КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2013, том 51, № 4, с. 308-322
УДК 517.913
СИММЕТРИЧНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ХИЛЛА. I
© 2013 г. А. Б. Батхин
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 15.05.2012 г.
Рассматривается плоская круговая задача Хилла и ее предельный интегрируемый вариант, называемый задачей Энона, для которой исходная задача Хилла является сингулярным возмущением. Среди решений задачи Энона выделяется счетное число порождающих решений—дуг, однозначно определяемых условием последовательного прохождения через начало координат — особую точку уравнений движения задачи Хилла. Из порождающих решений—дуг, как из "букв" некоторого "алфавита", составляются по определенным правилам "слова" — порождающие решения семейств периодических орбит задачи Хилла. Последовательность "букв" в "слове" определяет порядок перехода орбиты с одного инвариантного многообразия на другое, а множество всех правильно заданных "слов" определяет символическую динамику системы.
Б01: 10.7868/80023420613040031
ВВЕДЕНИЕ
Любая гамильтонова система с инвариантным множеством конечной меры согласно известной теореме Пуанкаре о возвращении [1, § 37] обладает бесконечным числом периодических решений, поэтому дать их описание или хотя бы классификацию весьма затруднительно. Традиционно, исследование неинтегрируемой системы проводится с использованием методов теории возмущений. В данной работе техника порождающих решений, разработанная в [2] и [3], применяется к исследованию семейств симметричных периодических решений задачи Хилла. Для этого строится некоторая символическая динамика на счетном множестве порождающих решений, из которых по определенным правилам составляются порождающие последовательности. Каждая порождающая последовательность позволяет определить такие свойства соответствующего семейства периодических решений как симметрия, глобальная кратность орбиты, а также дает асимптотику начальных условий, периода и индекса устойчивости. Это позволяет, используя порождающую последовательность в качестве начального приближения, находить периодическое решение задачи Хилла и затем, продолжая его по параметру, вычислять все семейство. Доказано, что все симметричные периодические решения задачи Хилла продолжаются до решений ограниченной задачи трех тел и могут быть использованы для проектирования траекторий космических аппаратов в окрестности меньшего из двух массивных тел, совершающих равномерное движение вокруг общего центра масс.
Это первая часть статьи. Во второй части будут даны описания новых семейств периодических решений задачи Хилла, полученные из порождающих решений.
1. ЗАДАЧА ХИЛЛА И ЕЕ СВОЙСТВА
Задача Хилла является некоторым предельным случаем ограниченной задачи трех тел (ОЗТТ) [4] и используется для исследования динамики тела "нулевой" массы (спутника) в окрестности меньшего из двух тяготеющих тел. Если два массивных тела равномерно вращаются по круговым орбитам относительно общего центра масс, то задача называется круговой, если движутся по эллипсам, то, соответственно, эллиптической. Если спутник движется в плоскости тяготеющих тел, то задача называется плоской.
Задача Хилла первоначально была предложена Джорджем Хиллом для построения теории движения Луны [5] в системе Солнце—Земля—Луна. Он получил приближенные периодические решения в виде тригонометрических рядов, которые использовал как промежуточные решения для своей теории движения Луны. Дж. Хилл существенно использовал идеи Леонарда Эйлера, изложенные в его трактате "THEORIA MOTUUM LUNAE NOVA METHODO PERTRACTATA" объемом 790 страниц, который был написан и издан в Санкт-Петербурге в 1772 г., а переведен на русский язык академиком А.Н. Крыловым в 1934 г. [6]. Подробнее о роли задачи Хилла в построении теории движения Луны см. в [7].
Большой вклад в исследование периодических решений плоской задачи Хилла внес М. Энон. В
работах [8—10] он обобщил результаты, полученные ранее численно, дал описание основных семейств периодических решений, а также исследовал их вертикальную устойчивость. В [11, 12] М. Энон применил метод порождающих решений, изложенный в монографии [3], в контексте плоской ОЗТТ, к изучению периодических решений плоской задачи Хилла и описал новые семейства периодических решений, полученные методом "грубой силы". Во многом данная работа является продолжением и развитием идей поиска периодических решений, описанных в [3, 11], а также в монографии А. Д. Брюно [2].
Укажем еще некоторые работы, в которых проводилось исследование периодических решений плоской круговой задачи Хилла. Л. Перко, используя технику согласования решений вблизи особой точки [13], доказал существование периодического решения первого вида [14], а также счетного числа семейств периодических решений второго вида [15] в задаче Хилла (см. определения 2 и 3 ниже). К сожалению, предложенные в [14, 15] асимптотики начальных условий и периодов орбит оказались непригодными для продолжения семейств периодических решений. В работе [16] дано качественное описание глобальной динамики задачи Хилла, а также схематично описано большое число семейств периодических решений для случая С > 0. Для апробации метода поиска периодических орбит в работе [17] частично исследованы 31 семейство периодических решений, взаимодействующих с семейством / обратных од-нооборотных орбит. В монографии [18] числено исследовано на устойчивость более 50-ти семейств плоских периодических орбит.
Задача Хилла имеет многочисленные применения для анализа эволюции орбит естественных спутников (см., например, [19—21]), для проектирования миссий космических аппаратов [22—24], а также в динамике звездных кластеров [25].
1.1. Уравнения задачи Хилла. Обычно уравнения движения задачи Хилла получают либо из уравнений общей задачи трех тел, либо из уравнений ОЗТТ с помощью преобразования Хилла с последующим предельным переходом ц —»- 0, где ц — массовый параметр в ОЗТТ (см., [4, § 10.4], [26]). Более эффективно вывод уравнений движения осуществляется с использованием гамильтонова формализма, когда преобразованиям подвергаются не исходные уравнения, а функция Гамильтона. В монографии [18, § 3.2] гамильтониан пространственной задачи Хилла получен из гамильтониана ОЗТТ с помощью канонических преобразований. В [27] гамильтониан плоской, а в [28] гамильтониан пространственной задач Хилла получены из гамильтониана ОЗТТ как результат укорочения, соответствующего гиперграни носителя функции Гамильтона ОЗТТ в про-
странстве показателей степеней фазовых переменных и массового параметра (см. [29, гл. IV, § 4]).
Функция Гамильтона плоской круговой задачи Хилла есть
Н(X у) = 1 (у? + у1) + х2у -
2 12 1
— Х1у2 — Х1 + 1Х2 , 2 г
(1)
где г = ь1х1+х2, х = (х1, х2) - вектор координат, а У = (Уъ У2) — вектор канонически сопряженных импульсов. Здесь и далее полужирный шрифт используется для обозначения векторов.
Канонические уравнения, определяемые гамильтонианом (1), имеют вид
*1 = У1 + х2, У1 = У2 + 2x1 — "3,
г
х2 = у2 х1, у2 = у2 Х2 3.
(2)
Уравнения движения (2) обладают единственным первым интегралом, который традиционно записывается в форме интеграла Якоби в переменных (х, X):
$ — 3x1 + - — х — Х2 — С, г
(3)
где С - константа Якоби. Значение гамильтониана Н связано со значением константы Якоби соотношением
Н = —С/2.
(4)
Уравнения задачи Хилла (2) инвариантны относительно конечной группы линейных преобразований фазовых переменных (х, у) и времени t. Образующие этой группы обозначим Е1 и 22, их действие на расширенном фазовом пространстве определяется соотношениями
2 : (г, Х1, %2, У1, У2) —(-^ Х1,-Х2, —У1, у2),
2 : (г, Х1, Х2, У1, У2) —< - г, -Х1, Х2, У1, У2).
Композицию преобразований Е1 и 22 обозна-
def
чим 212 = Е1 ° Е2 = 22 ° Е1, т.е. 212 определяет центральную симметрию в фазовом пространстве без обращения времени:
212 : ( г, Х1, Х2, У1, У 2 ) —-( - г, - Х1 -Х2, —У1, У 2 ).
Понимание структуры семейств периодических решений задачи Хилла невозможно без учета симметрии уравнений движения относительно преобразований 21, 22 и 212. Все периодические решения задачи Хилла могут быть разделены на
3 группы в зависимости от того, как они меняются под действием указанных преобразований:
несимметричные решения, которые под действием любого из указанных преобразований переходят в другие решение;
однократно симметричные решения, которые под действием одного из указанных преобразований переходят сами в себя, при этом два других преобразования позволяют получить еще одно новое решение;
двукратно симметричные решения, инвариантные относительно любого из указанных преобразований.
Периодические решения уравнений движения, определяемые автономным гамильтонианом, не являются изолированными, а образуют семейства, число параметров которых равны числу независимых первых интегралов системы канонических уравнений. В случае задачи Хилла все семейства периодических решений однопарамет-рические, а в качестве параметра может быть выбрана любая из характеристик периодического решения (период, одна из координат начального условия), но более адекватным параметром семейства периодических решений будет значение первого интеграла — интеграла Якоби (3) (или значение функции Гамильтона Н). Все семейства периодических решений могут быть условно разделены на несколько групп в зависимости от того, как они ведут себя при продолжении по параметру С.
Замкнутые семейства существуют только на некотором конечном интервале значений параметра С.
Полуоткрытые семейства, существующие на полубесконечном интервале значений параметра С, которые продолжаются либо до стягивания в точку, либо до окончания на другом семействе, либо до достижения экстремума по С.
Открытые семейства, существующие при всех значениях С.
Поскольку все такие семейства продолжаются по параметру С до своих естественных концов, то все они являются натуральными (см. [30, п. 1.3]).
Интерес к задаче Хилла вызван не в последнюю очередь тем, что ее периодические решения могут быть продолжены до периодических решений как ОЗТТ, так и общей задачи трех тел.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.