научная статья по теме СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОЙ РОБАСТНОЙ СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ Кибернетика

Текст научной статьи на тему «СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОЙ РОБАСТНОЙ СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ»

ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 5, с. 52-57

АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 519.7

СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОЙ РОБАСТНОИ

СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ

© 2007 г. Д. П. Ким

Москва, МИРЭА (технический ун-т) Поступила в редакцию 16.03.05 г., после доработки 09.04.07 г.

Рассматривается метод решения задачи синтеза систем управления максимальной степени устойчивости при интервальном объекте, т.е. объекте, параметры которого известны с точностью до принадлежности заданным интервалам.

Введение. Задача синтеза максимальной степени устойчивости впервые была рассмотрена A.M. Шубладзе и им были предложены методы ее решения, основанные на достаточном условии оптимальности по степени устойчивости [1-4]. В [5-7] приведен метод решения этой задачи, базирующийся на алгебраическом условии маргинальной (граничной) устойчивости. В указанных работах принималось, что управляемый объект полностью задан, т.е. известны его структура и параметры.

Данная работа посвящена задаче синтеза системы управления при интервальном объекте. Под интервальным объектом по аналогии с интервальным полиномом понимается линейный стационарный объект, структура которого задана, а про параметры известно, что они принимают значения на некоторых фиксированных интервалах. В такой постановке задача синтеза была рассмотрена в [8]. Но в этой работе были допущены неточности.

1. Постановка задачи. Имеется интервальный полином

f( z) = c0z" + ci zn +... + cn,

c = (Cocic2...Cn) e C = = {c : ck < c < ck, k = 0, 1, 2, ..., n},

(1.1)

(1.2)

вости, которое она принимает, когда вектор c пробегает множество C,

r = minn( c) = min min|Rez;|

С E C С E C i

будем называть степенью устойчивости интервального полинома (1.1) или его робастной степенью устойчивости (по аналогии с робастной устойчивостью).

Пусть задан интервальный объект передаточной функцией

Wo (s) =

г. m bos

■ b1 s'

m - 1

a0s + a1s

bk < bk < bk, ai < ai < ai, k = 0, 1, ..., m, i = 0, 1, ..., n,

(1.3)

(1.4)

ск, ск — заданные числа и ск < ск. Степень устойчивости п этого полинома при произвольных фиксированных коэффициентах из заданного множества зависит от того, какое значение примет вектор с:

П = п( с) = тт|Яе2г|.

I

Здесь ? , (I = 1, 2, ..., п) — нули (корни) полинома Л?), соответствующие фиксированному вектору с. Минимальное значение этой степени устойчи-

и известна передаточная функция регулятора Жр(я), зависящая от вектора варьируемых параметров а

Жр(я) = Ж/а, я). (1.5)

Характеристический полином замкнутой системы (1.3)—(1.5) будет интервальным полиномом и его коэффициенты и соответственно степень устойчивости г будут функциями варьируемых параметров. Рассматриваемая задача состоит в том, чтобы определить такие значения варьируемых параметров а*, при которых степень устойчивости этого полинома принимает максимальное значение

г * = тахг (а) = г(а*).

а

Естественно предположить, что система управления (1.3)—(1.5) структурно устойчива, т. е. выбором варьируемых параметров можно сделать ее робастно устойчивой, и число варьируемых параметров не является избыточным: нельзя с их помощью обеспечить произвольно большую степень устойчивости.

n

2. Условия маргинальной устойчивости. Метод синтеза основан на условиях маргинальной (граничной) устойчивости, которые были получены в [5]. Напомним: полином называется маргинально устойчивым, если среди его нулей имеются нейтральные (т.е. расположенные на мнимой оси) нули и нет правых (т.е. расположенных в правой полуплоскости) нулей.

Рассмотрим полином с фиксированными вещественными коэффициентами

/ \ п п - 1 I I

g (г) = а0 г + а1 г + ... +

(ао > 0). (2.1)

Для того чтобы полином (2.1) был маргинально устойчив необходимо, чтобы все его коэффициенты были неотрицательны [5, 7]

а, > 0, 1 = 1, 2, ..., п.

(2.2)

Ап = Ап _! = ... = Ап -1 +1 = 0; Ап-, > 0, ..., А! > 0;

(2.3)

2) полином не имеет особых нулей, расположенных не на мнимой оси.

Из этого утверждения следует, что для того чтобы все нули были нейтральными, необходимо равенство нулю всех определителей Гурвица.

Утверждение 3. Чтобы все определители Гурвица полинома (2.1) были равны нулю, необходимо и достаточно равенство нулю всех его коэффициентов с нечетными индексами [9]: а1 = а3 = = ... = 0.

Утверждение 4. При фиксированных коэффициентах а0 и а1 максимально возможная степень устойчивости полинома (2.1) равна

1 а!

па

и она достигается, когда все корни этого полинома имеют одинаковую вещественную часть. При положительных коэффициентах максимально

возможная степень устойчивости интервального полинома (1.1)—(1.2) равна [5, 7]

1 С

пС0

(2.4)

Нейтральные нули полинома g(z) являются нулями функции g(/ю) и их число совпадает с числом действительных корней системы уравнений

и(ю) = Reg(/ю) = ап - ап-2® +

4 п

+ ап-4ю - ... = 0,

V(ю) = ^(/ю) = ап-1® - ап-зю + + ап-5ю5- ... = 0.

(2.5)

(2.6)

Нуль г полинома называется особым, если -г' -также нуль этого полинома [9]. Нейтральные нули являются особыми.

Утверждение 1. Если выполняется необходимое условие маргинальной устойчивости (2.2), особый нуль не может быть вещественным числом, когда же имеются особые нули, расположенные не на мнимой оси, то их число кратно четырем [5, 7].

Утверждение 2. Для того чтобы полином (2.1) был маргинально устойчив и I его нулей были нейтральными необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия [5.7]:

1) I старших определителей Гурвица равны нулю, а остальные п - I определителей положительны

Теперь перейдем к рассмотрению маргинальной устойчивости интервального полинома (1.1)—(1.2). Согласно теореме Харитонова, для того чтобы полином (1.1) был робастно устойчив на множестве (1.2), необходимым и достаточным условием является устойчивость всех полиномов Харитонова (ниже выписываются коэффициенты соответствующих полиномов)

/1(г) • Сп, Сп-1' Сп-2' Сп-3, Сп-4, Сп-5' .••, /2(г) • Сп, Сп-1' Сп-2' Сп-3' Сп-4' Сп-5' .••, /3 (г) • Сп' Сп - 1' Сп -2' Сп -3' Сп-4' Сп -5' . • •, I4(г) • Сп' Сп - 1' Сп -2' Сп -3' Сп-4' Сп -5'

(2.7)

При С0 > 0 для того чтобы полином (1.1) был робастно устойчив на множестве (1.2), необходимо выполнение условий

С1 > 0, С2 > 0,..., Сп > 0. (2.8)

Если справедливо (2.8) для робастной устойчивости интервального полинома (1.1)—(1.2), необходимо и достаточно, чтобы при п = 3 был устойчив полином/х(г), при п = 4 - полиномы/х(г) и/2(г), при п = 5 - полиномы/1(г),/2(г) и/3(г); для п = 1, 2 необходимое условие (2.8) является и достаточным. Только в случае п > 6 для исследования робастной устойчивости требуется рассмотреть все четыре полинома Харитонова.

Будем говорить, что интервальный полином (1.1)—(1.2) маргинально устойчив, если при каких-либо возможных значениях его коэффициентов он маргинально устойчив, и не существует таких значений его коэффициентов, когда полином является неустойчивым (в том смысле, что имеет правых нулей). Для того чтобы интервальный полином (1.1)—(1.2) при С0 >0 был маргинально устойчив, необходимо выполнение условий

С, > 0, 1 = 1, 2, ..., п.

(2.9)

п

Из теоремы Харитонова робастной устойчивости следует, что интервальный полином маргинально устойчив, если все или часть полиномов Харитонова маргинально устойчивы, а остальные -устойчивы. Поэтому исследование маргинальной устойчивости интервального полинома сводится к исследованию маргинальной устойчивости и устойчивости полиномов Харитонова. При справедливости необходимого условия (2.9), когда порядок интервального полинома п = 3, достаточно рассмотреть полиномпри п = 4 - полиномы /1^) и/2(г), при п = 5 - полиномы/х(г),/2(г) и/(¿).

3. Синтез систем управления максимальной робастной степени устойчивости. Пусть характеристический полином синтезируемой системы (1.3)—(1.5) имеет вид

О (5) = d0sn + d 1 1 + ... + dn 4, < di < di, 1 = 0, 1, ..., п.

(3.1)

(3.2)

Метод решения задачи синтеза систем управления максимальной степени устойчивости основан на замене переменной 5 = q - г, при которой преобразованный полином

Оп(q) = О(q - г) = е^п + С1 qn-1 + ... + Сп, (3.3)

С к < С < Ск ,

к = 0, 1, ..., п,

(3.4)

где

^ =

1 дп - кО( 5 )

(п - к)! Э5

п - к

, к = 0, 1, ...,п, (3.5)

этого полинома входят в разные коэффициенты полинома (3.3)-(3.4). Поэтому коэффициенты последнего принимают значения на интервалах (3.4) не независимо. И в этих случаях устойчивость полиномов Харитонова является только достаточным условием робастной устойчивости интервального полинома [7], и выполнение условий маргинальной устойчивости полиномов Харитонова не гарантирует маргинальную устойчивость исходного полинома (последний может быть ро-бастно устойчив). Если полином (3.3)-(3.4) при найденных значениях варьируемых параметров окажется робастно устойчивым, то полученное решение можно рассматривать как приближенное (квазиоптимальное). Для полинома (3.3)-(3.4) остается в силе необходимое условие робастной устойчивости: он не может быть робастно устойчивым, если не выполняется (2.8).

4. Пример. Пусть передаточная функция объекта имеет вид

Ж (5) = -3--,

5 + а15 + а25 + а 3 а, < а, < а,, 1 = 1, 2, 3,

(4.1)

(4.2)

становится маргинально устойчивым. Граничные значения в (3.2) зависят от варьируемых параметров, а граничные значения в (3.4) - еще и от г.

Далее составляются полиномы Харитонова и выписываются условия их маргинальной устойчивости. При этом получается система из равенств и неравенств, которая решается относительно неизвестных варьируемых параметров и степени устойчивости г. Искомым будет такое решение, которое включает наибольшую степень устойчивости г. Поиск решения следует начинать со случая, когда степень устойчивости принимает максимально возможное значение. А это достигается, если, согласно утверждениям 2 и 4, все определители Гурвица соответствующего полинома Харитонова равны нулю или по утверждению 3 все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю.

Однако следует иметь в виду, что теорема Харитонова справедлива, когда коэффициенты полинома принимают значения на заданных интервалах независимо друг от друга. Значения коэффициентов полинома (3.3)-(3.4) зависят от того, какие значения пр

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Кибернетика»