научная статья по теме СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫДЕЛЕННОЙ ЧАСТЬЮ НЕИЗВЕСТНЫХ Математика

Текст научной статьи на тему «СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫДЕЛЕННОЙ ЧАСТЬЮ НЕИЗВЕСТНЫХ»

КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА -

УДК 517.929

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫДЕЛЕННОЙ ЧАСТЬЮ НЕИЗВЕСТНЫХ

© 2015 г. A.A. Панферов

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова 119991 Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1 E-mail: ast.a_s@mail.ru Поступила в редакцию 25.09.2014

Пусть дифференциальная система A\y' + Aoy = 0 с возможно вырожденной матрицей Ai имеет полный ранг. Пусть выделена часть неизвестных, т. е. часть компонент вектора у. Предлагается алгоритм, который в этой ситуации позволяет получить для некоторой части у компонент вектора у систему вида у' = By, при этом те выделенные компоненты у, которые не вошли в у, линейно выражаются через вошедшие в у выделенные компоненты.

1. ВВЕДЕНИЕ

Пусть К — дифференциальное поле характеристики 0 с производной д = '. Рассматривается система дифференциальных уравнений

Лгу' + Аоу = 0, (1)

где Аг, Ао е Ктхт, Аг = 0, а у = (уг,..., ут)Т -вектор неизвестных системы. Матрицу А\ будем

Ао

говой матрицей системы.

Пусть система (1) имеет полный ранг, т.е. ее уравнения независимы (последнее будет уточнено в разделе 2). Предположим, часть неизвест-

у

болыний интерес, чем остальные. Назовем эти компоненты выделенными. В этом предположении можно рассматривать ряд задач: поиск только выделенных компонент решений; проверка существования решений, выделенные компоненты которых принадлежат заданным классам; частичная устойчивость решений по выделенным компонентам ([1]) и др.

Если ведущая матрица А\ системы (1) обратима, то можно перейти к нормальной системе

У' = Ау, (2)

где А = —А-гА0.

Для систем вида (2) С.А. Абрамовым и М. Бронштейном в работе [2] был предложен алгоритм, позволяющий для выделенных компонент вектора неизвестных перейти к нормальной системе

г' = Кг,

где компоненты г суть выделенные компоненты у

позволяет решать указанные выше задачи.

Алгоритм Абрамова и Бронштейна был реализован в среде Марье как часть встроенного пакета 0геТоо1Б в виде процедуры 11ес1исес13у^ет.

В случае, когда ведущая матрица А\ исходной системы (1) вырождена, мы имеем дело с дифференциально-алгебраической системой и непосредственно алгоритм Абрамова и Бронштейна применим быть не может.

Ниже предлагается алгоритм, который позволяет в этой ситуации получить для некоторой части у компонент вектора у систему вида

у' = ву, (3)

у

не вошли в у, линейно выражаются через вошедшие в у выделенные компоненты.

К системе (3) далее может быть применен алгоритм Абрамова и Бронштейна, что дает систему, в которую уже не будут входить "лишние" неизвестные.

Таким образом мы получаем возможность решать упомянутые выше задачи не только для систем с невырожденной ведущей матрицей, но и для любых систем вида (1), имеющих полный ранг.

Заметим, что дифференциальные системы более высоких порядков

Аг у(г) + Лг-гу(г-1) + ... + А1У + Лоу = 0 (4) с помощью перехода к вектору неизвестных

Y = (У1,... ,ym,yi,... ,... ,y(r-1),... ,ym-1))T L(y) = 0, где L e K[d]

Пусть Ь е К[д]тхт. Через Ьг,* обозначим г-ю

строку матрицы Ь. Пусть 7 С {1,..., т}, тогда строки Ьг,*, где г е называются К[д] -линейно зависимым,и, если существуют дифференциальные операторы С К[д], не все одновременно равные нулю, такие, что YlгeJ = 0; в противном случае они называются К[д]-линейно независимыми.

Ь

как максимальное число ее К[д]-линейно независимых строк. Дифференциальная система

сводятся к системе первого порядка AiY ' + AOY = 0,

в которой

Ai =

Ao =

0 -I„

Ao Ai

.Ar

0 -I„

... Ar_

r-1

где I„

единичная матрица размера m x m.

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Обозначим через К [д] кольцо дифференци-

К

Система (1) может быть записана в операторной форме Ь(у) = 0 где Ь = Л1д + Л0 — операторная матрица, т. е. матрица размера т х т с элементами, принадлежащими кольцу К[д].

Произвольная ненулевая операторная матрица Ь е К[д]тхт может быть записана в виде

Ь = Лг дг + Лг-1дг-1 + ■ ■ ■ + Ло,

где г е N Л е Ктхт (г = 0,1,..., г), Лг = 0. Матрица Лг называется ведущей матрицей операторной матрицы Ь. Число г называется порядком Ь и обозначается огё Ь. Для случая Ь = 0 будем считать огё Ь = —те.

Матрица и е К[д]тхт называется унимо-дулярной, если для нее найдется матрица и е

K [d ]m

такая, что UU = UU = Im

, имеет полный ранг тогда и только тогда, когда ранг ¿равен m.

Положим ord Li,* = max1<j<m ord Lj. Вектор-строка S = (¿1,..., Sm), где Si = max(0, ord Li,*),

L

тим, что для операторной матрицы, соответствующей дифференциальной системе (1), Si e {0,1}.

L

матрица -£crow(L) того же размера, что и L, элемент (i,j) которой равен коэффициенту при (i, j)-oro элемента L для всех 1 < < m. Опе-L

строкам, если ненулевые строки ее фронтальной матрицы (L) линейно независимы над K.

Согласно [3], для любой матрицы L e K [d]mxn существует унимодулярная матрица U e K[d]mxm такая, что матрица L = UL является приведенной по строкам. Процесс, послуживший основой доказательства теоремы 2.2 в работе [3], определяет алгоритм, получивший название Row-Reduction. Его формальное описание можно также найти в [4, разд. 2.1].

Входом рассматриваемого ниже алгоритма является дифференциальная система (1) первого порядка, соответствующая операторная матрица которой является приведенной по строкам.

3. АЛГОРИТМ

Основная цель предлагаемого алгоритма — преобразовать исходную систему (1) к виду, пригодному для применения алгоритма Абрамова и Бронштейна, т. е. получить систему вида (2) с выделенной частью неизвестных. Как уже было сказано во введении, для случая невырожденной ведущей матрицы A1 исходной системы (1), это легко проделать.

0

m

m

0

0

0

Основную сложность представляют системы с вырожденной ведущей матрицей, поэтому в дальнейшем будем рассматривать именно этот случай.

На вход алгоритма поступает дифференциальная система с приведенной по строкам операторной матрицей. При этом, так как ведущая матрица вырождена, вектор порядков строк § будет содержать нулевые компоненты, а система разделится на две части: дифференциальную — состоящую из уравнений, соответствующих единичным элементам §, и алгебраическую — соответствующую нулевым элементам §.

Суть предлагаемого алгоритма состоит в том, чтобы из дифференциальной части исключить некоторые неизвестные, используя уравнения из алгебраической части, и тем самым получить дифференциальную систему с числом уравнений, равным числу неизвестных, и имеющую обратимую ведущую матрицу. При исключении необходимо учитывать, какие неизвестные были изначально выделены. В связи с этим, исключения проводятся в два этапа: на первом этапе из дифференциальной части системы исключаются невыделенные неизвестные, а на втором — выделенные.

Алгоритм состоит из трех этапов:

этап 1: исключение (из дифференциальной части системы) невыделенных неизвестных;

этап 2: исключение выделенных неизвестных;

этап 3: выражение исключенных выделенных неизвестных через оставшиеся в дифференциальной системе выделенные неизвестные.

Первый этап выполняется, если среди алгебраических уравнений системы есть такое, в которое входит какая-либо невыделенная неизвестная с ненулевым коэффициентом. Этот этап состоит из следующих шагов:

1. Из множества алгебраических уравнений выбрать уравнение, в которое какая-нибудь невыделенная неизвестная входит с ненулевым коэффициентом.

2. Используя выбранное на предыдущем шаге уравнение, произвести исключение этой невыделенной неизвестной из всех остальных уравнений системы как дифференциальных, так и алгебраических.

3. Использованное алгебраическое уравнение удалить из системы.

4. Если в системе остались алгебраические уравнения, в которые входят невыделенные неизвестные с ненулевыми коэффициентами, то вернуться к шагу 1.

В терминах операторных матриц исключение, выполняемое на шаге 2 первого этапа, можно описать как домножение операторной матрицы, соответствующей дифференциальной системе, слева на унимодулярную матрицу. Представим операторную матрицу, соответствующую системе, в виде

L11 . . . L1m

L

L

m1

Lm

Будем считать, что используемое алгебраическое уравнение соответствует ш-й строке этой матрицы (огёЬту = 0 для з = 1,...,ш), Ьтт = 0 ш

гда можно добиться перестановкой уравнений и перенумерацией неизвестных). Соответствующая унимодулярная матрица будет иметь вид:

U =

1 0 0 '•.

0 ...

_Т т-1 L1mLmm

1 —Т Т-1

1 Lm 1,mL

0

Jm-1,mT 1

(5)

Если после первого этапа в системе не осталось алгебраических уравнений, то алгоритм заканчивает свою работу. Если же еще остались алгебраические уравнения, то в них с ненулевыми коэффициентами будут присутствовать только выделенные неизвестные. Исключение из дифференциальной части некоторых из выделенных неизвестных осуществляется на втором этапе работы алгоритма.

Второй этап состоит из следующих шагов:

1. Из множества алгебраических уравнений выбрать произвольное уравнение.

2. Используя выбранное уравнение, произвести исключение какой-либо выделенной неизвестной, входящей в это уравнение с ненулевым коэффициентом, из всех остальных уравнений системы также, как и на шаге 2 первого этапа.

3. Использованное уравнение удалить из системы. Впоследствии (на третьем этапе алгоритма) оно найдет применение для выражения выделенных неизвестных, не вошедших в результирующую дифференциальную систему, через оставшиеся в ней выделенные неизвестные.

4. Если в системе остались алгебраические уравнения, то вернуться к шагу 1.

На заключительном третьем этапе алгоритма строится матрица Т, посредством которой выделенные неизвестные, не вошедшие в результирующую дифференциальную систему, выражаются через выделенные неизвестные, вошедшие в Т

I — числу выделенных неизвестных, не вошедших в результирующую дифференциальную систему (что соответствует числу исключений на втором этапе), а число столбцов равно числу выделенных неизвестных, попавших туда.

Третий этап состоит из следующих шагов:

1. Если на втором этапе были удалены все выделенные неизвестные, то

Т=

0

0

алгоритма), поэтому они исключаются. Тем самым осуществляется переход к матрице II е К1хк, где к — количество выделенных неизвестных в исходной системе.

4. Оставшиеся столбцы упор

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»