научная статья по теме СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩЕГО СОСТОЯНИЯ ПОЛЯРИЗУЮЩЕЙСЯ ЧАСТИЦЫ В КУЛОНОВСКОМ ПОТЕНЦИАЛЕ Математика

Текст научной статьи на тему «СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩЕГО СОСТОЯНИЯ ПОЛЯРИЗУЮЩЕЙСЯ ЧАСТИЦЫ В КУЛОНОВСКОМ ПОТЕНЦИАЛЕ»

КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА

У V 004.421.6

СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩЕГО СОСТОЯНИЯ ПОЛЯРИЗУЮЩЕЙСЯ ЧАСТИЦЫ В КУЛОНОВСКОМ ПОТЕНЦИАЛЕ

© 2014 г. В.М. Редьков*, A.B. Чичурин**,

* Институт физики им. Б. И. Степанова, Национальная академия наук Беларуси 220072 Минск, проспект Независимости, 68 **КУЛ им. Яна Павла II Люблин, Польша, ул. Константынув 1Н, 20-708 E-mail: redkov@dragon.bas-net.by, achichurin@gmail.com Поступила в редакцию 02.09.2013

В статье обсуждаются методы решения дифференциального уравнения, описывающего волновые функции частицы с поляризуемостью в потенциале Кулона. Находятся коэффициентные соотношения, при которых общее решение рассматриваемого уравнения удается найти в аналитической форме. Для нулевой поляризуемости приведено общее решение уравнения в специальных функциях, и для начальных значений параметра ] приведены графики соответствующих решений. Для ненулевой поляризуемости и приводящихся значений параметра уровня энергии с помощью численных методов и функциональных объектов типа В1:йегеп'йа111осЛ на достаточно больших промежутках изменения аргумента построены решения, обладающие требуемыми физическими свойствами для изменяющегося параметра ^ Статья содержит команды системы М аЬНетаЫеа, позволяющие проводить компьютерное исследование численными и аналитическими методами, а также осуществлять визуализацию получаемых решений.

1. ВВЕДЕНИЕ

Обобщенное уравнение Клейна-Фока-Гордона для скалярной заряженной частицы с дополнительной электромагнитной характеристикой -поляризуемостью было недавно рассмотрено в работе [1]; проблема свелась к анализу обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, которое в безразмерных единицах можно записать в виде:

d2 2 d , а.2

dP + 2 dr + (е + а )2 -1—

j(j + 1) , а2

+ а-г f = 0 ,

(1.1)

где j = 0,1,2,3,...; безразмерный параметр а связан с поляризуемостью частицы, а = r —

независимая переменная, обозначающая расстояние.

В работе [1] было показано, что уравнение (1.1) сводится к уравнению Гойна с четырьмя особыми точками [2, 3, 4]. Следует отметить, что уравнение типа Гойна все чаще встречается при анализе физических задач. За последние 20 лет количество физических задач, для анализа которых требуется привлечь специальные функции, определяемые этим уравнением, непрерывно растет. Однако для уравнения Гойна, в отличие от гипергеометрического уравнения, "нет явных выражений (по крайней мере в терминах гамма-функций) для матриц связи, связывающих решения, фиксированные в разных особых точках" [4].

Иногда удается переформулировать задачу в сторону упрощения и избежать работы с урав-

2

r

нением Гойна. Примерами таких задач являются следующие: атом водорода на основе уравнения Дирака в пространстве Минковского [5]; электромагнитные цилиндрические волны в пространствах Лобачевского и Римана [6]; частица со спином 1/2 в поле монопольного потенциала в пространстве де Ситтера [7]; электромагнитное поле в пространстве Лобачевского Нз [8]. В то же время часто мы не можем упростить задачу и поэтому требуется исследовать возникающее уравнение Гойна. К таким задачам следует отнести задачи: атом водорода в пространствах де Ситтера и анти де Ситтера [9]; электромагнитное поле в поле черной дыры Шварцшильда [10, 15]; паулиевская частица в кулоновском поле в пространствах Лобачевского и Римана [11]; частица со спином 1 в кулоновском поле [12]; потенциальная модель кваркония [13]; двухуровневая система Розена-Зенера [14]. Иногда дифференциальная система сводится к уравнению с числом особых точек большим, чем четыре. Примером является система, описывающая поведение атома водорода на основе уравнения Дирака в пространствах £3, Н3 [5]. Здесь возникает линейное дифференциальное уравнение второго порядка с шестью особыми точками.

В данной работе будем исследовать уравнение (1.1) с помощью метода, включающего в себя как аналитические преобразования, так и численное интегрирование. Первая задача будет состоять в отыскании частных решений, которые можно найти в аналитической форме. Наличие таких решений позволит легко проинтегрировать уравнение (1.1). В тех случаях, то есть при тех параметрических соотношениях, когда не удастся найти частных решений, проведем компьютерное численное интегрирование. Учтем, что при а = 0 решение уравнения (1.1) существует и может быть записано через специальные функции. Точка г = 0 является особой и, следовательно, не может быть выбрана в качестве начального значения аргумента при задании начальных условий. В связи с этим приводится процедура выбора начальных условий и поясняется физический смысл сделанного выбора. Поиск решения уравнения (1.1) на достаточно больших промежутках изменения переменной г при а = 0 осуществляется при использовании функциональной конструкции вида

£)щегеп^ащ00^ [18] 5 посредством которой можно представить решения линейных дифференциальных уравнений, а также с использованием собственно методов численного интегрирования.

2. КОЭФФИЦИЕНТЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ НАХОЖДЕНИЕ ТОЧНОГО ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ

Перепишем уравнение (1.1) в виде уравнения с полиномиальными коэффициентами

г4 /" + 2г3 /' + [а2а + г2 (а2 - 32 - +

+г4 (е2 - 1) + 2а г3е ] / = 0.

(2.1)

Отметим стандартные требования к решениям, описывающим связанные состояния квантово-механической системы

/(г) ^ 0 при г ^ 0, /(г) ^ 0 при г ^ то. (2.2)

Будем искать частное решение уравнения (2.1) в виде решения некоторого дифференциального уравнения первого порядка. Учитывая характер полиномиальности коэффициентов уравнения (2.1) будем искать частное решение у следующего неполного уравнения

/'(г) =

72 г2 + 71 г + 70

/(г),

(2.3)

где 72, 71, 7о - некоторые числовые коэффициенты. Отметим, что коэффициент в уравнении (2.3) представляет собой дробно-рациональную функцию, числитель и знаменатель которой являются многочленами второй

/1 (г)

волит нам найти второе частное решение (по крайней мере в квадратурах) [16] и записать общее решение уравнения (2.1).

Подставим соотношение (2.3) вместе с его производной в уравнение (2.1) и после преобразований получим следующую систему ограничений

а2 а + 7о

0, 27о71 = 0,

а2 + 72 + 71 + 27072 - 32 - 3 = 0, 2ае + 27172 + 272 = 0, 722 + е2 - 1 = 0.

(2.4)

2

г

Система (2.4) имеет шесть разных решений. Приведем здесь интересующие нас два решения, которые удовлетворяют условию а = 0:

72 = Т

70 = ±

а

\/а2 + 1

, 71 = 0,

^а^ГГ (а2 - 32 - 3)

а=

(а2 + 1) (а2 - 32 - 3)2

4а4 ,£

(2.5)

1

\/а2 + 1'

где верхний знак в дробях соответствует первому решению системы (2.4), в нижний второму.

Подставим величины, определенные соотношениями (2.5) для первого решения в уравнение (2.3). Проинтегрируем полученное уравнение и запишем его общее решение

/1 (г) = ехр

где С1 - произвольная постоянная. Полученное семейство функций (2.6) представляет собой од-нопараметричеекое семейство решений уравнения (2.1) вида

г4/" + 2г3/' +

3-е /

+

(а2 + 1) (а2 - з2 - з) 4а2

Л2

+ г2 (а2 - 32 - 3) +

+

а2 + 1

- 1 г4 +

2аг3

л/а2 + 1

/ = 0.

(2.7)

Второе частное решение уравнения (2.7) может быть найдено (см., например, [16]) в виде

/2(Г) =

= ехр

3 (3 + 1) - а4 + а2 (32 + з - 2г2 - 1)' 2а\/а2 + 1 г

ехр

1(з2+—т2-1)-М+1)\

ал/ а2 + 1г I

^г. (2.8)

Таким образом, найдена фундаментальная система решений /1 (г) /2(г) уравнения (2.7) и, следовательно, его общее решения может быть записано в виде

/ (г) = С1/1(г) + С2/2 (г),

(2.9)

где С1, С2 - произвольные постоянные. Чтобы выяснить поведение решения в граничных точках, построим графики трех частных решений, определяемых соотношением (2.9) (Рис. 1).

/ = С1/1(г), (2.6)

з2 + 3 + (з + з2 - 1 - 2г2)а2 - а4 2га\/1 + а2 '

Рис. 1.

Графики трех частных решений уравнения (2.1), полученные из общего решения (2.9) для приведеных значений С1, С2.

Приведем команды с помощью которых легко привести визуализацию функций, определяемых семейством (2.9). Выберем, например, значение з=1

ции /1 (ж) из формулы (2.6) и подинтегральную функцию из формулы (2.8)

Р = {а ^ 137, 3 ^ 1}; /] :=

а

а

= ехр

] :=

2 (32 + 3 - 2г2 - 1) + 3(3 + 1) -2а\/а2 + 1 г

«л/«2 + 1ж I

/.р;

ехр

ж2

/.р,

затем определим интеграл в формуле (2.8) как функцию $1 (при этом опция АссигасуСоа1 позволяет уменьшить время расчета, уменьшив точность вычислений до 3 значащих цифр)

$1[г_ТШтЬегС^] := NIntegrate[g[ж], {ж, 0, г},

АссигасуСоа1 ^ 3]

и функцию, отвечающую частному решению,

//

ем конкретные значения произвольных постоянных)

//[г_] := С1/[г] + С2/[г]$1[г]/.{с1 ^ 0,С2 ^ 103}.

Следующая переменная определяет таб-

лицу значений функции //[г] на промежутке

1

х

X

2

г

[10-30 , 500] с шагом, который здесь определен как 0.1 (может быть, при необходимости умень-

г

бранное здесь как 10-30) ///гв4 = ТаЬ1е[//[г]//Еуак^е, {г, 10-30,500,0.1}].

Визуализируя функцию, заданную таблицей с помощью команды ЫвЛшеРкЛ, построим график рассматриваемого частного решения.

Далее подставим величины, определенные соотношениями (2.5) для второго решения в уравнение (2.3). Проинтегрировав полученное уравнение, запишем его общее решение в виде (2.6), в котором функция /1(г) имеет вид

/1(г) = ехр ■

- а2 (32 + 3 - 2г2 - 1) - 32 - 3

2ал/ а2 + 1г

.

Уравнение (2.1) тогда примет вид г4/"(г) + 2г3/'(г)+

+(г2 (а2 - 32 - 3) -

(а2 + 1)(32 + 3)2 -

+

а2 + 1

1 г4

4а2 2аг3

Та^+г

+

)/ = 0. (2.11)

Второе частное решение /2(г) уравнения (2.11) найдем в виде

/2(г) =

/а4 - а2 (32 + 3 - 2г2 - 1) -3(3 + 1)\

ехр ---, - х

\ 2ал/а2 + 1г

-а4+а2(32+3-2т2-1)+^(^+1) \

^г. (2.12)

Общее решение уравнения (3.1) можно записать, используя конфлюэнтную гипергеометрическую функцию и и полиномы Лягерра Ь в виде

/(г)

Р1 =

= е-г/1—2г2 (Т-4«2+4^2+4^+1-1) х

х(С1 и(Р1, Р2, Р3) + С2Ь-2р11 (Р3)),

■ (-^2=1 + ^432 + 43 - 4а2 + 1 + 1)

Р2

= \/432 + 43 - 4а2 + 1 + 1,

Р3

= 2г\/ 1 - е2,

С1, С2 - произвольные постоянные. Из полученного общего решения выберем (руководствуясь физическими соображениями о связанных состояниях квантово-механической системы) решения, стремящиеся к нулю при г ^ 0 и г ^ то -они могут быть выражен

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»