Автоматика и телемеханика, Л- 3, 2007
Заметки
РАС Б 02.30.Yy
© 2007 г. В.Н. ЧЕСТНОВ, д-р техн. наук (Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, Москва)
СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ Н^-РЕГУЛЯТОРОВ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ ПО ЗАДАННОЙ СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ
Для .линейных многомерных объектов, физические параметры которых подвержены отклонениям от расчетных, строятся регуляторы по измеряемому выходу. обеспечивающие заданную степень устойчивости замкнутой системе, определяющую требуемое время регулирования. Данный подход опирается па "технику размыкания" системы "объект регулятор" по исследуемым физическим параметрам и сводится к некоторой стандартной проблеме Д^-оптимизации. Приводится пример.
1. Введение
Подходы к синтезу робастных регуляторов многомерных систем, развитые в [1,2], не учитывают требуемого времени регулирования, которое, как показывают построенные в [1, 2] примеры, может значительно превосходить желаемое. В настоящей работе ставится задача синтеза робастных регуляторов по выходу, обеспечивающих заданную степень устойчивости замкнутой системе, определяющей требуемое время регулирования. Понятие робастности здесь рассматривается в двух аспектах. Во-первых. это сохранение устойчивости при параметрических возмущениях с известными границами, накладываемыми на отклонения физических параметров объекта от расчетных (как в [2]). Во-вторых, это гарантированный регулятором радиус запасов устойчивости, который определяет границы многомерных запасов устойчивости по фазе и коэффициенту усиления, когда размыкание замкнутого контура объект регулятор осуществляется по физическому выходу или входу объекта управления (как в [11).
Заметим, что если замкнутая система имеет степень устойчивости в то время регулирования при действии произвольных начальных отклонений либо при действии ограниченных внешних возмущений может быть оценено по формуле [3]
^рег ~
Следует отметить, что математический формализм решения задачи синтеза робастных регуляторов в указанных выше аспектах опирается на частотное матричное неравенство вида [1, 2]
(1) [I + + Ж^и)} > т21, и е [0, ж),
где ^Раз(в) - передаточная матрица системы, разомкнутой по физическим параметрам объекта либо по физическому входу или выходу объекта управления, г -заданный или максимизируемый радиус запасов устойчивости, I - единичная матрица соответствующих размеров.
В дальнейшем задача будет поставлена для случая, когда робастность понимается как сохранение устойчивости для заданных отклонений физических параметров от расчетных [2].
2. Постановка задачи
Рассмотрим объект управления, описываемый уравнениями
(2) (г) = ь2(р)п(г), у (г) = Нх! (г),
где (г) /-мерный вектор физических переменных объекта (скорость, ускорение, ток, напряжение, перемещение, угол поворота и т.д.); и(г) ш-мерпый вектор управляющих воздействий; у(г) ш2-мерный вектор измеряемых переменных объекта; N - известная числовая матрица размером (ш2 х I); Ь1(р) и Ь2(р) - полиномиальные матрицы размеров (1х1)и(1х ш) соответственно оператора дифференцирования р = ¿/А:
аг а2
Ыр) = ^2 ¿2 (р) = Ё ь^р?,
i=0 ?=0
т (О т(Л)
где Ь\ и ¿2 - известные вещественные матрицы соответствующих размеров.
Будем полагать, что объект управления стабилизируемый и детектируемый, а его уравнения представляют собой исходное, наименее преобразованное описание, полученное на базе фундаментальных физических законов. Поэтому элементы матриц Ь^ (г = 1,0:1), ЬЛ ^ = 1,а2) и N далее будем называть физическими параметрами (или просто параметрами) объекта управления, номинальные значения которых фигурируют в его описании (2).
Предположим, что п физических параметров объекта с поминальными значениями А1,А2,..,А„ могут принимать значения из заданных интервалов
(3) Аi + е (а£>п, г =1П,
где AАi - отклонение параметра от расчетного номинального значения.
(i) (?)
При этом число параметров и их расположение в матрицах Ь\, ¿2 и N ничем не ограничивается.
Зада ча 1. Для объекта (2) найти стабилизирующий регулятор по выходу
(4) и = К (в)у
(где К (в) - искомая правильная передаточная матрица регулятора) такой, что при всех значениях физических параметров из интервалов (3) замкнутая система (2), (4) асимптотически устойчива, а степень устойчивости составляет ¡3.
Очевидно, что для разрешимости поставленной задачи следует предположить, что стабилизируемость и детектируемость объекта (2) не нарушаются, когда его параметры принимают значения из интервалов (3).
Заметим, что подобная задача без учета требований к быстродействию решалась
в [21-
3. Подход к решению задачи
В [2] показано, что передаточная матрица разомкнутой системы по варьируемым параметрам содержит эти параметры в виде диагональной матрицы Л коэффициентов усиления ^Раз(в) = ЛW(в), где Ш(в) не зависит от варьируемых параметров. Поэтому если Шраз(в) удовлетворяет частотному матричному неравенству (1), то имеют место следующие достаточные оценки на интервалы возможных значений параметров
(5) шт{ , < \ + АЛ^ < шах{ , , г = 1,п,
[ 1+ Т 1 — Т ] [ 1+ Т 1 — Т )
гарантирующих робастную устойчивость системы (2). (4).
Однако заметим, что подход [2] не гарантирует заданного быстродействия системы. определяемого степенью устойчивости. Таким образом, решение задачи сводится к такому построению матрицы К (в) регулятора (4), при котором число т принимает заданное значение либо максимизируется, а степень устойчивости принимает заданное значение в- При этом если при выбранных номинальных значениях ЛI (г = 1,п) заданные интервалы для параметров (3) оказываются включенными в соответствующие интервалы (5). то задача решена.
Т
максимизация (при этом 0 < т < 1) сводится к некоторой стандартной проблеме Дто-оптимизации (субоптимизации). Передаточная матрица и число 7 определяются соотношениями [1. 2]:
(6) Т (в) = [1 + Шраа(в)]-1, 7 = 1/т,
а частотное матричное неравенство (1) представляется в форме целевого условия некоторой задачи Дто-оптимизации [1, 2]
(7) Тт(—ци)Т(Ци) < 721, и е [0, ж).
Решение задачи (7) приводит к регулятору, гарантирующему только свойство устойчивости замкнутой системе. Для того чтобы дополнительно гарантировать заданную степень устойчивости, приведем следующие соображения. Наряду с передаточной матрицей Т(в) рассмотрим смещенную передаточную матрицу Т(в — в), где в - заданная степень устойчивости.
Пусть минимальная реализация Т(в) в пространстве состояний описывается четверкой матриц {Л, Б, С, В} т.е. Т(в) = С(1в — Л)-1Б + В, где в силу (6) В = I. Тогда реализация Т(в — в) в пространстве состояний описывается четверкой матриц {Л + в1, Б, С, I}, т.е. Т(в — в) = С(I(в — в) — Л)-1Б + I, что легко проверить непосредственно.
и
точная матрица Т(в — в) удовлетворяет матричному неравенству
(8) ТТ(—ци — в)Т(Ци — в) < 721, и е [0, ж),
где 7 = 1/т. Тогда несмещенная передаточная матрица Т(в) удовлетворяет матричному неравенству (7), что эквивалентно выполнению (1).
Доказательство утверждения приведено в Приложении.
Отсюда следует (в силу 7 = 1/т), что одновременно будут выполнены частотные неравенства типа (1), записанные для смещенной и несмещенной матриц возвратной разности I + Ш(в — в) и I + Ш(в). Таким образом, осуществляя синтез на основе
смещенного неравенства (8). придем к выполнению неравенства (1). записанного для несмещенной матрицы возвратной разности I + Ш(в). Это означает (как показано в следующем разделе), что степень устойчивости замкнутой системы будет не менее в при всех отклонениях варьируемых параметров от расчетных из (3).
4. Численный аспект
Опишем стандартную проблему ^^-оптимизации (субоптимизации), к которой свелось решение поставленной задачи в пространстве состояний. Прежде всего обобщенный объект стандартной Д^-проблемы представляется уравнениями состояния
(9) X = Ax + B1w + B2u, z = C1x + D11w + D12u, y = C2x + D21w + D22u.
В этих уравнениях в рассматриваемом случае параметрических возмущений [2] матрицы Dn = 0 D22 = 0 D21 = 0 и D12 = 0. Это приводит к вырожденной задаче Дто-оптимизации, которую удобно решать на основе метода линейных матричных неравенств (LMI) [4, 5]. При этом порядок регулятора, получающийся в рассматриваемом здесь случае, не превышает порядка исходного объекта управления (2) (т.е. степени его характеристического полинома det L1 (p)), что очень важно для практических приложений.
Численная реализация подхода линейных матричных неравенств к теории управления осуществлена в пакете LMI Control Toolbox [6]. функционирующем в среде MATLAB.
Заметим, что в данном пакете регулятору ставится в соответствие четверка матриц {Ak, Bk,Ck, Dk}, определяющих передаточную матрицу регулятора
K(s) = Ck(Is — Ak)-1Bk + Dk.
Для формирования смещенной передаточной матрицы возвратной разности при
A
матрицей A + [3I, где в ~ заданная степень устойчивости. Результатом синтеза с такими исходными данными являются матрицы {Ak,Bk,Ck ,Dk} смещенного регулятора. При этом смещенная замкнута система будет асимптотически устойчивой,
й - 7 (A + в1 + B2DkC2 B2Ck\ „
т.е. будет устоичивои матрица Ac =1 B C A г ™смеш-енная за~
г- л ( A + B2DkC2 B2Ck \
мкнутая система будет иметь матрицу Ac = I B C A — pI )' "чевиДн0!
что Ac = Ac + @I. Таким образом, собственные числа несмещенной замкнутой системы имеют вещественные части меньше (—в)- Другими словами, исходный объект, замкнутый регулятором {Ak — pI, Bk, Ck, Dk}, дает замкнутую систему со степенью в
частотному матричному неравенству (1).
5. Пример
Проиллюстрируем предложенный метод синтеза на примере двухмассовой системы (две тележки, соединенные пружиной), уже послужившей в качестве тестовой задачи ("benchmark problem") для многих методов синтеза робастных систем и, в частности, в известных пакетах [6 9].
Уравнения объекта управления (внешние возмущения опущены) имеют вид:
Xi = Х3, Х2 = Х4, Х3 = —qxi + qx2 + u, X4 = qxi — qx2,
где ц - интервальный параметр (жесткость пружины) с номинальным значением 0,8; и - управляющее воздействие, а измеряемой переменной является
У = Х2.
Зададимся желаемой степенью устойчивости в = 0,2, что обеспечивает время регулирования £рег = 3/0,2 = 15с. Минималь
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.