РАСПЛАВЫ
5 • 2008
УДК 546.65-14:538.913
© 2008 г. А. И. Киселев
СКОРОСТЬ ЗВУКА В РАСПЛАВАХ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ МЕТАЛЛОВ В МОДЕЛИ КОЛЛЕКТИВНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
При изучении дисперсионных зависимостей частот коллективных колебаний ионов получены значения скорости звука и изотермической сжимаемости. Предложен альтернативный подход для расчета скорости звука, основанный на использовании данных о структуре расплава.
Результаты расчета дисперсии частоты фононов щ и скорости звука для расплавов редкоземельных металлов (РЗМ) первоначально получены в работе [1]. Использовались потенциалы межионного взаимодействия, рассчитанные с модельным потенциалом Ашкрофта. Обменно-корреляционные эффекты в подсистеме электронов проводимости учитывались в приближениях подходов Хаббарда-Шэма, Вышишта-Сингви и Шоу. В работе [1] показано, что вид функциональной зависимости частоты от волнового числа и значения скорости звука существенным образом зависят от характеристик потенциала межионного взаимодействия (ПМВ).
При анализе соответствия результатов использования модельных представлений и экспериментальных свойств расплавов ключевым моментом является правильное описание потенциала межионного взаимодействия. Отметим, что характеристики ПМВ (глубина и положение первого минимума) определяются видом функции учета обмен-но-корреляционных эффектов [2]. Так как непосредственное определение вида потенциала межионного взаимодействия в настоящее время невозможно, то представляется актуальным продолжать исследования модельных ПМВ при расчете конкретных физико-химических свойств металлов. При этом именно оценка динамических характеристик расплавов приносим наиболее объективную информацию о характеристиках потенциала межионного взаимодействия в области первого минимума.
Модельные характеристики подхода "вариационного параметра". В работе [3] описаны основные положения подхода вариационного параметра (ВП), в котором предложено учитывать обменно-корреляционные эффекты в поляризации системы электронов проводимости металлов с помощью вариационного параметра Ау. При этом функция учета этих эффектов предложено записывать в виде
/ВП( () = Ау (2/ ((I + к), (1)
где ( - волновое число, Ау - вариационный параметр, который был принят С. Хаббардом
2
[4] равным 0.5 для всех металлов. Параметр экранирования к 8 приравнивался значению
X2 = 4 п в2 Щ( Ер), (2)
где Щ(Ер) - плотность состояний при энергии Ферми ЕР. Плотность состояний вычисляется во втором порядке теории возмущений.
Таблица 1
Модельные параметры расплавов РЗМ при температуре плавления
РЗМ Ау тс, ат. ед. п й, ат. ед. РЗМ Ау тс, ат. ед. п й, ат. ед.
8с 0.8750 1.6378 0.5006 5.643 оа 0.5991 1.7043 0.4931 5.972
У 0.7400 1.7327 0.4754 6.004 ТЬ 0.5950 1.6943 0.4930 5.928
Ьа 0.8337 1.6364 0.4307 5.996 Оу 0.6000 1.7044 0.4985 5.917
Се 0.6326 1.6214 0.4736 6.008 Но 0.6103 1.7203 0.5036 5.917
Рг 0.6515 1.6434 0.4687 6.014 Ег 0.6416 1.7150 0.5042 5.884
Ш 0.6121 1.6516 0.4788 5.986 УЬ 1.0000 1.7823 0.4636 6.345
8ш 0.5045 1.7141 0.5118 6.054 Ьц 0.8141 1.6854 0.4970 5.758
Ей 0.9900 1.9780 0.5047 6.840
В настоящей работе экранирование в (1) учитывается в виде
/ (д) =
(3)
д + 3(д, кР)
где кр - радиус сферы Ферми, а функция экранирования 3(д, кр) представлена в виде [5]
3(д, кР) = К
1
+
, 2 2 4кР- д
8 кРд
1п
д + 2 к 1
д - 2 к1
(4)
Связь с экранированием теории Томаса-Ферми в виде уравнения (1) получается, если аппроксимировать функцию 3(д, кр) ее значением при д = 0. Здесь и в дальнейшем используется система атомных единиц Хартри.
При определении величины вариационного параметра Ау использовался критерий сближения начальных приближений, положенных в основу применяемых теории псевдопотенциала (модельный потенциал Ашкрофта) и термодинамической теории возмущений (вариационного подхода Мансури-Кэнфилда). Требование близости расположения минимума потенциала межионного взаимодействия ф(К) и максимума функции радиального распределения g(R) жидкости твердых сфер достигается при определении вариационного параметра Ау из условия совпадения экспериментальных значений поверхностного натяжения расплавов и его расчетных значений, полученных в рамках приближений Борна-Грина.
Модельные параметры (вариационный параметр Ау, радиус модельного потенциала Ашкрофта гс, коэффициент упаковки п и диаметр й модельной жидкости твердых сфер) приведены в табл. 1. Видно, что вариационный параметр Ау изменяется не намного для большого числа редкоземельных металлов и близок к значению, постулированному С. Хаббардом. Его значения существенно больше для металлов, отнесенных к переходным, таким как 8е, У, Ьа и Ьц, и для металлов с валентностью два, таких как Ей и УЬ.
Общий вид потенциалов межионного взаимодействия РЗМ сходен с ПМВ расплава церия (рис. 1), полученного с модельными параметрами табл. 1.
Я, ат. ед.
Рис. 1. Потенциал межионного взаимодействия ф(Л) расплава церия.
Рис. 2. Положение первого минимума ф(Л) расплавов РЗМ.
8с У Ьа Се Рг Ш 8ш Ей Оё ТЬ Бу Но Ег УЬ Ьи
Рис. 3. Глубина первого минимума ф(Л) расплавов РЗМ.
На рис. 2 показана зависимость изменения положения первого минимума ПМВ в ряду редкоземельных металлов, а на рис. 3 - изменение глубины фшЬ первого минимума. Из них видно, что выделяются характеристики ф(Я) тех металлов, которые отличались повышенными значениями вариационного параметра. Наблюдается достаточно равномерное изменение характеристик ф(^) для подгрупп легких (Се, Рг, №) и тяжелых (Оё-Ег) редкоземельных металлов. При этом положение первого минимума ф(Е)
Рис. 4. Изменение параметра ^ в ряду расплавов РЗМ.
Ь
Рис. 5. Дисперсии частоты продольных (Ь) и поперечных (Т) колебаний ионов жидкого церия.
расплавов двухвалентных европия и иттербия выделяется - в сторону больших, а для расплавов скандия и лютеция - в сторону меньших значений.
При создании феноменологической теории квантовых жидкостей, Л.Д. Ландау записал межчастичные взаимодействия в электронной подсистеме по отношению к средней кинетической энергии в виде ряда безразмерных параметров [6]. В нашем случае первый член этого ряда может быть представлен в виде
* 4 жЛу М(БР)
= —2-• (5)
к Р + 4 п^ (£Р)
§
Изменение параметра межчастичного взаимодействия в ряду расплавов РЗМ приведено на рис. 4. Характер этого изменения близок к виду изменения глубины первого минимума ф(Е) для всех РЗМ, исключая европий и иттербий. В виду того, что вариационный параметр определяется полуэмпирически, можно предположить, что часть взаимодействий, приводящих для этих металлов к двухвалентному состоянию, в отличие
Таблица 2
Скорости звука расплавов редкоземельных металлов
РЗМ Сь Ст С СН8 [1] С [9] Сэксп [10]
м/сек
8е 6660 4335 4754 - -
У 4860 3066 3374 - - -
Ьа 3154 2090 2286 2231 2080 2022
Се 3156 2004 2204 1918 1910 1676
Рг 3270 2263 2461 2071 1800 1925
Ш 3544 2162 2388 1951 2200 -
8ш 3785 2192 2433 - - -
Еи 2672 1680 1849 2409 1860 -
Оё 3090 1911 2108 1554 2240 -
ТЬ 3214 1950 2155 - 2120 -
Оу 3146 1917 2118 2238 2130 -
Но 3179 1939 2141 - 2560 -
Ег 3372 2030 2245 - 2450 -
УЬ 2420 1460 1614 2135 1920 1274
Ьи 2946 1941 2125 3182 2380 -
от трехвалентного для остальных РЗМ, включается в обмено-корреляционный вклад
с8
во внутреннюю энергию, что и приводит к завышенным значениям параметра г 1 .
Сейчас, когда мы определили модельные параметры и характеристики ПМВ расплавов РЗМ, перейдем к исследованию их динамических свойств.
Динамические характеристики коллективных колебаний ионов. Здесь, как и работе [1], использовался подход [7], в котором в иерархической цепочке уравнений для фо-нонных функций Грина было взято среднее по конфигурациям и произведено расщепление цепочки в низшем порядке. При этом специфика ближнего порядка расплавов учитывалась введением функции радиального распределения g(R) жидкости твердых сфер.
Дисперсии частоты коллективных колебаний (в продольном юь и поперечном юТ направлении относительно направления распространения фонона) для ионов жидкого церия, полученные с модельными параметрами табл. 1, приведены на рис. 5. На нем же приведено положение волнового числа Дебая. Это максимальное значение, до которого величины частот коллективных колебаний учитываются при расчете термодинамических свойств системы фононов. Отсутствие дальнего порядка в расплаве проявляется в том, что дисперсия частот юЬ и юТ имеют близкий вид: линейную зависимость при малых волновых числах к (область распространения звуковых волн) переходящую в осциллирующие функции, стремящиеся к некоторому асимптотическому пределу.
При аппроксимации зависимостей дисперсии частоты в область длинных волн (при к ^ 0) мы приходим к описанию распространения упругих волн в сплошной среде. И
Таблица 3
Динамические коэффициенты сжимаемости расплавов РЗМ (1011 м2/Ы)
РЗМ Кт К8 У Кт [9] РЗМ Кт К8 У КТ [9]
Бс 1.933 0.841 2.299 - оа 2.743 1.344 2.040 3.07
У 2.158 1.013 2.131 - ТЬ 2.362 1.202 1.964 3.40
Ьа 4.077 1.692 2.410 4.29 Оу 2.391 1.207 1.981 2.97
Се 3.317 1.533 2.164 4.64 Но 2.287 1.153 1.983 1.92
Рг 3.979 1.439 2.765 5.23 Ег 1.922 0.993 1.936 2.28
Ш 2.293 1.155 1.985 3.41 УЬ 4.934 2.540 1.942 4.48
Бш 1.702 0.941 1.809 - Ьи 2.805 1.182 2.374 1.88
Ей 5.773 2.730 2.114 6.46
предел производной частоты фонона по волновому числу для к ^ 0 определяется как скорость звука Сьт, т.е.
СЦТ) = Нш (ЭюЦТ)/Э к) • (6)
4 ; к ^ 0 4 ;
Значения продольной СЬ и поперечной СТ составляющих скорости звука расплавов РЗМ, полученные при численном дифференцировании дисперсионных зависимостей частот коллективных колебаний ионов, приведены в табл. 2.
В модели изотропного континуума [8] проводится усреднение по скоростям акустических колебаний в различных направлениях с помощью соотношения
С = 31 Си • (7)
С X Сх
где индекс X (= Ь или Т) обозначает суммирование по различным ветвям фононного
спектра. Значения средней скорости звука С также приведены в табл. 2. В связи с тем, что в расплаве имеется две идентичных ветви поперечных колебаний, эти значения более близки к скорости звука поперечных колебаний.
В табл. 2 приведены также продольные состав
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.