ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 458, № 4, с. 459-464
= ГЕОФИЗИКА
УДК 550.831
СИНТЕЗ ДОПУСТИМЫХ РЕШЕНИЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ПРИ ПОДГОТОВКЕ РЕКОМЕНДАЦИЙ ДЛЯ ЗАВЕРКИ ГРАВИТАЦИОННЫХ АНОМАЛИЙ © 2014 г. П. И. Балк, А. С. Долгаль
Представлено академиком Г.С. Голицыным 06.08.2013 г. Поступило 06.08.2013 г.
Б01: 10.7868/80869565214280159
Наиболее ответственным и сложным этапом гравиметрических исследований территорий, перспективных на обнаружение тех или иных полезных ископаемых, является подготовка рекомендаций для заверки выявленных аномалий бурением. Недостатком основных алгоритмов решения обратных задач, используемых при оценке пространственного положения и глубин проектируемых скважин, является детерминистская трактовка результатов интерпретации без какой-либо оценки их достоверности. По этой причине заметное место в решении проблемы отводится простой интуиции и опыту интерпретатора.
Алгоритмы решения обратных задач гравираз-ведки, задействованные на стадии поисковых и разведочных работ, можно лишь тогда считать состоятельными, когда задание точек заложения скважин сопровождается оценкой вероятности получения желаемого результата [1]. Существует точка зрения, согласно которой построение таких оценок является прерогативой информационно-статистических методов. Но интерпретатор не располагает достаточно полной информацией о статистических параметрах помех в измерениях, на которых базируются указанные методы. Кроме того, известные информационно-статистические методы решения обратных задач не расчитаны на использование той априорной информации о геометрии возмущающих тел и их положении в пространстве, которой обычно располагает интерпретатор. Ее учет потребовал бы пересчета функции плотности вероятностей в условную плотность, что не является простой задачей.
Интерес представляет попытка привлечения идей и методов детерминистского подхода к решению задачи заверки гравитационных анома-
Горный институт
Уральского отделения Российской Академии наук, Пермь
лий. Объективной предпосылкой к тому является возможность частично восполнить недостающую информацию о вероятностных характеристиках помех измерений результатами статистической обработки некоторого репрезентативного множества допустимых вариантов интерпретации.
В работе вводится функция ¥ (X, Н), названная функцией обнаружения, по значениям которой можно выбрать местоположение (точку X) и глубину г = Н задания заверочной скважины и оценить вероятность подсечения этой скважиной кровли возмущающего объекта. Функция ¥ (X, Н) — это по сути первая попытка формализованного, научно обоснованного подхода к выработке рекомендаций по заверке гравитационных аномалий.
Алгоритм построения функции ¥ (X, Н) раскроем применительно к постановке, в которой аномалия А^ обусловлена массами, распределенными по парциальным носителям §г с Я3 с плотностями 5г(X), X е §г, г = 1,2,...,п. Информация о помехе в измерениях Д^ сводится к оценке < б ее нормы, что обычно отвечает реальным условиям геофизических исследований. Допускаются любые ограничения на форму, размеры и положение аномалиеобразующих тел. Благодаря интегральной природе гравитационного поля существуют эффективные плотности 5г, замена которыми переменных плотностей 5г (X) не оказывает заметного влияния на поле. Обычно можно указать интервалы, содержащие 5г. Исключив из постановки переменные плотности, играющие здесь роль мешающих параметров, задачу можно существенно упростить [2].
Из-за дискретности измерений информационно обеспеченными являются лишь конечно-параметрические модели [3]. Основное (аппроксимативное) требование к модельному классу М носителей состоит в существовании некоторого элемента 0 = {0102,...,0п} е М, назовем его
опорным, расхождением которого с истинным носителем Б = {§1,§2,...,§„} можно пренебречь и который можно в дальнейшем отождествлять с истинным носителем масс Б. Подчеркнем, что важен лишь факт существования такого элемента. Теперь с помощью функции ¥ подлежит оценке вероятность подсечения масс, распределенных не по исходному носителю Б, а по неизвестному опорному модельному носителю П, который условно считается истинным. По умолчанию подобная подмена предусмотрена в большинстве известных алгоритмов решения обратной задачи.
Оперировать с вероятностями удобнее, если множество возможных вариантов интерпретации конечно. Договоримся, что представителями отдельных множеств допустимых решений, попарно незначительно отличающихся друг от друга, могут выступать их отдельные элементы. Дискретизация множества допустимых решений О происходит автоматически в случае сеточных модельных классов М. В этом случае парциальными носителями Ог являются объединения конечного числа элементов Та (геометрических тел), образующих замощение Т достаточно обширной части Б пространства, заведомо содержащей источники аномалии. Обычно достаточно искать приближения О* к неизвестным носителям Бг (по сути к Ог) в виде объединения конгруэнтных прямоугольных призм Та заданного размера. Для нумерации их удобно воспользоваться тройной индексацией — Т,, где индекс к растет с увеличением глубины погружения тела Т, .к.
В основе конструкции функции обнаружения ¥(X, к) и собственно алгоритма ее построения лежит простая, но как оказалось, достаточно эффективная идея, суть которой состоит в следующем. Если любое из допустимых решений в равной степени претендует на то, что оно является истинным носителем О, то чем больше допустимых модельных носителей содержат элемент замощения Т,.к, тем предпочтительнее гипотеза, что названный элемент является и фрагментом носителя О. Следовательно, чем большее число носителей О* содержат хотя бы один элемент Т, у>, 5 < к, расположенный выше элемента Т,.к (пусть N — число таких носителей), тем более обоснованным является допущение, что скважина, пробуренная в область Т ¡к, подсечет возмущающий объект. За оценку искомой вероятности возьмем отношение N к общему числу N допустимых носителей.
Если даже множество О конечно, найти все решения, входящие в него, не представляется возможным. Вопрос стоит так: можно ли построить
сравнительно узкое репрезентативное подмножество 0* с Q, по которому оценка искомой вероятности незначительно отличалась бы от той, которая теоретически могла быть построена по всему множеству О. Пусть N — число найденных интерпретатором допустимых решений, объединяемых
в множество О*, а — число всех тех допустимых носителей О* из множества О*, которые имеют общие точки хотя бы с одной областью Т,у>, 5 < к (пересекаются хотя бы с одной из них). Тогда за оценку вероятности подсечения вертикальной скважиной, пробуренной в точку области Т,.к, можно взять значение функции обнаружения
¥(Т, ,к) =
N
(1)
Степень репрезентативности используемого подмножества О* — это мера близости значения
N*
¥(Т ¡к) к теоретическому значению Р(Т , к) = —.
N
Спрашивается, можно ли обеспечить такую близость, располагая множеством достаточно малой мощности |0*| = N *. Проверить это можно лишь на простых примерах, в которых удается построить все множество О или достаточно плотное в О подмножество. Априори ясно — определяющее значение имеет даже не столько число N найденных решений, сколько соблюдение условия относительно равномерного распределения их в пределах всего множества О. Без определенной эвристики здесь не обойтись.
По результатам численного эксперимента успешной зарекомендовала себя гипотеза, что надежная оценка типа (1) может быть построена на базе семейства допустимых решений О*, репрезентативного по отношению к задаче, "близкой" к изучаемой. Установлено, что такой "близкой" проблемой является уже изученная задача оценивания вероятностей р1 ¡к события Т,с О (Т с Б) по шкале, имеющей три градации: р,= 0 (часть пространства Т к находится вне объема Б, занятого возмущающими массами), р,.к е (0,1) (информации недостаточно, чтобы однозначно опознать элемент пространства Т. к как фрагмент носителя Б) и р;. .,к = 1 (при адекватности допущений элемент Т,.к есть часть носителя).
Алгоритм построения семейства О* заключается в следующем. Пусть О0 — исходная информация О, исключая ограничение максимально допустимое значение невязки наблюденного и подобранного полей. Для каждого элемента Т(. к с Б решим условно экстремальную задачу: минимизировать невязку Цдд - ДgМ)|| при соблюдении ограничений, продиктованных ин-
- Дg < е 0 на
формацией О' и требованием Т с О. Если достигнутый минимум невязки не превысил е0, то построенный носитель О* принадлежит одному из допустимых решений обратной задачи. Найденные допустимые носители и составляют множество Q*. Объединение Б1 найденных носителей О* е Q* есть область, целиком содержащая в себе истинный носитель О масс [4] (р,= 0 для всех Т, -к <£. Д). Если осуществить поиск допустимых носителей но теперь уже при условиях
Т,-к <£. (и пополнить ими множество Q*), то их пересечение Б2 является фрагментом носителя О (Р{-,к = 1 для всех Т- к с Б2 и 0 < р,- к < 1 для всех Т,к с Б1 \ Б2). Ограничения Т, - к с О для каждого элемента замощения Т(- к области Б автоматически обеспечивает поиск допустимых решений в различных "участках" области Б, что и предусмотрено эвристикой. Касаясь "близости" задачи построения пары (Д, Б2), по отношению к которой построенное выше множество 0* репрезентативно, достаточно сказать, что, располагая этой парой, можно дать значение функции обнаружения ¥(Т-кк) для отдельных элементов замощения. Так, для всех элементов Т(]к с Б2 (а также расположенных под элементами из Б2) ее значение равно 1. Собственно поиск допустимых решений обратной задачи осуществим с помощью обобще-ных модификаций [2] монтажного алгоритма В.Н. Страхова [5].
При оценке эффективности алгоритма по результатам численных расчетов следует принять во внимание специфику вероятностной трактовки результатов интерпретации. Если какие-то, пусть даже прогнозируемые с достаточно высокой вероятностью р, свойства распределения возмущающих масс не подтвердились, то неудачу оправдывает вероятность 1 - р противоположного исхода.
Убедимся вначале в плодотворности самой идеи. Рассмотрим пример, гд
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.