Автоматика и телемеханика, Л- 3, 2007
Адаптивные и робастные системы
PACS 07.05.Dz
© 2007 г. E.H. ГРЯЗИНА, В.Т. ПОЛЯК, д-р техн. наук, A.A. ТРЕМВА
(Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, Москва)
СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ НИЗКОГО ПОРЯДКА ПО КРИТЕРИЮ И^-. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД
Рассматривается задача описания всех стабилизирующих регуляторов заданной структуры (например, ПИД-регуляторов), удовлетворяющих критерию Регуляторы семейства определяются параметрами к, и в пространстве параметров выделяется область, соответствующая требуемым критериям. Предлагаются два подхода: в первом искомая область представляется как пересечение допустимых множеств, а в другом аналитически находится ее граница. Случай двух параметров особенно важен, оп позволяет использовать графические методы.
1. Введение
Задача синтеза регуляторов низкого порядка заключается в нахождении стабилизирующего регулятора, причем помимо устойчивости замкнутая система должна удовлетворять некоторым дополнительным критериям. Как правило, структура регулятора задана изначально и остается лишь должным образом выбрать параметры регулятора.
Несмотря на развитие аналитических теорий синтеза регуляторов, таких как Нто-теория, /х-подход, QFT-пoдxoд, ^-синтез и др. [1-5], в промышленных приложениях по-прежнему используются простые (если не сказать простейшие) регуляторы, такие как, пропорционально-интегрирующие, пропорционалыю-интегрирующие-дифференцирующие, регуляторы первого порядка и пр. Эти регуляторы просты по своей структуре, их работа основана на понятных физических принципах, что, возможно, и обусловило их популярность и широкую применимость в задачах управления [6 8]. Важной проблемой остается синтез регуляторов, удовлетворяющих дополнительным критериям качества.
В работе рассмотрены критерии типа Иж, которые возникают как в задаче синтеза робастных регуляторов, гарантирующих устойчивость, несмотря на неопределенность объекта, так и в задаче стабилизации системы при заданном критерии качества.
Аналитическая теория синтеза Нто-оптимальных регуляторов детально разработана, однако порядок получающихся регуляторов может быть весьма большим (и даже превышающим порядок исходной системы) [9]; кроме того, устойчивость замкнутой системы крайне чувствительна к параметрам регулятора, малое их изменение
зачастую приводит к неустойчивости [10]. Теория Нж не позволяет ограничить порядок синтезируемого регулятора, поэтому прямое ее применение к задаче синтеза регуляторов заданной структуры сталкивается с существенными трудностями.
В статье описывается альтернативный подход к синтезу регуляторов заданной структуры, т.е. порядок регулятора фиксирован, свобода остается лишь в выборе параметров регулятора. В дальнейшем будем в основном предполагать, что имеется лишь два настраиваемых параметра регулятора, это позволяет широко использовать графические методы. Таким образом, задача заключается в нахождении области в пространстве параметров такой, что соответствующие регуляторы, во-первых, стабилизируют систему, а во-вторых, гарантируют выполнение Нто-критерия.
Для нахождения стабилизирующих регуляторов низкого порядка в общем случае может быть применено ^-разбиение Неймарка [11]; современное состояние техники ^-разбиения описано в [12].
В ряде работ [13-15] показано, что Нто-крнтерпй может быть представлен как ограничение на поведение годографа Найквиста (он должен лежать вне некоторого круга). Исходя из этого авторы формулируют так называемое «ограничение на чувствительность», которое задает допустимую область в пространстве параметров, н ищут ПИ и ПИД-регуляторы с максимальным коэффициентом интегрирующего звена.
В последнее время предложен подход к решению задачи с критерием Нж [16-18], в котором используется тот факт, что выполнение Нто-крнтерпя эквивалентно устойчивости однопараметрического семейства полиномов с комплексными коэффициентами. Для каждого значения параметра решается задача стабилизации, и искомая область представляется как пересечение областей устойчивости. Альтернативой может служить использование случайных методов, в этом случае по части параметров задача может быть эффективно решена, а оставшиеся параметры набрасываются случайно, такие методы рассмотрены в [19].
В статье предлагаются два подхода. В первом искомая область характеризуется пересечением допустимых множеств, определяющих значения параметров, во втором с помощью идей Д-разбиения находится ее граница. Оба метода позволяют найти интересующую область и применимы для широкого класса регуляторов, включающего ПИ-, ПИД-регуляторы, регуляторы первого порядка и т.п.
Изложение построено следующим образом: во втором разделе ставится и обосновывается задача, в третьем представлены основные результаты, касающиеся синтеза Нто-регуляторов. Описываются два способа нахождения области в пространстве параметров, в которой замкнутая система устойчива и выполняются требования к робастности или качеству. Четвертый раздел содержит примеры, демонстрирующие эффективность обоих способов. Наконец, в заключении сформулированы выводы и обсуждаются некоторые аспекты применения предложенных методов.
2. Постановка задачи
Рассмотрим линейную стационарную одномерную систему, в которой объект задан скалярной передаточной функцией О (в). Пусть система замкнута регулятором С (в, к), (рис. 1). Парам етры к € Мт, т < 3 задают множество допустимых регуляторов низкого порядка. Структура регулятора известна, среди допустимых регулято-
Рис. 1. Блок-схема замкнутой системы.
k■ кров в работе рассматриваются: ПИ-регулятор kp +—-, ПИД-регулятор kp +—- + kds.
s s
kis + k2
регулятор первого порядка -;—.
s + k3
Требуется описать множество параметров, соответствующих всем регуляторам и удовлетворяющих критерию качества
(1) \\Н(s, k)||TO <j.
Напомним, что Нто-норма конечна только для функций с устойчивым знаменателем и равна: \\Н(s)\\TO = sup \Н(ju)\.
Такой Нто-крптернй возникает сразу при нескольких постановках задач синтеза, приведем важные примеры.
• Нахождение регулятора C(s),
гарантирующего Н^-качвство замкнутой СИСТ6™
(2) \Wi(s)T(s)\\TO < j,
где Wi(s) предполагается устойчивой дробно-рацнональной функцией (Wi G RHTO),
T(s) = ---- передаточная функция замкнутой системы (дополнительная
1 + C (s)G(s)
чувствительность), j - заданный уровень качества.
•
аддитивной неопределенностью G(s) = G0(s) + AG(s), где G0(s) - передаточная функция номинального объекта, частотная (в иностранной литературе называется
AG(s)
HW2(s)AG(s)\\ro ^ 1. Задача сводится к выполнению критерия
(3) \W2-i(s)U(s)\\TO < 1,
C( s )
где U(s) = --- передаточная функция по ошибке, W2 G RH,^. Муль-
1 + C (s)G(s)
типликативиой неопределенности G(s) = Go(s)(1 + AG(s)) соответствует критерий \W2-i(s)T(s)\\TO < 1.
[20], замкнутая система должна удовлетворять следующим ограничениям:
mi(w) < \W(ju)T(ju)\ < ш2(ш),ш G [0,wi];
(4) \S(ju)\ <к(ш),ш G [0,Ы \T(ju)\ < h(u),u G [U2, ж),
здесь S(s) = --- чувствительность, mi, m2, li, l2 - ограничительные
1 + C (s)G(s)
функции. Выбор подходящей весовой функции позволяет перейти от конечных интервалов частот к интервалу [0, ж), однако предложенные в работе методы позволяют оперировать с интервалами напрямую, см. пример 2.
Отметим, что в большинстве подходов, таких как Нж теория и робастиая стабилизация, используется параметризация Юлы и ее аналоги, которые дают функциональные семейства регуляторов, не только удовлетворяющие условиям задачи, но и оптимальные по критерию [4, 5]. Недостаток этих подходов заключается в сложности полученного семейства, неочевидной параметризации, ограничивающей включение оптимального регулятора в семейство заданных регуляторов, а также «хрупкости» полученных регуляторов [10].
Сосредоточимся на изучении параметрических семейств регуляторов, зададимся видом регулятора и будем искать подмножество, для которого выполняется критерий (1).
Оптимальный регулятор заданной структуры можно найти, уменьшая уровень 7 до тех пор, пока множество подходящих регуляторов не станет пустым.
Из определения Нто-пормы следует, что она имеет смысл только для аналитических в правой комплексной полуплоскости функций из И.НТО. Кроме того, нас интересуют только стабилизирующие регуляторы, поэтому должны выполняться следующие требования:
1) замкнутая система устойчива, т.е. ее характеристический полином 3(в, к) гур-вицев (все корни лежат в левой комплексной полуплоскости):
2) функция Н также устойчивая (Н(в) = (в) в задаче о Нто-качестве (2), Н(в) = (в) в задаче о Нто-робастиости (3) и т.д.): Н(в, к) € КНТО;
3) для заданного числа ^ > 0 выполняется нерав еиство \Н (зи, к)| < 7, и € [0, те). Пересечение трех областей, в которых эти условия выполняются в отдельности, даст искомое множество параметров (а значит, и регуляторов). Для краткости будем называть регуляторы, для которых выполняются все три условия, Нто-регуляторами. На практике часто первые два требования совпадают, поскольку зна-
Н
верно для всех перечисленных задач (2), (3) и (4), далее будем рассматривать только такие случаи.
Итак, основной задачей является описание множества Нто-регуляторов. Его построение будем производить в два этапа. Сначала осуществим выделение областей в пространстве параметров регулятора, удовлетворяющих условию \Н(зи, к)\ < 7, Уи € [0, те) (это же условие косвенно определяет параметры, при которых функция Н(зи, к) не определена). Затем среди этих областей остается выделить те, в которых функция Н(в, к) устойчива.
3. Синтез ^^-регуляторов
Предположим, что регулятор стабилизирует систему, т.е. знаменатель Н(в, к) устойчив. Тогда \\Н(в, к)||то = вир \Н(зи, к)\, где общая дробно-рациональная
передаточная функция записана в виде
Н(в к) = Нп(в, к) Н к)= Щ(в, к) ■
Всюду в дальнейшем предполагаем, что числитель Нп и знаменатель Н^ линейно к
тель и знаменатель регулятора также зависят от параметров линейно, что верно для ПИ-, ПНД-регуляторов, первого порядка и пр. Например, для ПНД-регулятора и функции чувствительности, Нп(в, к) = вП(в), Н^(в, к) = вП(в) + (кг+крв+к^1в2)М(в). где N (в) - числит
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.