КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2013, том 51, № 3, с. 204-213
УДК 629.78
СИНТЕЗ КОМБИНИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ПРЕЦИЗИОННОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ОБСЕРВАТОРИИ "СПЕКТР-УФ". I
© 2013 г. И. В. Бычков1, В. А. Воронов1, Э. И. Дружинин1, Р. И. Козлов1, С. А. Ульянов1,
Б. Б. Беляев2, П. П. Телепнев2, А. И. Ульяшин2
Институт динамики систем и теории управления СО РАН, г. Иркутск 2НПО им. С.А. Лавочкина, г. Химки Поступила в редакцию 27.09.2011 г.
Работа представляет первую часть результатов поисковых исследований по разработке комбинированной системы высокоточной стабилизации оптического телескопа для проектируемой международной обсерватории "Спектр-УФ", предназначенной для изучения звезд в УФ-диапазоне. Описан используемый в этих исследованиях новый прямой метод расчета программных управлений. Приводятся результаты численных экспериментов.
Б01: 10.7868/80023420613030023
ВВЕДЕНИЕ
Проектируемая высокоорбитальная обсерватория "Спектр-УФ" представляет собой конструкцию, несущей частью которой является служебный модуль, с закрепленными на нем: двигательной установкой, нежесткими панелями солнечных батарей, остронаправленной антенной, бортовым комплексом управления, радиокомплексом, системой электроснабжения и в качестве полезной нагрузки — нежестким телескопом, предназначенным для изучения звезд в УФ-диапазоне.
В поисковых исследованиях изучалась возможность построения высокоточной комбинированной системы стабилизации оптической оси орбитального автоматического телескопа, неподвижного в инерциальной системе, имеющей начало в центре масс телескопа. Центр масс движется по геостационарной орбите (~36000 км). Рассмотрен вариант системы управления (СУ), использующей в качестве исполнительных органов (ИО) четыре инерционных маховика.
Будучи решениями краевых двухточечных задач (или их последовательности, что используется при решении маршрутных задач), "прямые" управления чувствительны к ошибкам краевых условий и поэтому не могут обеспечить высокую точность в задачах стабилизации на значительных промежутках времени. В связи с этим для достижения необходимой высокой точности последующей стабилизации по среднеквадратичному отклонению (3 • 10-2 угл. сек) исследуется возможность построения комбинированной СУ.
Эта система управления включает разомкнутый и замкнутый контуры.
Разомкнутый контур реализует робастное программное управление, обеспечивающее высокоточное втягивание оптической оси из начального состояния в область притяжения законов стабилизации "по отклонению". Замкнутый контур реализует закон управления по измеренному текущему состоянию объекта.
1. ПРЯМОЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПРОГРАММНЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ
РАБОЧИМИ РЕЖИМАМИ ТЕЛЕСКОПА
Прямая технология расчета программных управлений для гиросиловых исполнительных органов (ИО) была создана в работах [1—4]. Для программных управлений, вычисленных прямым методом почти всюду в области возможных начальных состояний гиросистемы, проблема ее сингулярных состояний разрешается автоматически — без необходимости вычислять в реальном времени традиционные дополнительные управления, выводящие гиросистему из этих особых состояний. Если же в начальный момент гироси-стема оказывается в множестве меры нуль сингулярных состояний (эти состояния образуют "тощее" алгебраическое многообразие), то для ее вывода из этого состояния достаточно малого ее "шевеления".
В случае использования в качестве исполнительных органов системы инерционных маховиков, не имеющих особых состояний, прямой алгоритм автоматически решает проблему эффективного распределения управления (производной суммарного момента относительных количеств движения маховиков) по отдельным маховикам.
В случае использования маховиков в избыточном количестве (так, для "Спектра-УФ" предусмотрены четыре маховика) это — нетривиальная проблема.
В этом разделе конспективно (со ссылками на работы, содержащие доказательства) приводятся теоретические сведения и комментарии, необходимые для понимания используемого здесь прямого метода расчета программных управлений для нелинейных систем.
2. ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ДВУХТОЧЕЧНОЙ ЗАДАЧИ И ПРЯМОЙ МЕТОД ЕЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С УПРАВЛЕНИЕМ
Пусть математическая модель объекта управления представлена следующей дифференциальной системой [3]:
х = /(х, и),
(1)
м*(-) е и, переводящее объект по траектории х(-) системы (1) из состояния х0 в состояние х.
Основу прямого метода решения нелинейных краевых двухточечных задач составляет процедура последовательной линеаризации системы (1). Эта процедура описывается следующей системой рекуррентных уравнений для определения (5 + 1)-го приближения и+1(-) к искомому решению «*(•):
х* = /(х, и ), х*( ) = Хо,
хМ1 = /(х, и ) + (д//дх)*(хМ1 + х*) + + (д//ди)*(и +1 - и ),
(2)
(3)
в пространстве состояний. Здесь х е V с Я" — вектор состояния, или фазовый вектор системы; V— некоторая область пространства состояния Я". Управление и(-) — элемент пространства измеримых ограниченных функций П, определенных на отрезке [?ь ?2] с Я", со значениями и(?) в некоторой замкнутой ограниченной области и с Ят. Функция/: Vх и —»- Я" по предположению определена и непрерывна вместе с частными производными д/(х и) и д/(х' и - по совокупности ком-Ух(- д иг
понент векторов х и и в некоторой открытой области Б ^ V х и пространства Я" х Ят. При этих условиях для любого и(-) е П найдутся интервал I = (?а, 4,) с [?1, ?2] с Я и открытое множество Г с V,
где для начального условия ( {0, х0) е I х Г и управления и(?) е иV? е (?а, ) существует, непрерывно и единственно решение (в смысле Каратеодори) х(?) = х(?; х'0, и(?)) задачи Коши х = /(х, и(?)),
х( ^ = хо.
Фазовой траекторией системы (1) является образ х(^) = х([?0, /]) с Я" некоторого промежутка Т= [?0, /] с (?а, в пространстве состояний (фазовом пространстве) Я", где дифференцируемое почти всюду на Т отображение х : Т—»- Vесть решение системы (1). Точку фазовой траектории х(), отвечающую моменту времени ? е Т, будем обозначать х(?).
Двухточечную краевую задачу для системы (1) сформулируем следующим образом:
Задача 1. Для заданной динамической модели (1), промежутка Т = [?0, /] и краевых значений х(?0) = = х0, х(/) = X/ найти программное управление
хМ1 (^) = хо, хМ1 (/) = х/, * = 0, 1, 2, .... (4)
Здесь обозначено: х = Х(0 — решение задачи Коши для нелинейной модели при и = и^), найденное на 5-ой итерации; начальное приближение и°(-) выбирается до начала вычислений; через
* +1 хм
обозначен вектор состояния линейной дифференциальной системы (3), для которой методом Н.Н. Красовского [11] в предположении полной управляемости системы (3) вычисляется точное решение и5 + 1 = и5 + 1(^) линейной краевой задачи с условиями (4); это управление принимается за приближение на (ж +1) -ой итерации к искомому решению Задачи 1.1; (д//дх)5 , (д//ди)5 — якобианы, вычисленные на паре (д//дх)5, (д//ди)5.
Было показано, что если последовательность приближений и5(-) равномерно сходится к некоторому пределу и*(-), то это предельное управление является искомым решением Задачи 1 [1].
Замечание. Уравнение (3) неоднородно, и в исходном виде, как и все неоднородные системы (включая и алгебраические), плохо обусловлено. Поэтому прежде чем начинать итерационные вы-
<-. * +1
числения, следует перейти к поправкам охМ =
= х
..* +1 М
— X, 5и5 + 1 = и5 + 1 — и5, приведя уравнение к хорошо обусловленному однородному виду.
После этого можно переходить к вычислению этих поправок и последующего приближения и5 + 1 = и5 + 0и5 + 1. С позиции обеспечения хорошей обусловленности необходимо анализировать все шаги в процессе численной реализации пред ставленного алгоритма (в этом анализе полезным будет руководство [12]).
Строгое доказательство сходимости итерационного процесса проводилось эквивалентным сведением предложенной итерационной схемы (2)—(4) (идейно идентичной методу касательных Ньютона решения нелинейных уравнений) к неко-
торому обобщению разработанного Канторовичем "операторного аналога" метода Ньютона [2].
3. ПРЯМОЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
По доказанному в [2], выбор начального управления, обеспечивающий вполне управляемость первой линеаризованной модели, вместе с другими достаточными условиями (см. ниже Теорему 1) гарантирует и осуществимость, и сходимость описанного итерационного процесса.
Опишем прямой алгоритм расчета закона программного правления:
— вычисляется решение х* (•) для задачи Коши для системы х = /(хи*), х*(?0) = х0, I е [?0, /] (при * = 0 начальное приближение и0(^) — априори выбранная непрерывная функция; на паре {х®(-), и*0)} вычисляются якобианы (д//дх)*, (д//ди)*; находится переходная матрица ?0], I е [?0, /] системы I = (д//дх)*г; матрица
Qs = X[ ^(дЭ, (!) :Х:[ '»т] йт, (5)
вектор
с: = -х ('/) + ]Х[/ т](д//ди)У(т)йт; (6)
'0
вычисляется управление и* + '(?) = = (д//ди)':Х:[Т,']Q-1c:, I е [?0, 7]; решается задача Коши для исходной нелинейной системы (1) при и(-) = и* + '(•), и вычисляется отклонение траектории х*+1(^) в конечный момент времени: |х+1(7) — х7||.
До тех пор пока ||х* + '(7) — х7|| < ||х*(7) — х7||, но ||х* + 1(7) — х^ > 6, вычисленные управление и* + 1(•) и траектория х* + 1(^) принимаются за приближения к искомым управлению и*(-) и траектории х*(-) соответственно. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность приближения ||х*(7) — Хт]| < 6.
Для запуска итерационного процесса необходимо выбрать начальное управление и°(-) так, чтобы соответствующая ему линейная краевая задача была разрешима. Это будет гарантировано при условии полной управляемости линеаризованной на паре {и°(-), х0(^)}[ системы (1).
Присутствие эвристического выбора начального управления, характерно для всех итерационных методов. Сотни контрольных расчетов с широко распространенной моделью динамики жесткого телескопа — неавтономного гиростата, а также расчеты с многомерной моделью нежестко-
го телескопа продемонстрировали, особое свойство нулевого управления (управление при постоянных угловых скоростях всех маховиков или при нулевых значениях скоростей прокачки гироуз-лов силовых гироскопов): выбранно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.