечает аналитическое преобразование (^ф, ^ О с коэффициентами аУу, сг] е П(ф, 1):
^ф = (+ ОиС) + («20^ + аи ^ + О02 С2 ) + •••, Сф = ( С10^ + С01 С) + ( С20^2 + СЦ ^ + С 02 ^ )+•••,
Y,
Ym
Y
P
Z
X
с h Q
Z
переводящее область 5(ф) в круг S = Z)|^2 + Z2 < е4}.
3) Заменой Z) ^ (u, w) по формулам ^ = е2ы, Z = e2w круг S преобразуем в единичный круг О = = {(u, w)|u2 + w2 < 1}.
В соответствии с проведенными заменами переменных равенства (1.1) перепишутся в виде
X = R( 1 + еа + е2 quф) cos ф,
Y = R( 1+ еа + е2quф) sin ф, (1.2)
2
Z = R(еc + е qwp),
где
иф = мф(u, w, ф) = u0 + е м2 + е . Wф = w„(u, w, ф) = wo + е2w2 + е4...
(1.3)
u0 = а10 u + a 01w, u2 = a20u + a11 uw + a02 w
w0 = C10U + С01w, W2 = С20u + С11 uw + c02w ,____
Формулы (1.2) осуществляют преобразование (X, Y, Z) ^ (u, w, ф), отображающее кольцо на множество T = {(u, w, ф) е П[0; 2п]}. Переменные u, w, ф служат безразмерными обобщенными координатами точек кольца. Из равенства
vol (£(ф)) = m4R2q2 =
= JJ dxdz = е4R2q2jj5dudw, Х(ф) n
где 5 - якобиан преобразования тф: (u~ wф) ^ (u, w)
5 =
Эuф/Эu Эup/dw Эwф/дu дwp/dw
= 50 + е252 + е4.
50 = a 10 c01- a01 c^ 62 = u521 + w 622,
621 = a10c11 + 2 a20c01 a11 c 10 2 a01 c20,
622 = 2a10 c02 + a11 c01 2a02 c10 — a01c11, выводится, что
60 = 1 + 0(е4).
(1.4)
Если в формулах (1.3) отбросить члены второго и более высокого порядка по переменным u, w,
то полученное при этом отображение :
Mф = u
0
Wф = w0
линейно по и, w. Прообразом круга О отображения служит область О°(ф) (в плоскости переменных иф, wф), ограниченная эллипсом с полуосями а, в, составляющими с осями иф, wф некоторый угол V.
Несложно установить, что
a10 = a cos v, a01 = -в sin v, c01 = a sin v, c01 = в cos v.
В силу формул (1.4), (1.5), получим
a2 = a2w + c?0 e П(ф, 1), в2 = a21+ c21 еП(ф, 1), ав =1 + O (е4),
что приводит к заключению о сравнимости величин а, в и их отношения X = в/а с единицей: а, в, X ~ 1.
Прообразом нелинейного преобразования тф круга О при малых значениях е Ф 0 будет служить область О(ф) с границей, близкой к границе области О°(ф). Следовательно, сечения Х(ф) кольца имеют почти эллиптическую форму.
Таким образом, предположения 1-4 при заданных значениях величин е, a, c, q, a у, c¡j однозначно определяют геометрическую форму кольца в пространстве PXYZ в виде тонкого тора с малым переменным почти эллиптическим сечением и срединной линией, близкой к окружности. При этом тонкость кольца и близость срединной линии к окружности характеризует малый параметр е, геометрию срединной линии - функции a, c, переменность площади поперечного сечения кольца - величина q, а геометрию поперечных сечений - функции aij, cij.
Представим теперь, что указанное кольцо заполнено сплошной материальной средой. Пусть Д(2ф) - плотность распределения массы в точке Qr Согласно формулам (1.2), эта величина представится функцией N(u, w, ф), заданной на множестве T. Поставим целью проводимого ниже исследования нахождение достаточно точных приближенных аналитических выражений сил притяжения частиц кольца в результате их гравитационного взаимодействия.
Уравнения (1.2) при фиксированных значениях (u, w) e О дают параметрические, с параметром ф, уравнения замкнутой линии Q, расположенной в теле кольца (см. рисунок). Пусть: e (Q) и e (Сф) - касательные орты соответственно к линии Q в точке Qф и к окружности C в точке Сф, проведенные в направлении возрастания угла ф; у - угол между указанными ортами; dl - элемент длины линии Q, отвечающий бесконечно малому положительному приращению dф угла ф; £*(ф) -
сечение кольца в точке Qф плоскостью, перпендикулярной вектору e (Q^), [сечение Х(ф) перпендикулярно орту e (Сф)]; й£*(ф), й£(ф) - бесконечно малые элементы площади сечений £*(ф), £(ф) соответственно. Примем также:
Соглашение 1. Функцию, полученную из f = =f (u, w, u*, w*, ф) заменой переменной ф на величину ф + 0, обозначим f. Прочие функции, зависящие от переменной 0 иным образом, будем обозначать f. Выражениями f , f", f4), ..., f', f", ... обозначим частные производные отмеченных функций по переменной 0. Соответственно, f, f", ... будут обозначать частные производные функции f=f(u, w, u*, w*, ф) по переменной ф. Обозначим также,
f (00) = f(u, w, u*, w*^ + 00), f(0O ) = f( u, w, u*, w*^ + 0 0 ).
Отметим, что в силу данного соглашения f (0) = f.
Соответственно принятым обозначениям из формул (1.1) находим
X = R[х'cosф - (1+ х)sinф], Y' = R [x'sin ф + (1+ х) cos ф], Z' = Rz'.
(Z' )2 = rV,
(X' Г + (Y')
П2 = (х' )2 + (z' )2 + (1 + х )2, dl = R nd ф.
В системе координат PXYZ
e(Qф) = {[х'cosф- (1+ х)sinф]п-1, [х'sinф + (1 + х)cosф]п \z'n-1}; e(Cp) = {-sinф, cosф, 0}.
Следовательно, cos у = e (Q^) • e (C9) = (1 + х)п-1.
Будем считать, что линия Q в каждой точке Qv имеет "элементарную толщину", полагая площадь поперечного сечения линии Q в точке Qv плоскостью, перпендикулярной орту e (Q^) равной й£*(ф).
d £* (ф) = cos у^£(ф), dE^) = £4 R2 q25dQ,
где dQ = dudw — элемент площади области Q. Тогда dV = й£*(ф^1 будет представлять объем участка линии Q, содержащего точку Q„. Его масса равна dm = A(u, w, ф)dV = £4R3c(1 + х)dQdф, где а = = Aq25.
Далее каждую точку кольца отождествляем с соответствующим элементарным объемом dV с массой dm.
Зафиксируем значение переменной ф и введем новый параметр 0 для кривой Q, заменяя ф в формулах (1.1) величиной ф + 0, где 0 е [0; 2п]. В силу соглашения 1 величины а, х, z, din = £4R3 а (1 +
х )dQd0 будут представлять величины а, х, z, dm, отвечающие точке Qv + 0 с обобщенными координатами (u, w, ф + 0), при этом величина d0 заменяет приращение dф.
Пусть Q*(u*, w*, ф) — произвольная точка сечения Ё(ф), и а*, х*, z*, dm* = £4R3a*(1 + х*)dQ*dф, dQ* = du*dw* — значения соответствующих величин, отвечающих точке Q*. Согласно формулам (1.1), координаты точки Q* в системе PXYZ задаются равенствами
X( Q *) = R (1+ х*) cos ф, Y (Q *) = R (1+ х*) sin ф, Z( Q *) = Rz*.
В системе координат C^X^Y^Z
Q*Q + 0
= R{(1 + х)cos 0 - (1 + х*), (1 + х) sin0, z- z* }. Отсюда находим
(Q* Q
ф+в
\2 n2„2 ) = R r ,
r2 = (х- х*)2 + (z-z*)2 +
+ 4 (1 + x*)(1 + x) sin2 (0.5 0).
Проекции gXp), g(Y<^, g(Z) силы притяжения точки Q* на оси системы C^X^Y^Z всеми точками
линии Q определятся из формул
2п
g (Хф) = X J XF3 d0,
g (Y ф) = X J Y r-3d0, g( Z) = xJ
Z r
-3
где х = £4y°Rdm*dQ, - гравитационная постоянная,
X = Ъ(1 + x)[(1 + x)cos0 - (1 + x*)], Y = Ъ (1+ x )2 sin 0, Z = Ъ (1+ x )(z-z*).
Вычисление сил g(X^), g(7ф), g(Z) проведем следующим образом. Зафиксируем переменные u, w, u*, w* (переменная ф уже зафиксирована ранее). Заметим, что для любой непрерывной 2п-перио-дической по переменной 0 функции f и любого числа e е (0; 2п),
2 п
2п - e
g (f) = J fd0 = J fd0 = i (f) + j (f),
0 -e
e 2п - e
где i (f) = J fd0, j (f) = J fd0.
0
0
0
e
e
Поэтому силы g(Xф), £(Гф), g(Z) можно предста- Согласно условиям 5, 6, (1.6), на отрезке (2.1)
вить в ,иде справедливы следующие разложения функций х,
g(Хф) = г(Хф) + у(Хф), 2, а, г2 по формуле Тейлора
^ уф) = г (уф) + у( у ф), g(Z) = г (Z) + . х = х + х' 0 + 1 х" 02 + !х'"03 + О(е)04,
В качестве введенного числа е возьмем положительную постоянную одного порядка малости ~2 = 2 + 2' 0 + 12» 02 + 1 2 »' 03 + о (е)04 с величиной е, 2 6'
(2.3)
е ~ е. (16) с = с + а'0 + 1с'' 02 + 1 а''' 03 + 0( 1 )04,
26
Величины г(Хф), г(Уф), /(Z) назовем силами
"близкодействия", поскольку они вызваны притя- г = р0 + 2р10 + р202 + рз 03 + р4 04, жением точки О* близкими к ней точками линии
где
О, для которых 0 е [-е; е], а величины у (Хф), у (Уф), = ( _ ) 2+ . = 0 4)
У(7) - силами "дальнодействия". Это силы притя- р0 (х х*) (2 2*) 0(е )'
жения точки О* удаленными от нее элементами 3
) р1 = х'(х - х* ) + 2'(2 - 2* ) = О(е ), линии О, для которых 0 е [е; 2п - е]. Вычисление
сил близкодействия и дальнодействия проведем р2 = (1+ х)(1+ х*) + (х') 2 + (2' )2 +
раздельно. Затем, по найденным значениям сил *..........(2.4)
g(Xф),^Уф), g(Z) о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.