КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
У л . .'< ,,
СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ИССЛЕДОВАНИЯХ ПРОБЛЕМЫ ТРЕХ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННЫМИ МАССАМИ*
© 2014 г. А. Н. Прокопеня 12, М. Дж. Минглибаев 3'4, Г. М. Маемерова 3
1 Варшавский университет естественных наук - SGGW, Польша 02-776 Варшава, ул. Новоурсыновска, 159 E-mail: alexander_prokopenya@sggw.pl 2 Инновационная Высшая школа Collegium Mazovia, Польша 08-110 Седльце, ул. Соколовска, 161 E-mail: prokopenya@brest.by
3
050040 Алматы, пр. аль-Фараби, 71 E-mail: mayemerova@gmail.com 4 Астрофизический институт им. В.Г. Фесенкова, Казахстан 050020 Алматы, Обсерватория, 23 E-mail: minglibayev@mail.ru Поступила в редакцию 18.09.2013
Рассматривается классическая задача трех тел с переменными массами в случае, когда массы всех трех тел системы изменяются изотропно. Получены уравнения движения системы в спекулирующих элементах апериодического движения по квазиконическому сечению и исследованы вековые возмущения орбитальных элементов системы. Обсуждается алгоритм вычисления вековой части возмущающей функции и получение дифференциальных уравнений, определяющих вековые возмущения орбитальных элементов. Все необходимые символьные вычисления выполняются с помощью системы компьютерной алгебры Mathematica.
1. ВВЕДЕНИЕ
Задача многих тел, сформулированная впервые И. Ньютоном, является базовой моделью небесной механики и имеет множество приложений (см., например, [1]). В рамках этой модели все небесные тела считаются материальными точками, движущимися под действием сил взаимного притяжения, определяемых законом всемирного тяготения. Однако и в такой упрощенной формулировке задача допускает построение общего решения в аналитической форме только в случае двух взаимодействующих тел.
Следует отметить, что реальные небесные те-
* Исследования, представленные в настоящей работе, были частично поддержаны грантом 0688/ГФ научно-технических программ и проектов Комитета науки МОН РК, 2012 - 2014 гг.
ла не являются стационарными и такие их параметры, как масса и размеры, а также форма и внутренняя структура, могут с течением времени изменяться (см. [2, 3]). Учет зависимости параметров системы от времени в задаче многих тел существенно усложняет модель и даже в случае двух взаимодействующих тел аналитическое решение уравнений движения может быть получено лишь в специальных случаях. В этой связи представляет интерес исследование влияния зависимости параметров системы от времени на интегрируемость уравнений движения, а также на получаемые решения. Простейшим примером такого рода является задача двух тел, в которой изменяется масса только одного их тел, а масса второго тела пренебрежимо мала (система типа Солнце-планета). Тогда удается найти законы изменения массы Солнца, для которых прибли-
51
4*
женное аналитическое решение задачи двух тел может быть получено, а также исследовать влияние таких изменений на движение планеты [4]. Отметим, что имеется много моделей изменения массы тел в задаче двух тел, хотя до сих пор точное решение задачи было получено Гельфга-том в двух случаях, а также в случае двух законов изменения массы, известных как законы Мещерского, обзор таких моделей можно найти, например, в [5, 6].
Как и в случае постоянных масс, на основе точных решений задачи двух тел переменной массы можно сформулировать ограниченную задачу трех тел (см., например, [7]). И хотя такая задача в общем случае является неин-тегрируемой, можно попробовать найти ее точные частные решения и исследовать влияние на эти решения изменений массы тел, применяя теорию возмущений [8], а также известные аналитические методы интегрирования уравнений движения небесной механики (см. [9]). Поскольку практическое применение этих методов связано с весьма громоздкими символьными вычислениями, требуется использование компьютеров и современных программных средств, таких как, например, система компьютерной алгебры МаШетаМса [10, 11]. В результате появляется возможность сформулировать и исследовать более сложные и реалистичные модели небесной механики.
Целью данной работы является описание основных этапов исследования проблемы трех тел с переменными массами, требующих громоздких символьных вычислений, а также получение дифференциальных уравнений, определяющих поведение вековых возмущений орбитальных элементов. На первом этапе уравнения движения системы приводятся к канонической форме и выделяются две невозмущенные задачи, для которых существуют точные решения, получаемые методом Гамильтона-Якоби. Далее описывается построение канонического преобразования, приводящего к новым каноническим переменным, известным как аналоги второй системы элементов Пуанкаре (см. [3]). В новых переменных получить общее решение уравнений движения также не представляется возможным, но появляется возможность исследования временной зависимости вековых возмущений орби-
тальных элементов в рамках теории возмущении с четырьмя малыми параметрами. В этой части работы подробно описывается весьма трудоемкая проблема вычисления разложения возмущающей функции по степеням малых параметров и выделение в ней вековой части с точностью до второго порядка по возмущениям включительно, что позволяет получить дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию вековых возмущений орбитальных элементов. Все вычисления выполняются в работе с помощью системы компьютерной алгебры МаШетаМса.
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Рассмотрим систему трех тел Ро,Р1,Р2, массы которых равны соответственно то = Шо(Ь), Ш\ = т\(Ь), т2 = т2(¿), притягивающих друг друга в соответствии с законом всемирного тяготения. Будем считать, что массы тел изменяются с течением времени изотропно, причем выполняются условия
т0 т 1 т 2 т0 т1 т2
(1)
где точка над символом означает полную производную соответствующей функции по времени. Предполагая, что тело Ро находится в начале координат, и используя относительные декартовы координаты Кг = (Хг, Уг, Zг), уравнения движе-Р1 , Р2
^ К'
Кг + С(то + тг) КЗ = , (2)
где
= С ^
ш,-
1 ХгХ, + УгУ, + ZiZ3
, I А К>3
А,, = \ (Х3 - Хг)2 + (У, - Уг)2 + - Zг)2 ,
Кг = Аг0 = ^Х2 + + Z2 , (г = 1, 2) ,
С
изотропное изменение масс тел не приводит к появлению реактивных сил и уравнения движения (2) имеют тот же вид, что и в задаче трех тел с постоянными массами (см. [1, 12]).
Поскольку уравнения движения (2) неинте-грируемы, для исследования динамики системы можно воспользоваться теорией возмущений, что предполагает редукцию уравнений (2) к двум возмущенным задачам двух тел, каждая из которых является интегрируемой в отсутствие возмущений. В работе [3] было показано, что задача двух тел с переменными массами имеет точное решение, описывающее апериодическое движение по квазиконическим сечениям, и такое решение может быть получено путем интегрирования соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби. Чтобы выделить две такие задачи в системе (2), требуется сначала перейти к координатам Якоби г1, г2, определяемым соотношениями
(см. [12])
fi = R1 , Г2 = R2 -
mi
m0 + m1"
R i
В якобиевых координатах уравнения (2) принимают вид
^¿П = gradr>. U , (i = 1,2)
(3)
= ^i(í) = ^2 = №(t) =
m0 + m1 m2(mo + mi)
mo + mi + m2 под действием сил, определяемых силовой функцией
U _ G( momi + mom2 + mimA V roi Г02 Г12 J '
где
r2i _ x2 + У2 + z2 _ r2 ' r2 _ x2 + y° + Z° '
Г°2 _ (X2 + ViXi)2 + (У2 + Viyi)2 + (Z2 + ViZi)2 , Г22 _ (X2 - VoXi)2 + (У2 - Voyi)2 + (Z2 - VoZi)2 ,
V0 =
Vi
mo(t)
mo(t) + mi(t) mi(t)
= const ,
= const .
Уравнения (3) можно записать в форме уравнений Лагранжа (см. [13]), если определить лагранжиан для каждой из приведенных масс в виде
ь = 1(х 2+у2 + ¿2) + к+
2
+2Y (x2 + У2 + z2)+ , (j = 1, 2) (4)
27j
(per)
где
L(Per) = - 2| (x2 + У! + z2) +
G /m0m2 mim2 m2(m0 + mi) + |
Г02 ri2 Г2 и введены обозначения
, (5)
и описывают движение двух тел с приведенными массами ^ и равными
m0mi
К = С(Ш0 + Ш1) , К = С(Ш0 + Ш1 + Ш2) . (6)
Непрерывные дважды дифференцируемые функции 7з = 7з (¿) будут определены позже из условия интегрируемости невозмущенных задач двух тел с переменными массами. Эти задачи определяются функциями Лагранжа (4) при условии Ь(рег) = 0 (см. [3]). Заметим, что добавление в Ь] выражений 73 (ж2 + у2 + ¿2)/(273-) и
г(рег)
их последующее вычитание в Ь] не приводит к изменению функций Ь] и требуется лишь для интегрируемости невозмущенных задач.
Аналогично случаю постоянных масс, когда интегрирование уравнений движения в задаче двух тел удобно выполнять в сферических координатах, введем квазисферические координаты Р3, , в], определяемые соотношениями
Xj = Yj Pj cos fj cos 6j , Vj = Yj Pj cos (j sin 6j ,
zj = Yj Pj sin (j . Тогда функции Лагранжа (4) примут вид
Yj Л , Yj W K
(7)
2
L = Pj + -т Pj +
Yj
Yi Pj
22
шо(£) + ш^)
Заметим, что в рассматриваемом случае введенные параметры ^о, VI не зависят от времени в силу соотношений (1).
+jj (( +cos2 (j 62 + j + L(per)
где
г(per) 1 2 1
L( ) = - 2 Yj Yj P2 +
j
С (т0т2 : т1т2
+— \
+
Ш2(Ш0 + Ш1)\
(9)
Г02 Г12 Г2
Определяя импульсы, канонически сопряжен ные координатам р,, —3, в,,
Р,
рз
дЬ, др3
ъ Рз +^3 Ъ р, , Р
¥3
дЬ,
дФ з
з
Р
дЬ
03
дв,
3 2 2 2л
3 = сов2 —з ч* ррз
,(0)
«■ ' для невозмущенных задач двух
переменными массами (полагаем Ьр^ = 0)
«Г
Р,
Р3 р3 + Р¥3 —3 + Рв 3 в3 - Ь 3
Р2 Р03
1 ( Р2 •
2, 1(Р'3 - Ъ^зрз)2 + + р2 сов2 - 3
-1(72 + !з!3)р2 - Кз
(3 = 1, 2) . (10)
Тогда уравнения движения для невозмущенных задач двух тел, записанные в канонической форме,
д
Р 3 =
(0) 3
дРр д
Р
д
(0)
- 3 =
рз (0) з
рз
д
дР,
Р,
д
(0)
,
в,=
,
д (0)
дР0
03
д—3 д «(0) ~дв~
(11)
допускают построение общего решения методом Гамильтона-Якоби, если функции выбрать
в виде
Шо(^) + Ш1 (¿0)
=
Шо(^) + Ш1 (¿о) + Ш2^о)
(12)
Шо(1) + Ш1(£) + Ш2 (¿)
где ¿о _ начальный момент времени (см. [3]).
Получаемые в переменных р ,, — ,, в, невозмущенные траектории движения двух тел с приведенными массами ^ь определяемые уравнениями (11), представляют собой конические сечения, уравнения которых имеют вид
Р3
Рз
1 + е, сов и,
(3 = 1, 2)
(13)
и при значениях эксцен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.