научная статья по теме СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ИССЛЕДОВАНИЯХ ПРОБЛЕМЫ ТРЕХ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННЫМИ МАССАМИ Математика

Текст научной статьи на тему «СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ИССЛЕДОВАНИЯХ ПРОБЛЕМЫ ТРЕХ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННЫМИ МАССАМИ»

КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА

У л . .'< ,,

СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ИССЛЕДОВАНИЯХ ПРОБЛЕМЫ ТРЕХ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННЫМИ МАССАМИ*

© 2014 г. А. Н. Прокопеня 12, М. Дж. Минглибаев 3'4, Г. М. Маемерова 3

1 Варшавский университет естественных наук - SGGW, Польша 02-776 Варшава, ул. Новоурсыновска, 159 E-mail: alexander_prokopenya@sggw.pl 2 Инновационная Высшая школа Collegium Mazovia, Польша 08-110 Седльце, ул. Соколовска, 161 E-mail: prokopenya@brest.by

3

050040 Алматы, пр. аль-Фараби, 71 E-mail: mayemerova@gmail.com 4 Астрофизический институт им. В.Г. Фесенкова, Казахстан 050020 Алматы, Обсерватория, 23 E-mail: minglibayev@mail.ru Поступила в редакцию 18.09.2013

Рассматривается классическая задача трех тел с переменными массами в случае, когда массы всех трех тел системы изменяются изотропно. Получены уравнения движения системы в спекулирующих элементах апериодического движения по квазиконическому сечению и исследованы вековые возмущения орбитальных элементов системы. Обсуждается алгоритм вычисления вековой части возмущающей функции и получение дифференциальных уравнений, определяющих вековые возмущения орбитальных элементов. Все необходимые символьные вычисления выполняются с помощью системы компьютерной алгебры Mathematica.

1. ВВЕДЕНИЕ

Задача многих тел, сформулированная впервые И. Ньютоном, является базовой моделью небесной механики и имеет множество приложений (см., например, [1]). В рамках этой модели все небесные тела считаются материальными точками, движущимися под действием сил взаимного притяжения, определяемых законом всемирного тяготения. Однако и в такой упрощенной формулировке задача допускает построение общего решения в аналитической форме только в случае двух взаимодействующих тел.

Следует отметить, что реальные небесные те-

* Исследования, представленные в настоящей работе, были частично поддержаны грантом 0688/ГФ научно-технических программ и проектов Комитета науки МОН РК, 2012 - 2014 гг.

ла не являются стационарными и такие их параметры, как масса и размеры, а также форма и внутренняя структура, могут с течением времени изменяться (см. [2, 3]). Учет зависимости параметров системы от времени в задаче многих тел существенно усложняет модель и даже в случае двух взаимодействующих тел аналитическое решение уравнений движения может быть получено лишь в специальных случаях. В этой связи представляет интерес исследование влияния зависимости параметров системы от времени на интегрируемость уравнений движения, а также на получаемые решения. Простейшим примером такого рода является задача двух тел, в которой изменяется масса только одного их тел, а масса второго тела пренебрежимо мала (система типа Солнце-планета). Тогда удается найти законы изменения массы Солнца, для которых прибли-

51

4*

женное аналитическое решение задачи двух тел может быть получено, а также исследовать влияние таких изменений на движение планеты [4]. Отметим, что имеется много моделей изменения массы тел в задаче двух тел, хотя до сих пор точное решение задачи было получено Гельфга-том в двух случаях, а также в случае двух законов изменения массы, известных как законы Мещерского, обзор таких моделей можно найти, например, в [5, 6].

Как и в случае постоянных масс, на основе точных решений задачи двух тел переменной массы можно сформулировать ограниченную задачу трех тел (см., например, [7]). И хотя такая задача в общем случае является неин-тегрируемой, можно попробовать найти ее точные частные решения и исследовать влияние на эти решения изменений массы тел, применяя теорию возмущений [8], а также известные аналитические методы интегрирования уравнений движения небесной механики (см. [9]). Поскольку практическое применение этих методов связано с весьма громоздкими символьными вычислениями, требуется использование компьютеров и современных программных средств, таких как, например, система компьютерной алгебры МаШетаМса [10, 11]. В результате появляется возможность сформулировать и исследовать более сложные и реалистичные модели небесной механики.

Целью данной работы является описание основных этапов исследования проблемы трех тел с переменными массами, требующих громоздких символьных вычислений, а также получение дифференциальных уравнений, определяющих поведение вековых возмущений орбитальных элементов. На первом этапе уравнения движения системы приводятся к канонической форме и выделяются две невозмущенные задачи, для которых существуют точные решения, получаемые методом Гамильтона-Якоби. Далее описывается построение канонического преобразования, приводящего к новым каноническим переменным, известным как аналоги второй системы элементов Пуанкаре (см. [3]). В новых переменных получить общее решение уравнений движения также не представляется возможным, но появляется возможность исследования временной зависимости вековых возмущений орби-

тальных элементов в рамках теории возмущении с четырьмя малыми параметрами. В этой части работы подробно описывается весьма трудоемкая проблема вычисления разложения возмущающей функции по степеням малых параметров и выделение в ней вековой части с точностью до второго порядка по возмущениям включительно, что позволяет получить дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию вековых возмущений орбитальных элементов. Все вычисления выполняются в работе с помощью системы компьютерной алгебры МаШетаМса.

2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

Рассмотрим систему трех тел Ро,Р1,Р2, массы которых равны соответственно то = Шо(Ь), Ш\ = т\(Ь), т2 = т2(¿), притягивающих друг друга в соответствии с законом всемирного тяготения. Будем считать, что массы тел изменяются с течением времени изотропно, причем выполняются условия

т0 т 1 т 2 т0 т1 т2

(1)

где точка над символом означает полную производную соответствующей функции по времени. Предполагая, что тело Ро находится в начале координат, и используя относительные декартовы координаты Кг = (Хг, Уг, Zг), уравнения движе-Р1 , Р2

^ К'

Кг + С(то + тг) КЗ = , (2)

где

= С ^

ш,-

1 ХгХ, + УгУ, + ZiZ3

, I А К>3

А,, = \ (Х3 - Хг)2 + (У, - Уг)2 + - Zг)2 ,

Кг = Аг0 = ^Х2 + + Z2 , (г = 1, 2) ,

С

изотропное изменение масс тел не приводит к появлению реактивных сил и уравнения движения (2) имеют тот же вид, что и в задаче трех тел с постоянными массами (см. [1, 12]).

Поскольку уравнения движения (2) неинте-грируемы, для исследования динамики системы можно воспользоваться теорией возмущений, что предполагает редукцию уравнений (2) к двум возмущенным задачам двух тел, каждая из которых является интегрируемой в отсутствие возмущений. В работе [3] было показано, что задача двух тел с переменными массами имеет точное решение, описывающее апериодическое движение по квазиконическим сечениям, и такое решение может быть получено путем интегрирования соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби. Чтобы выделить две такие задачи в системе (2), требуется сначала перейти к координатам Якоби г1, г2, определяемым соотношениями

(см. [12])

fi = R1 , Г2 = R2 -

mi

m0 + m1"

R i

В якобиевых координатах уравнения (2) принимают вид

^¿П = gradr>. U , (i = 1,2)

(3)

= ^i(í) = ^2 = №(t) =

m0 + m1 m2(mo + mi)

mo + mi + m2 под действием сил, определяемых силовой функцией

U _ G( momi + mom2 + mimA V roi Г02 Г12 J '

где

r2i _ x2 + У2 + z2 _ r2 ' r2 _ x2 + y° + Z° '

Г°2 _ (X2 + ViXi)2 + (У2 + Viyi)2 + (Z2 + ViZi)2 , Г22 _ (X2 - VoXi)2 + (У2 - Voyi)2 + (Z2 - VoZi)2 ,

V0 =

Vi

mo(t)

mo(t) + mi(t) mi(t)

= const ,

= const .

Уравнения (3) можно записать в форме уравнений Лагранжа (см. [13]), если определить лагранжиан для каждой из приведенных масс в виде

ь = 1(х 2+у2 + ¿2) + к+

2

+2Y (x2 + У2 + z2)+ , (j = 1, 2) (4)

27j

(per)

где

L(Per) = - 2| (x2 + У! + z2) +

G /m0m2 mim2 m2(m0 + mi) + |

Г02 ri2 Г2 и введены обозначения

, (5)

и описывают движение двух тел с приведенными массами ^ и равными

m0mi

К = С(Ш0 + Ш1) , К = С(Ш0 + Ш1 + Ш2) . (6)

Непрерывные дважды дифференцируемые функции 7з = 7з (¿) будут определены позже из условия интегрируемости невозмущенных задач двух тел с переменными массами. Эти задачи определяются функциями Лагранжа (4) при условии Ь(рег) = 0 (см. [3]). Заметим, что добавление в Ь] выражений 73 (ж2 + у2 + ¿2)/(273-) и

г(рег)

их последующее вычитание в Ь] не приводит к изменению функций Ь] и требуется лишь для интегрируемости невозмущенных задач.

Аналогично случаю постоянных масс, когда интегрирование уравнений движения в задаче двух тел удобно выполнять в сферических координатах, введем квазисферические координаты Р3, , в], определяемые соотношениями

Xj = Yj Pj cos fj cos 6j , Vj = Yj Pj cos (j sin 6j ,

zj = Yj Pj sin (j . Тогда функции Лагранжа (4) примут вид

Yj Л , Yj W K

(7)

2

L = Pj + -т Pj +

Yj

Yi Pj

22

шо(£) + ш^)

Заметим, что в рассматриваемом случае введенные параметры ^о, VI не зависят от времени в силу соотношений (1).

+jj (( +cos2 (j 62 + j + L(per)

где

г(per) 1 2 1

L( ) = - 2 Yj Yj P2 +

j

С (т0т2 : т1т2

+— \

+

Ш2(Ш0 + Ш1)\

(9)

Г02 Г12 Г2

Определяя импульсы, канонически сопряжен ные координатам р,, —3, в,,

Р,

рз

дЬ, др3

ъ Рз +^3 Ъ р, , Р

¥3

дЬ,

дФ з

з

Р

дЬ

03

дв,

3 2 2 2л

3 = сов2 —з ч* ррз

,(0)

«■ ' для невозмущенных задач двух

переменными массами (полагаем Ьр^ = 0)

«Г

Р,

Р3 р3 + Р¥3 —3 + Рв 3 в3 - Ь 3

Р2 Р03

1 ( Р2 •

2, 1(Р'3 - Ъ^зрз)2 + + р2 сов2 - 3

-1(72 + !з!3)р2 - Кз

(3 = 1, 2) . (10)

Тогда уравнения движения для невозмущенных задач двух тел, записанные в канонической форме,

д

Р 3 =

(0) 3

дРр д

Р

д

(0)

- 3 =

рз (0) з

рз

д

дР,

Р,

д

(0)

,

в,=

,

д (0)

дР0

03

д—3 д «(0) ~дв~

(11)

допускают построение общего решения методом Гамильтона-Якоби, если функции выбрать

в виде

Шо(^) + Ш1 (¿0)

=

Шо(^) + Ш1 (¿о) + Ш2^о)

(12)

Шо(1) + Ш1(£) + Ш2 (¿)

где ¿о _ начальный момент времени (см. [3]).

Получаемые в переменных р ,, — ,, в, невозмущенные траектории движения двух тел с приведенными массами ^ь определяемые уравнениями (11), представляют собой конические сечения, уравнения которых имеют вид

Р3

Рз

1 + е, сов и,

(3 = 1, 2)

(13)

и при значениях эксцен

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»