УДК 517.913
СИММЕТРИЧНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ХИЛЛА. II
© 2013 г. А. Б. Батхин
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 15.05.2012 г.
Описан алгоритм исследования семейств симметричных периодических орбит по их порождающим решениям, структура которых дана в первой части статьи [1]. Этот алгоритм существенно использует симметрию порождающего решения и его начальное приближение. С помощью алгоритма найдено и исследовано более 20-ти новых семейств симметричных периодических решений задачи Хилла. Приводится описание семейств, содержащих орбиты выведения в окрестность коллинеар-ных точек либрации ^ 2.
Б01: 10.7868/80023420613050014
ВВЕДЕНИЕ
Данная статья есть переработанный и несколько сокращенный вариант препринта [2] и является продолжением статьи [1], где дано описание порождающих решений, каждому из которых соответствует некоторое семейство периодических решений задачи Хилла. Для уменьшения объема везде далее мы ссылаемся при необходимости на утверждения, таблицы и рисунки, опубликованные в [2] или в [1].
Задача Хилла является некоторым предельным случаем ограниченной задачи трех тел (ОЗТТ) [3] и используется для исследования динамики тела "нулевой" массы (спутника) в окрестности меньшего из двух тяготеющих тел.
Уравнения задачи Хилла инвариантны относительно конечной группы четвертого порядка преобразований симметрии с двумя образующими, обозначаемыми Е1 и Е2 Каждое из этих преобразований имеет инвариантное множество в виде двумерной плоскости в расширенном фазовом пространстве.
В [2, 4] построены порождающие последовательности, каждая из которых задает семейство периодических решений. Эти последовательности строятся из дуг первого и второго типа, которые соединяются между собой в начале координат — особой точке уравнений задачи. М. Энон [5] предложил обозначать дуги первого типа символами ±/, / е а дуги второго типа символами I и е. Каждая из указанных выше дуг есть частное решение, проходящее по крайней мере дважды через начало координат, интегрируемой задачи Энона [6], которая в свою очередь есть один из предельных случаев задачи Хилла при С —»- — да, где С есть значение интеграла Якоби(см. [3, 4, 6]).
Согласно гипотезе Энона (см. [7, п. 5.3.1], [1]), последовательность, составленная из дуг ±/, ¡, е, в которой нет двух идущих подряд дуг I и нет двух идущих подряд дуг е, является порождающим решением семейства периодических орбит задачи Хилла. Такие последовательности названы порождающими последовательностями.
1. СВОЙСТВА ПОРОЖДАЮЩИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Порождающая последовательность является предельным положением периодического решения при С —»- —да, но, тем не менее, позволяет определить некоторые свойства порожденного семейства периодических решений: тип симметрии, расположение точек ортогонального пересечения орбиты с осью (осями) симметрии, глобальную кратность решения, а также асимптотику начальных условий и индекса устойчивости при С —► — да.
1.1. Симметрии порождающих последовательностей. Доказательства приведенных далее утверждений даны в [2].
В [4, п. 4] приведены условия, при которых порождающие последовательности, составленные из дуг первого типа, являются симметричными. Здесь сформулированы более общие утверждения, которые позволяют определять тип симметрии порождающей последовательности, составленной из дуг любого типа.
Если порождающая последовательность Е1-или Е2-симметричная, то ее всегда можно разбить на две взаимно симметричных относительно оси симметрии части. Эти части соединяются друг с другом в точках ортогонального пересечения орбитой этой оси симметрии.
(а) (б)
^2 1 : ч -А , * и ) 1 1 1 / \\ /3 \Л , Х2
0 -1 -3 У>3 Ц 1 3 0 ли - \ \ -1 1 * ' -3 || ЧХ ^ хч\ 13 * V Хк ых; /3 V //
Рис. 1
Если порождающая последовательность двояко симметричная, то ее всегда можно разбить на четыре подпоследовательности, которые начинаются на одной оси симметрии и заканчиваются на другой. Каждая из подпоследовательностей переводится в другую преобразованием или Е2.
Поскольку порождающие дуги ±/, ¡, е сами являются симметричными (см. рис. 5 в [1]), то самой короткой несимметричной порождающей последовательностью будет последовательность вида {±/, /} или {±/, е},/ е N. Отметим, что наличие в порождающей последовательности дуг только одного типа не гарантирует, что такая последовательность будет симметричной.
Определение 1. Порождающая последовательность называется Ъ1-(Ъ2-)палиндромной, если она инвариантна относительно преобразования Е1-(Е2-), т.е. при записи ее дуг в обратном порядке с соответствующей заменой их согласно таблице 2 в [1] она не меняется. С учетом следствия 1 в [1] также будем называть Е1-(Е2-)палиндромной и такую порождающую последовательность, которую можно сделать с помощью циклической перестановки палиндромной.
Утверждение 1. Если порождающая последовательность Е1-(Е2-)палиндромная, то она Е1-(Е2-)сим-метрична.
Более сильное условие Е1-(Е2-)симметрично-сти порождающей последовательности имеет следующий вид.
Утверждение 2. Если порождающую последовательность можно разбить на две Е1-(Е2-)палин-дромные подпоследовательности, то такая порождающая последовательность Е1-(Е2-)симмет-рична.
Несмотря на то что дуги первого типа являются ^-симметричными, из них можно составить такие порождающие последовательности, которые являются только Е2-симметричными. Достаточно потребовать, чтобы они удовлетворяли условию следующего утверждения.
Утверждение 3. Если порождающую последовательность, состоящую только из дуг первого типа, можно разбить на две такие подпоследовательности, что они являются взаимно ^-симметричными, то такая последовательность также Е2-симметрична.
Два предыдущих утверждения позволяют сформулировать утверждение для выделения двояко симметричных порождающих последовательностей.
Утверждение 4. Если порождающую последовательность можно разбить на две Е1-(Е2-)палин-дромные подпоследовательности так, что они будут взаимно Е2-(Е1-)симметричны, то исходная
30
(а)
х2
(б)
(в)
-8 -4 0 4 8 С = -60
-4-2 0 2 4 6 С = С (4)
Рис. 2
-8 -4 0 4 8 С = -60
(а)
х2
8 -4 0 4 8 {+5}
30
х1 0
(б)
х2
30 Г
х1 0
(в)
х2
8 -4 0 4 8 {+6}
8 -4 0 4 8 {+7}
Рис. 3
х
2
0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
- {+2}, „ /V {+4} / '""■---{+6} 1 {+7-}-{.+5}{+3}
- ё 1
\ / {+1}
/ 1 1 , Не \ | | 4а
0.7 -0.8 -0.9 -1.0 -1.1 -1.2 -1.3 -1.4 Х1 Рис. 4
порождающая последовательность является двояко симметричной.
Наконец, укажем условие, выделяющее класс таких порождающих последовательностей, что они обладают лишь одной центральной симметрией.
Утверждение 5. Если порождающую последовательность можно разбить на две такие подпоследовательности, что они являются взаимно 212-симметричными, то такая последовательность также 212-симметрична.
Примеры.
1. Последовательность {+1, +2, +1} является Е1-симметричной, но не 22-симметричной, поскольку 22({+1, +2, +1}) = {-1, -2, -1}. Последовательность {+1, +/, -1} является ^-симметричной, но не ^-симметричной, поскольку Е1({+1, ¡, -1}) = {+1, е, -1}.
2. Последовательность {+1, -1, +2, -1} является Е1-симметричной, поскольку состоит из двух 2гпалиндромных подпоследовательностей {-1, +2, -1} и {+1}. Тогда
21 ({+ 1, -1, +2, -1}) = = {-1, +2, -1, +1 } = { + 1, -1, +2, -1}.
3. Последовательность {+1, +2, -2, -1} является 22-симметричной, поскольку 22({+1, +2}) = {-2, -1}, но не 21-симметричной, поскольку
21({ + 1, +2, -2, -1}) =
= {-1, -2, +2, +1 } = { +2, +1, -1, -2}.
4. Последовательность {+1, +1, -1, -1} является двояко симметричной, что следует из приведенной ниже коммутативной диаграммы.
{+ 1, +1, -1, -1} ^ {-1, -1, +1, +1}
,х
{+1, +1, -1, -1} _ {-1, -1, +1, +1}
5. Последовательность {+1, +2, -1, -2} является центрально симметричной, поскольку 212({+1, +2}) = {-1, -2}, но она не 2Г и не 22-симметрич-на, ибо
21({ + 1, +2, -1, -2}) =
= {+2, +1, -2, -1} ({+ 1, +2, -1, -2}).
Расположение точек ортогонального пересечения орбиты, порожденной палиндромной последовательностью, с осью (осями) симметрии можно выяснить с помощью следующего утверждения.
Утверждение 6. 1. Если порождающая последовательность или 22-палиндромная, а число дуг, входящих в ее состав,
а) четно, то точки ортогонального пересечения с осью симметрии есть перицентры согласующих гипербол, т.е. являются "внутренними";
б) нечетно, то одна точка ортогонального пересечения с осью симметрии есть перицентр согласующей гиперболы, т.е. является "внутренней", а другая точка ортогонального пересечения с осью симметрии для случая 2гпалиндромной последовательности лежит на дуге ±/, а для случая 22-палиндромной последовательности лежит на дуге I (е), т.е. является "внешней".
(а)
(б)
0.2 0 0.2
0.2 хх 0
0.2 -
0.5 0 0.5
{(+1)3, +2}
0.5 0 0.5
{(+1)4, +2}
Рис. 5
х
х
2
2
Таблица 1. Сводная таблица основных семейств периодических решений
Назв. Порожд. Симм. М Стах
послед.
/ - 21, 22 1 +да
а {+1} 2х 0 34/3
с {-1}
И К е} 21, 22 -1 +да
И {+2} 2х 1 4.49998
{-2}
/з {-1, +1} 21, 22 3 3.80620
{+1, 1,-1, е} -1
На' {+2,;, е} 21 0 4.27143
НЪ {+1, +2} 21 1 4.24613
{+1, 1, е} -1
Нс {+2, +2, ;, е} 21 1 4.28267
{+2, 1, е, ;, е} -1
Нй {+1, +2, +2} 21 2 4.26247
{+1, ;, е, 1, е} -2
Не {+3} 21 2 -8.61520
{+1, е, 1} 2
Н/ {+1, +1, +2} 21 1 4.24611
{+1, +1, 1, е} -1
НИ {+2, 1, -1, е} 21 0 3.83620
2. Если порождающая последовательность удовлетворяет условию утверждения 2, а число дуг, входящих в состав ее палиндромных подпоследовательностей, нечетно, то точки ортогонального пересечения с осью симметрии лежат на дугах, каждая из которых центральная в своей подпоследовательности, т.е. точки пересечения являются "внешними".
3. Если порождающая последовательность удовлетворяет условию утверждения 3, то точки ортогонального пересечения с осью симметрии ОУ есть перицентры согласующих гипербол, т.е. являются "внутренними".
4. Если порождающая последовательность удовлетворяет условию утверждения 4 и если число дуг последовательности
а) кратно 4, то пары точек ортогонального пересечения с осями симметрии О
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.