ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2012, том 113, № 6, с. 563-570
^ ТЕОРИЯ
МЕТАЛЛОВ
УДК 537.9.001
СИММЕТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ХАББАРДА В ПРЕДЕЛЕ d = ю. НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЕ ПАРАМАГНИТНОЕ РЕШЕНИЕ
© 2012 г. Н. И. Чащин
Уральский государственный лесотехнический университет, 620100 Екатеринбург, Сибирский тр., 37
Поступила в редакцию — 16.06.2011 г.; в окончательном варианте — 25.11.2011 г.
На основе полученных ранее уравнений исследуется парамагнитное решение симметричной модели Хаббарда для случая d = да, Т = 0 К. Полученные решения представлены графиками: плотность электронных состоянии, число дважды занятых узлов решетки D, внутренняя энергия системы Е и статическая парамагнитная восприимчивость % в зависимости от величины взаимодействия электронов U. Результаты расчета показывают, что стабильные режимы образования локальных моментов при 0 < U < 1.8 и сильного кондовского рассеяния в области 2.8 < U < 6.0 разделены областью 1.8 < U< 2.8, где поведение системы становится нерегулярным. Параметр D хаотически принимает положительные и отрицательные значения, в то время как % > 0 и средняя Е « const, что указывает на структурную перестройку с сопутствующим расслоением фаз.
Ключевые слова: модель Хаббарда, бесконечноразмерная решетка, парамагнитная восприимчивость, расслоение фаз.
1. ВВЕДЕНИЕ
Предложенная несколько десятилетий назад Хаббардом модель (МХ) [1], оказалась удобной для исследования коррелированной электронной системы, в которой проявляются два начала: коллективизация и локализация. В простейшей форме гамильтониан имеет вид
X j+
X ni с + UX niT nJ1, (1Л)
уст
где и — параметр кулоновского взаимодействия на узле; (с}а) — фермиевские операторы, описывающие уничтожение и рождение электронов со спином а = Т, п(а — операторы числа частиц;
— параметр перескока с узла на узел ж-электро-нов с шириной зоны Ж; ба = — ак/2 — где (И = g|BH, g — электронный ^-фактор, |в — магнетон Бора, Н — внешнее магнитное поле, | — хим-потенциал).
За последний двадцать лет был достигнут значительный прогресс в изучении МХ. В первую очередь необходимо отметить работы [3—8], в которых авторы разработали и развили строгий в пределе d = да так называемый ЭМБТ-метод. Суть метода состоит в том, что для бесконечноразмер-ной решетки собственная энергия электрона диа-гональна в узельном представлении
Ху(ю) = X (ro)8j,
т.е. функция Е не зависит от импульса, и в этом смысле MX становится эквивалентной однопри-месной модели Андерсона (МА) [2].
Разработано несколько способов численного решения МА: квантовый метод Монте-Карло (QMC), метод численной ренормализационной группы (RNG), метод численной диагонализации (ED), метод итеративной теории возмущений (IPT). Предел d = да до сих пор актуален и исследуется многими авторами, в частности, в работах [7, 8] рассматривалась важная проблема фазового перехода металл—изолятор (МИ) в парамагнитном состоянии.
Нами был предложен метод расчета, основанный на уравнениях, полученных с помощью производящего функционала [11—15] и последующим функциональным преобразованием Ле-жандра [9, 10].
В этих работах выведены уравнения для пропа-гаторов числа частиц я(12) = X GCT( 12) и момента m(12) = Хс sign (a)GCT(12) (1 = (т, R), т — термодинамическое время, R — узел решетки: по штрихованным индексам производится суммирование).
(pn)(12) + [п( 12) + Um( 11 )S( 1, 1')] m (1' 2) = = 2S( 1, 2) - иХцц( 12; 11),
(p m)(12) = -
П( 12) + Urn (11Ж1, 1')
(1.2)
n( 1' 2),
где
Pk = Pk - 2 (<п) - 1)' Pk = mn - Zk + И - 2 ' п( 12) = h5( 1, 2), <n) - 1 = £nk.
(1.3)
Функционал Хпп(12; 34), ответственный за электронные корреляции в системе, подчиняется уравнению типа Бете—Солпитера
Х^ 12; 34) + ир1 (11') п( 1 '2 ^ 1'1'; 34) =
2 (1-4)
= -Р-1( 14) п ( 32),
одночастичное Хпп(12; 11) решение которого в пространственно-однородном случае представляется в виде
Хпп( 12; 11) = £в'к( 1 -2)Хцц(к), Хцц =
= -п.
где
Qa =
1 ^ Uv --1
1 + 2 L p k'+qn
P k + q
-, k = (k, iИп),
(1.5)
' + q k'
(1.6)
ип = (2 n + 1 )я T,
здесь
Lk
лательно осознать насколько выводы для низкоразмерной модели применимы в рассматриваемом случае. Наконец, предлагаемое решение может оказаться необходимой стартовой точкой для поиска более сложных решений, включая и соизмеримые, и несоизмеримые магнитные решения с конечной размерностью решетки.
Во втором разделе статьи дан вычислительный алгоритм рассматриваемой задачи и приведены функции плотности электронных состояний для нескольких значений величины взаимодействия и. В третьем получены формулы для полной внутренней энергии системы и параметра, определяющего среднее число дважды занятых узлов решетки, представлены расчетные графики этих функций. Вывод формулы для статической парамагнитной восприимчивости и соответствующие графические результаты приведены в четвертом разделе. Основные выводы и заключения сформулированы в пятом разделе. Общая схема расчета пространственно-однородной модели, которая справедлива для решетки любой размерности изложена в Приложении.
2. ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОРОДНОЕ РЕШЕНИЕ
Осуществив преобразование Фурье уравнений (1.2), представим пространственно-однородную модель Хаббарда в виде следующей системы уравнений:
означает одновременное суммирование
nk =
2 p k
по импульсу к и мнимой дискретной частоте /юи.
Уравнения (1.2), (1.4) записаны в узельном представлении и не накладывают никаких ограничений на поиск любых решений: парамагнитных, ферромагнитных, антиферромагнитных; также нет ограничений и на размерность решетки. В данной статье мы ограничимся пределом d = да, парамагнитным решением для случая низкой температуры Т ~ 0 К и наполовину заполненной зоны (и) = 1. Имеется несколько важных, с нашей точки зрения, причин по которым это сделать необходимо. Во-первых, новый предлагаемый метод требует проверки и сравнения с уже известными результатами. Во-вторых, нельзя утверждать, что даже в этом случае все проблемы уже до конца решены, например, представляет значительный интерес вопрос о фазовых переходах и расслоении фаз. В работе [13] в рамках среднего поля была построена магнитная фазовая диаграмма двумерной модели Хаббарда и, в частности, обсуждалась проблема появления фазовых расслоений вблизи половинного заполнения. Но, как известно, МХ в пределе d = да эквивалентна однопримесной модели Андерсона и поэтому же-
Pk(Pk - UCork) - (h + U<m))[ h + U<m)
Cork
= L
P k+q 1 + Un
nq = L
P k+
mk = -[h + U < m))П-.
2 yP k
; (2.1)
(2.2)
(2.3)
В Приложении дана общая расчетная схема пространственно-однородной задачи, пригодная, как для ферромагнитного, так и для парамагнитного решения. В симметричном пределе наполовину заполненной зоны (и) = 1 (ц = U/2) согласно (1.3) имеем рк = рк = тП - ек.
В отличие от стандартного алгоритма DMFT переход к пределу бесконечноразмерной решетки d = да осуществим непосредственно в рамках рассматриваемой модели Хаббарда без обращения к внешнему солверу однопримесной модели Андерсона. Так как в этом случае зависимостью от импульсов к функций Cor, П, можно прене-
k
k
q
k
k
q
бречь, то выражения (П1.2—П1.5) значительно упрощаются:
2
SZ(etoœ) = U^Сог(ю) - n(U{m) 5(и - 6k);(2.4)
х S Q (ek - и),
1 - th| ^ 1 thf6*—и 2T V 2T
Ш Cor (и) = 1 f SCor (и ') йи ' я J и' - и
Вместо пропагатора числа частиц пк, удобнее работать с электронной ФГ (Ок = 1 пк)
SG(6k ; и) = US С or ( и )
(2.6)
и - 6 k -
иш Cor (и) - (ЕМУ 2(и - 6k).
+ [ USCor^)]2 и кроме того, введем в рассмотрение функцию
S g (и) = N- S SG(6k ; и), (2.7)
по смыслу являющейся мнимой частью локальной ФГ модели Хаббарда в пределе d = да. Тогда имеем
S п (О) = -N- S1 - th
at k'
6И th (6k- О
2 T
2T
х Sg(6k'- О),
Sn(O) = - th V°J Sn (О), Ш П(О) =
= 1 г Sn(0') do', я J О ' - О
(2.8)
SQ(0) =
USn (О)
1 + UШп(О)
+
USri (О) th f° .2 V 2T
Плотность электронных состояний на одно направление спина (DOS) определим стандартным образом в виде
Щи) = - JL у S G (6k'; и).
(2.9)
Система интегральных нелинейных уравнений (2.5—2.9) полностью определяет поведение симметричной модели Хаббарда в пределе d = да.
При всех вычислениях DOS свободных s-электро-нов гиперкубической решетки принимается [3, 7] в форме гауссиана
N (и) = -L е-
а/Я
(2.10)
где частота ю и все другие энергетические параметры нормированы на половину ширины Ж =
(2.5) = 2
J Jи2N/и)йи зоны «-электронов [7].
Важно отметить, что решение становится неоднозначным в области 1.8 < U < 2.8. В системе случайным образом появляются решения с разными значениями полной внутренней энергии Е, числа "двоек" D, парамагнитной статической восприимчивости х и, как следствие, разными по форме ^(и).
Результаты расчета DOS для парамагнитного случая {m) = 0 при температуре Т = 0 К приведены на рис. 1. Графики в и г для параметра U = 2.2, лежащего в области нестабильности, отличаются только значениями D. Таким образом, эти решения относятся, наряду с другими, к существующим одновременно парамагнитным фазам разной энергии, т.е. наблюдается расслоение фаз. Отметим также, что ширина центрального пика определяется количеством "двоек" в системе — чем меньше D, тем пик острее, т.е. электрон "тяжелее", менее подвижен.
Максимальное значение плотности состояний в рассматриваемом случае Т = 0 К остается неизменным для всех значений параметра U и равным
N(0) = 1/Vn , согласуясь с хорошо известным правилом сумм Фриделя, при рассеянии электронов на одиночной примеси. При D ^ 0 ширина пика также стремится к нулю и визуально он исчезает, но при этом перехода МИ в системе нет, так как значение N(0) остается прежним. Этот факт согласуется с утверждением, что модель Хаббарда в пределе d = да действительно эквивалентна однопримесной модели Андерсона.
3. ПОЛНАЯ ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ. ЧИСЛО
ДВАЖДЫ ЗАНЯТЫХ УЗЛОВ В РЕШЕТКЕ
Принимая во внимание известное термодинамическое соотношение для энергии
E( T) = -I
(d ln
V dß Z = Sp[ е
Z] =
1 1 Vöß1 ,
V-
-в(Ж - рЯ)-,
(3.1)
получим
E ( T) = ¿Sp [ е
-в (Ж - рЯ)
Ж >{ Ж),
(3.2)
эи
СО
Щ(ю) (а) Щ(ю) (б)
Рис. 1. Плотность электронных состояний. Графики в и г соответствуют состояниям с разным
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.