научная статья по теме СИММЕТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ХАББАРДА В ПРЕДЕЛЕ D = . НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЕ ПАРАМАГНИТНОЕ РЕШЕНИЕ Физика

Текст научной статьи на тему «СИММЕТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ХАББАРДА В ПРЕДЕЛЕ D = . НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЕ ПАРАМАГНИТНОЕ РЕШЕНИЕ»

ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2012, том 113, № 6, с. 563-570

^ ТЕОРИЯ

МЕТАЛЛОВ

УДК 537.9.001

СИММЕТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ХАББАРДА В ПРЕДЕЛЕ d = ю. НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЕ ПАРАМАГНИТНОЕ РЕШЕНИЕ

© 2012 г. Н. И. Чащин

Уральский государственный лесотехнический университет, 620100 Екатеринбург, Сибирский тр., 37

Поступила в редакцию — 16.06.2011 г.; в окончательном варианте — 25.11.2011 г.

На основе полученных ранее уравнений исследуется парамагнитное решение симметричной модели Хаббарда для случая d = да, Т = 0 К. Полученные решения представлены графиками: плотность электронных состоянии, число дважды занятых узлов решетки D, внутренняя энергия системы Е и статическая парамагнитная восприимчивость % в зависимости от величины взаимодействия электронов U. Результаты расчета показывают, что стабильные режимы образования локальных моментов при 0 < U < 1.8 и сильного кондовского рассеяния в области 2.8 < U < 6.0 разделены областью 1.8 < U< 2.8, где поведение системы становится нерегулярным. Параметр D хаотически принимает положительные и отрицательные значения, в то время как % > 0 и средняя Е « const, что указывает на структурную перестройку с сопутствующим расслоением фаз.

Ключевые слова: модель Хаббарда, бесконечноразмерная решетка, парамагнитная восприимчивость, расслоение фаз.

1. ВВЕДЕНИЕ

Предложенная несколько десятилетий назад Хаббардом модель (МХ) [1], оказалась удобной для исследования коррелированной электронной системы, в которой проявляются два начала: коллективизация и локализация. В простейшей форме гамильтониан имеет вид

X j+

X ni с + UX niT nJ1, (1Л)

уст

где и — параметр кулоновского взаимодействия на узле; (с}а) — фермиевские операторы, описывающие уничтожение и рождение электронов со спином а = Т, п(а — операторы числа частиц;

— параметр перескока с узла на узел ж-электро-нов с шириной зоны Ж; ба = — ак/2 — где (И = g|BH, g — электронный ^-фактор, |в — магнетон Бора, Н — внешнее магнитное поле, | — хим-потенциал).

За последний двадцать лет был достигнут значительный прогресс в изучении МХ. В первую очередь необходимо отметить работы [3—8], в которых авторы разработали и развили строгий в пределе d = да так называемый ЭМБТ-метод. Суть метода состоит в том, что для бесконечноразмер-ной решетки собственная энергия электрона диа-гональна в узельном представлении

Ху(ю) = X (ro)8j,

т.е. функция Е не зависит от импульса, и в этом смысле MX становится эквивалентной однопри-месной модели Андерсона (МА) [2].

Разработано несколько способов численного решения МА: квантовый метод Монте-Карло (QMC), метод численной ренормализационной группы (RNG), метод численной диагонализации (ED), метод итеративной теории возмущений (IPT). Предел d = да до сих пор актуален и исследуется многими авторами, в частности, в работах [7, 8] рассматривалась важная проблема фазового перехода металл—изолятор (МИ) в парамагнитном состоянии.

Нами был предложен метод расчета, основанный на уравнениях, полученных с помощью производящего функционала [11—15] и последующим функциональным преобразованием Ле-жандра [9, 10].

В этих работах выведены уравнения для пропа-гаторов числа частиц я(12) = X GCT( 12) и момента m(12) = Хс sign (a)GCT(12) (1 = (т, R), т — термодинамическое время, R — узел решетки: по штрихованным индексам производится суммирование).

(pn)(12) + [п( 12) + Um( 11 )S( 1, 1')] m (1' 2) = = 2S( 1, 2) - иХцц( 12; 11),

(p m)(12) = -

П( 12) + Urn (11Ж1, 1')

(1.2)

n( 1' 2),

где

Pk = Pk - 2 (<п) - 1)' Pk = mn - Zk + И - 2 ' п( 12) = h5( 1, 2), <n) - 1 = £nk.

(1.3)

Функционал Хпп(12; 34), ответственный за электронные корреляции в системе, подчиняется уравнению типа Бете—Солпитера

Х^ 12; 34) + ир1 (11') п( 1 '2 ^ 1'1'; 34) =

2 (1-4)

= -Р-1( 14) п ( 32),

одночастичное Хпп(12; 11) решение которого в пространственно-однородном случае представляется в виде

Хпп( 12; 11) = £в'к( 1 -2)Хцц(к), Хцц =

= -п.

где

Qa =

1 ^ Uv --1

1 + 2 L p k'+qn

P k + q

-, k = (k, iИп),

(1.5)

' + q k'

(1.6)

ип = (2 n + 1 )я T,

здесь

Lk

лательно осознать насколько выводы для низкоразмерной модели применимы в рассматриваемом случае. Наконец, предлагаемое решение может оказаться необходимой стартовой точкой для поиска более сложных решений, включая и соизмеримые, и несоизмеримые магнитные решения с конечной размерностью решетки.

Во втором разделе статьи дан вычислительный алгоритм рассматриваемой задачи и приведены функции плотности электронных состояний для нескольких значений величины взаимодействия и. В третьем получены формулы для полной внутренней энергии системы и параметра, определяющего среднее число дважды занятых узлов решетки, представлены расчетные графики этих функций. Вывод формулы для статической парамагнитной восприимчивости и соответствующие графические результаты приведены в четвертом разделе. Основные выводы и заключения сформулированы в пятом разделе. Общая схема расчета пространственно-однородной модели, которая справедлива для решетки любой размерности изложена в Приложении.

2. ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОРОДНОЕ РЕШЕНИЕ

Осуществив преобразование Фурье уравнений (1.2), представим пространственно-однородную модель Хаббарда в виде следующей системы уравнений:

означает одновременное суммирование

nk =

2 p k

по импульсу к и мнимой дискретной частоте /юи.

Уравнения (1.2), (1.4) записаны в узельном представлении и не накладывают никаких ограничений на поиск любых решений: парамагнитных, ферромагнитных, антиферромагнитных; также нет ограничений и на размерность решетки. В данной статье мы ограничимся пределом d = да, парамагнитным решением для случая низкой температуры Т ~ 0 К и наполовину заполненной зоны (и) = 1. Имеется несколько важных, с нашей точки зрения, причин по которым это сделать необходимо. Во-первых, новый предлагаемый метод требует проверки и сравнения с уже известными результатами. Во-вторых, нельзя утверждать, что даже в этом случае все проблемы уже до конца решены, например, представляет значительный интерес вопрос о фазовых переходах и расслоении фаз. В работе [13] в рамках среднего поля была построена магнитная фазовая диаграмма двумерной модели Хаббарда и, в частности, обсуждалась проблема появления фазовых расслоений вблизи половинного заполнения. Но, как известно, МХ в пределе d = да эквивалентна однопримесной модели Андерсона и поэтому же-

Pk(Pk - UCork) - (h + U<m))[ h + U<m)

Cork

= L

P k+q 1 + Un

nq = L

P k+

mk = -[h + U < m))П-.

2 yP k

; (2.1)

(2.2)

(2.3)

В Приложении дана общая расчетная схема пространственно-однородной задачи, пригодная, как для ферромагнитного, так и для парамагнитного решения. В симметричном пределе наполовину заполненной зоны (и) = 1 (ц = U/2) согласно (1.3) имеем рк = рк = тП - ек.

В отличие от стандартного алгоритма DMFT переход к пределу бесконечноразмерной решетки d = да осуществим непосредственно в рамках рассматриваемой модели Хаббарда без обращения к внешнему солверу однопримесной модели Андерсона. Так как в этом случае зависимостью от импульсов к функций Cor, П, можно прене-

k

k

q

k

k

q

бречь, то выражения (П1.2—П1.5) значительно упрощаются:

2

SZ(etoœ) = U^Сог(ю) - n(U{m) 5(и - 6k);(2.4)

х S Q (ek - и),

1 - th| ^ 1 thf6*—и 2T V 2T

Ш Cor (и) = 1 f SCor (и ') йи ' я J и' - и

Вместо пропагатора числа частиц пк, удобнее работать с электронной ФГ (Ок = 1 пк)

SG(6k ; и) = US С or ( и )

(2.6)

и - 6 k -

иш Cor (и) - (ЕМУ 2(и - 6k).

+ [ USCor^)]2 и кроме того, введем в рассмотрение функцию

S g (и) = N- S SG(6k ; и), (2.7)

по смыслу являющейся мнимой частью локальной ФГ модели Хаббарда в пределе d = да. Тогда имеем

S п (О) = -N- S1 - th

at k'

6И th (6k- О

2 T

2T

х Sg(6k'- О),

Sn(O) = - th V°J Sn (О), Ш П(О) =

= 1 г Sn(0') do', я J О ' - О

(2.8)

SQ(0) =

USn (О)

1 + UШп(О)

+

USri (О) th f° .2 V 2T

Плотность электронных состояний на одно направление спина (DOS) определим стандартным образом в виде

Щи) = - JL у S G (6k'; и).

(2.9)

Система интегральных нелинейных уравнений (2.5—2.9) полностью определяет поведение симметричной модели Хаббарда в пределе d = да.

При всех вычислениях DOS свободных s-электро-нов гиперкубической решетки принимается [3, 7] в форме гауссиана

N (и) = -L е-

а/Я

(2.10)

где частота ю и все другие энергетические параметры нормированы на половину ширины Ж =

(2.5) = 2

J Jи2N/и)йи зоны «-электронов [7].

Важно отметить, что решение становится неоднозначным в области 1.8 < U < 2.8. В системе случайным образом появляются решения с разными значениями полной внутренней энергии Е, числа "двоек" D, парамагнитной статической восприимчивости х и, как следствие, разными по форме ^(и).

Результаты расчета DOS для парамагнитного случая {m) = 0 при температуре Т = 0 К приведены на рис. 1. Графики в и г для параметра U = 2.2, лежащего в области нестабильности, отличаются только значениями D. Таким образом, эти решения относятся, наряду с другими, к существующим одновременно парамагнитным фазам разной энергии, т.е. наблюдается расслоение фаз. Отметим также, что ширина центрального пика определяется количеством "двоек" в системе — чем меньше D, тем пик острее, т.е. электрон "тяжелее", менее подвижен.

Максимальное значение плотности состояний в рассматриваемом случае Т = 0 К остается неизменным для всех значений параметра U и равным

N(0) = 1/Vn , согласуясь с хорошо известным правилом сумм Фриделя, при рассеянии электронов на одиночной примеси. При D ^ 0 ширина пика также стремится к нулю и визуально он исчезает, но при этом перехода МИ в системе нет, так как значение N(0) остается прежним. Этот факт согласуется с утверждением, что модель Хаббарда в пределе d = да действительно эквивалентна однопримесной модели Андерсона.

3. ПОЛНАЯ ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ. ЧИСЛО

ДВАЖДЫ ЗАНЯТЫХ УЗЛОВ В РЕШЕТКЕ

Принимая во внимание известное термодинамическое соотношение для энергии

E( T) = -I

(d ln

V dß Z = Sp[ е

Z] =

1 1 Vöß1 ,

V-

-в(Ж - рЯ)-,

(3.1)

получим

E ( T) = ¿Sp [ е

-в (Ж - рЯ)

Ж >{ Ж),

(3.2)

эи

СО

Щ(ю) (а) Щ(ю) (б)

Рис. 1. Плотность электронных состояний. Графики в и г соответствуют состояниям с разным

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком