ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2011, том 45, № 1, с. 98-107
УДК 660:51.001.57+66
СИНТЕЗ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ РЕКТИФИКАЦИИ С ЧАСТИЧНО СВЯЗАННЫМИ ТЕПЛОВЫМИ И МАТЕРИАЛЬНЫМИ ПОТОКАМИ:
ЗЕОТРОПНЫЕ СМЕСИ © 2011 г. М. И. Скворцова, А. В. Тимошенко, Д. Г. Рудаков
Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова
astra.railways@gmail.com Поступила в редакцию 15.06.2010 г.
Разработаны алгоритмы исчерпывающей генерации схем ректификации и-компонентных зеотроп-ных смесей для случаев: 1) последовательности простых двухсекционных колонн; 2) последовательности, включающей комплексы с частично связанными материальными и тепловыми потоками. Описание алгоритмов ориентировано на последующую разработку соответствующих компьютерных программ. Для генерации схем ректификации использованы специальные матричные представления этих схем, эквивалентные их графическим представлениям. Приведены примеры, иллюстрирующие работу предложенных алгоритмов. Установлено, что общее число схем с частично свя-
2"-2[2(п - 1)]!
занными потоками равно -----—.
п!(п - 1)!
ВВЕДЕНИЕ
Задача синтеза оптимальной технологической схемы является одной из основных в химической технологии. В полной мере это относится и к подсистеме разделения, которая, в большинстве производств органического синтеза, представляет некоторую последовательность ректификационных колонн, связанных прямыми и обратными материальными потоками. Необходимость процедуры оптимизации схемы ректификации определяется термодинамически необратимым характером процесса, что приводит к зависимости затрат энергии и производства энтропии от пути его проведения. Технологическую схему ректификации можно рассматривать как отображение траектории ректификации на множество аппаратов разделения и связей между ними, что позволяет рассматривать ее как путь процесса.
Важной и интересной задачей фундаментального характера является разработка алгоритмов синтеза полного множества технологических схем ректификации. Однако даже задача строгого вывода общей формулы для подсчета числа вариантов для самых простых последовательностей двухсекционных колонн была решена только недавно [1], хотя вид этой формулы известен достаточно давно [2]. Для подсчета общего числа схем ректификационного разделения зеотропных смесей, включающих простые и сложные колонны, таких соотношений не существует. К настоящему времени разработаны только теоретико-графовые неформализованные алгоритмы синтеза схем с частично связанными тепловыми и материальными потоками и с боковы-
ми отборами [3], имеются попытки определить число схем ректификации в схемах, состоящих из колонн с боковыми отборами [4].
Разработанные к настоящему времени алгоритмы синтеза схем с частично связанными тепловыми и материальными потоками базируются на теории графов, и непосредственно не могут служить основой для построения компьютерной программы. Для этого целесообразно использовать представление схем в виде матриц определенного типа.
Целью данной работы является разработка формализованного алгоритма синтеза полного множества технологических схем ректификации зеотроп-ных п-компонентных смесей, в том числе и с частично связанными тепловыми и материальными потоками.
СХЕМЫ РЕКТИФИКАЦИИ ЗЕОТРОПНЫХ СМЕСЕЙ В ПРОСТЫХ ДВУХСЕКЦИОННЫХ КОЛОННАХ
Постановка задачи. Пусть имеется смесь веществ А1, А2, ..., Ап с различными температурами кипения Т1, Т2, ..., Тп, причем Т1 < Т2 < ... < Тп. В некоторой технологической установке происходит разделение этой смеси на чистые компоненты А, i = 1, ..., п. Эта установка состоит из нескольких однотипных ректификационных колонн, в каждой из которых происходит разделение поступающей в нее смеси веществ на две части каким-либо образом. Эти две новые смеси поступают в две другие колонны (каждая смесь — в свою колонну) и процесс разделения на две части повторяется. При этом должно выпол-
няться следующее условие: если в колонну поступила смесь состава А, +ь ..., Ак при некоторых / и к, то вышеуказанные две части деления имеют составы А,-, А, + 1, АI и АI+ 1, Ак при некотором у. Очевидно, что для разделения смеси А1, А2, ..., Ап таким способом требуется п — 1 колонна.
С целью упрощения записей условимся далее не разделять запятой символы А, и А, + 1 в последовательности А1, А2, ...
Приведем примеры таких схем для случая п = 3, используя разные способы их графического изображения (рис. 1) и сделаем ряд пояснений, касающихся структуры схем и способов их изображения.
Каждая схема может быть представлена графом-деревом, имеющим в общем случае 2п — 1 вершину (рис. 1, (1), (2); в примере 2п — 1 = 5). Вершины черного цвета соответствуют колоннам (таких вершин — п — 1; в примере п — 1 = 2; метка вершины обозначает смесь веществ, поступившую в колонну), вершины белого цвета соответствуют чистым компонентам А, I = 1, п (таких вершин — п; в примере п = 3; их метки — А,). Степени вершин-колонн равны трем, кроме первой вершины-колонны, степень которой равна двум; степени вершин, соответствующих чистым компонентам, равны единице. В дереве выделяются горизонтальные уровни, идущие сверху вниз; на первом уровне находится вершина, соответствующая первой колонне. Вершины одного уровня (кроме первого) естественным образом разбиваются на пары, а в каждой паре выделяются "левая" и "правая" вершины. При первом варианте изображения схем "левая" и "правая" вершины каждой пары симметричны относительно вертикальной прямой, проведенной через вершину предыдущего уровня, с которой они соединены. Однако эти схемы можно изобразить и по-другому, располагая каждую "левую" вершину к-го уровня строго под той вершиной (к — 1)-го уровня, с которой она соединена ребром (т.е. эти две вершины будут лежать на одной вертикальной прямой). При этом вершины одного уровня по-прежнему располагаются на одной горизонтальной прямой. На рис. 1 схемы (3), (4), нарисованные в соответствии с указанным выше правилом, соответствуют схемам (1), (2).
Назовем описанные выше схемы схемами 1-го типа (способ их графического изображения не важен). Отметим, что использование изображений вида (3), (4) более удобно для решения задачи компьютерного синтеза схем ректификации, так как позволяет естественным образом "вписать" рисунок в некоторую квадратную матрицу Я = (г-,) (/ = 1, ..., п;у = 1, ..., п) размера п х п без потери информации о структуре схемы и без наложения друг на друга отдельных фрагментов схемы. Эти матрицы визуально очень близки к соответствующему рисунку и легко позволяют его восстановить. Пример матрицы Я для схемы (3), изображенной на рис. 1, дан на рис. 2.
А1А2А3
А1А2А3
А2 (1)
А3
А,
А,
(2)
А1А2А3
А1А2А3
О
А1
А1А2
А3
А2 3
А1
А2
(3)
(4)
Рис. 1. Схемы 1-го типа для случая п = 3.
Из схем 1-го типа путем некоторых преобразований можно получить схемы 2-го типа, эквивалентные им. Эти преобразования таковы:
1) пометим дополнительно вершины степени 1, соответствующие чистым компонентам, метками "—" и "+" (для "левой" и "правой" вершин, соответственно);
2) введем дополнительную вершину со специальной меткой (кружок с нулем внутри) для исходной смеси и перенесем метку первой вершины-колонны на эту вершину, оставив первую вершину-колонну без метки;
3) введем дополнительные вершины, соответствующие промежуточным продуктам и припишем им метки "—" и "+" (для "левой" и "правой" вершин, соответственно); перенесем метки вершин-колонн к новым вершинам, оставив вершины-колонны без меток.
А1А2А3
А1 А2А3
А2 А3
Рис. 2. Матрица Я для схемы (3), изображенной на рис. 1.
ААА3 О
А,
А2А
О
23
О
А2
А3
Рис. 3. Схема 2-го типа, соответствующая схеме 1-го типа (1), изображенной на рис. 1.
Кроме того, будем изображать на одном горизонтальном уровне каждую вершину-колонну и выходящие из нее продукты с метками "+" или "—".
Таким образом, схемы 2-го типа содержат на п — — 1 вершину больше, чем схемы 1-го типа, и их белые вершины, соответствующие исходной смеси, промежуточным продуктам и чистым веществам, имеют знаки "0", "+", "—", а черные вершины меток не имеют вообще. Пример схемы 2-го типа для схемы 1-го типа с номером (1), изображенной на рис. 1, приведен на рис. 3.
Следует подчеркнуть, что между каждым ребром схемы 1-го типа, связывающим вершины-колонны, и фрагментом соответствующей схемы 2-го типа, представляющим из себя цепочку из двух ребер, связывающей те же самые вершины-колонны, имеется взаимно-однозначное соответствие. Поэтому все преобразования схем 2-го типа, затрагивающие какие-либо из вышеуказанных фрагментов, могут быть сведены к некоторым преобразованиям схем 1-го типа, затрагивающим соответствующие ребра.
Пусть Щ(п) = N — число схем разделения для п-компонентной смеси веществ. Как было показано ранее в [1, 2],
м = [ 2 (п - 1 ) ] ! п!(п - 1)! '
Постановка задачи: разработать и детально описать алгоритм построения всех схем 1-ого типа при произвольном п, ориентированный на последующее создание соответствующей компьютерной программы.
Описание алгоритма. Изложим кратко основную идею предлагаемого алгоритма. В каждой схеме
1 2
1 1
2 1
1 1
Рис. 4. Матрицы М(1) и для случая п = 3.
(см., например, схемы (1), (2) на рис. 1) выделяются "шаги разделения", соответствующие ярусам графа-дерева, изображающего схему. Таких шагов не более чем п — 1. Построим "пустую" матрицу Мраз-мера (п — 1) х п, имеющую п — 1 строку и п столбцов. Для заданной схемы заполним эту матрицу следующим образом. Если на первом шаге смесь разделена на части, содержащие п1 и п — п1 компонент, то в первую строку матрицы запишем числа п1 и п — п1, причем число п1 — в 1-й столбец, а число п — п1 — в (п1 + 1)-й столбец. Перейдем ко 2-му шагу разделения. Предположим, что п1 > 1. Пусть на 2-м шаге смесь из п1 компонент разделена на части, содержащие п2 и п1 — п2 компонент. Запишем во 2-ю строку числа п2 и п1 — п2, причем п2 — строго под п1, а п1 — п2 — отсчитав от клетки с п2 вправо п2 + 1 клетку. Аналогично, если п — п1 > 1, то во 2-й строке появятся еще два числа, соответствующие разложению п — п1 на два слагаемых. Если же число п1 = 1 (или
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.