УДК 550.831.017
СКРЫТАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ ДАННЫХ
© 2014 г. А. И. Кобрунов
Ухтинский Государственный технический университет, г. Ухта E-mail: aikobrunov@gmail.com Поступила в редакцию 04.06.2013 г.
Изучаются аналитические свойства решений обратной задачи гравиметрии в рамках аппроксимаци-онного подхода и метода линейных интегральных представлений. Выявлен и изучен новый эффект наследования специфических аналитических свойств в решениях, получивший название "эффект скрытой эквивалентности". Его влияние в существенном сказывается на содержательности полученных при решении обратных задач результатов для сложных моделей сред и должно быть учтено при геологической интерпретации гравиметрических данных. Эффект скрытой эквивалентности изучен как в линейной так и нелинейной постановках обратной задачи. В качестве примера нелинейной задачи рассмотрена обратная структурная задача гравиметрии. Показана связь уравнений границ с краевыми значениями гармонических функций. Предлагаются способы учета возникающих эффектов дополнением аппроксимационного подхода для сложных условий (модели сред с пространственно распределенными параметрами), критериальными и динамическими принципами.
DOI: 10.7868/S0002333714020045
Вычислительной основой, обеспечивающей эффективность интерпретации гравиметрических данных, служит решение обратных задач [Страхов, 1962; Страхов, 1998], суть которых состоит в нахождении плотностной модели изучаемой среды в выделенной области по известному ее гравитационному влиянию вне этой области. Хорошо известно, что эта задача в высшей степени некорректна. Во-первых, ее решение не удовлетворяет ни одному из условий корректности по Адамару [Иванов, 1978]. Во-вторых, также и само выделение компоненты гравитационного поля [Магницкий, 1949], имеющей источниками массы, сконцентрированные исключительно в выделенной, изучаемой области — задача, недоопре-деленная, решаемая с большой долей приближения и зачастую при жестких ограничениях. Ее предмет — это редуцирование гравитационных полей, которое выполняется, как правило, многократно и относится к числу методических приемов анализа гравитационного поля [Андреев, 1962].
Основным предметом рассмотрения настоящей работы служат свойства решений собственно обратных задач вне проблем редуцирования. Причина пристального к ним обращения состоит в том, что аналитические свойства получаемых решений, неявно наследуемые в алгоритмах решения обратных задач гравиметрии, могут превалировать над их геологической содержательностью, самым радикальным способом сказываясь на достоверности и эффективности геологической интерпретации результата.
Основным приемом решения обратных задач служат методы, основанные на аппроксимацион-ном подходе [Страхов, 1999], служащим обобщением и формализацией широко распространенных методов подбора [Юньков, 1958; Страхов, 1964]. Главной проблемой виделось увеличение аппроксимационных возможностей используемых конструкций и преодоление возникающих при этом эффектов неустойчивости [Страхов, 1999]. Тем не менее, при практической реализации методов решения линейных обратных задач гравиметрии в рамках методов подбора (аппрок-симационный подход) в определенных условиях проявлялись специфические эффекты в решениях [Кобрунов, 1983] типа концентрации аномальных масс у границ изучаемого объекта, которые лишали содержательности и возможности осмысленной интерпретации получаемых результатов. Чаще всего коррективы вносились на этапе геологической интерпретации "ручным" способом, однако преодолеть их отрицательное влияние не удавалось. Это сдерживало применимость ясных и удобных для реализации методов подбора при изучении сложно построенных сред и, в конечном итоге, вело к получению заведомо ошибочных результатов. Эффекты проявления специфических аналитических свойств в решениях обратных задач, основанных на аппроксимационных конструкциях в условиях, когда эти конструкции еще не выходили за класс единственности, получили название эффектов скрытой эквивалентности [Кобрунов, 2008]. Эти эффекты имеют причиной существование у исходной обратной задачи
53
4*
широкого класса эквивалентности — т.е. семейства эквивалентных решений. Для линейных задач этот класс образует линейное подпространство в пространстве распределений плотности. На используемой аппроксимационной конструкции такой эквивалентности нет. Она строилась, имея в виду некоторый образ реальной модели. Но может так случиться, и случается на самом деле, что среди элементов эквивалентных по полю реальной модели есть иной, совершенно чуждый геологическим установкам — формальный элемент, который выбранной аппроксимационной конструкцией подбирается лучше, чем истинный. В итоге, в качестве решения обратной задачи в классе аппроксимационных моделей будет получено приближение не к истинной модели, а к этому формальному и геологически чуждому распределению. Это тонкий эффект, слабо поддающийся анализу и управлению, но, тем не менее, существенно ограничивающий применимость методов основанных на аппроксимационном принципе.
Настоящая работа посвящена изучению эффекта скрытой эквивалентности в гравиметрии и выработке контр мер для его преодоления.
ЭФФЕКТ СКРЫТОЙ эквивалентности.
ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
Пусть в выделенной области V нижнего полупространства г > 0 (используется традиционная прямоугольная декартова система координат XYZ с осью OZ, направленной вниз) искомое распределение плотности а (V): V = (х, у, по вертикальной производной гравитационного потенциала и ): s0 = {х0, у0}, заданной на поверхности г0 =
= V (Xо, Уо):
= J
= (1)
Av [ст (v), | (xo, Уо)] = ст (v) (г - | (xo, Уо)) dxdydz_
[(x - Xo)2 + (y - Уо)2 + (z - | (xo, Уо))2]3/2 = u (xo, Уо ) Y '
Y — гравитационная постоянная.
В частности, для задач анализа можно считать, без существенного влияния на результат у (xo, Уо) = = z0 > 0 = const, что приводит к:
J
А [a(v)] _
a (v )(z - z0) dxdydz
[(x - Xo)2 + (y - Уо)2 + (z - Zo)2]
3/2
(2)
_ Uz (Xo, Уо) _
Кажущимся обобщением в вопросах исследования эквивалентности служит рассмотрение пои, (-0, Уо) =
ля
Y
= u(s0), заданного в конечном множе-
u(so).
стве точек либо системы функционалов от поля. Однако на самом деле эти рассмотрения только расширяют эффекты эквивалентности и проявляющиеся для (2) проявляется и во всех этих частных случаях. Такое обобщение легко выполняется и сводится к цепочке включений классов эквивалентности и классов единственности по иерархии способов задания наблюдаемой u(s0). Эти вопросы, а также аналитические свойства оператора (1) достаточно полно изучены [Кобрунов, 1985]. В частности, известно, что для любой ограниченной области V, (2) есть вполне непрерывный оператор из Lp(V) в Lq (E0): E0 = -да < x0, y0 < да; 1 < p, q < да, а для неограниченной области, V включаемой в полосу П: 0 > z1 > z2 < да вполне непрерывен при условии 1 <p < q < да.
Хорошо известны и формализованы принципы, лежащие в основе методов инверсии апрок-симационного типа [Кобрунов, 2008]. В главном они включают следующие две компоненты:
• содержательную аппроксимационную конструкцию M, среди элементов которой m ищется решение обратной задачи;
• функционала /[ ], минимизация которого реализует технологию нахождения квазирешения:
J [AV [ст (v)], u (s0)] ^ min. (3)
a(v)eM
Должны выполняться следующие условия:
1. Конструкция M должна быть содержательна относительно неизвестного распределения ст1 (v), которое отражает реальную геологическую модель. Предполагается, что найденное в дальнейшем квазирешение m1 на M располагается в окрестности
этого распределения: ||ст1 (v) - mj < s, где s достаточно мало.
2. Конструкция M должна быть классом единственности: из е M; AV = AV [2,2] следует
= ^
3. Функционал (3) сильно выпуклый на M. В частности:
J [Av [ст (v)], u (so)] = |\Av [ст (v)]- u (so)||2. (4)
Содержательность аппроксимационной конструкции включает в себя помимо допустимой величины меры содержательности s, норму пространства X, относительно которой минимизируется мера содержательности.
Из условий 2 и 3 следует единственность решения задачи (4), которое обозначим m2. Для пары
банаховых пространств Xи Y, в которых AV [ст (v)]
замкнут, и образ этого оператора вкладывается в банахово пространство У: 1т Лу [а (V)] с У; если множество 0.и (Лу, X) = (а(V) е X: Лу [а(V)] = = и )} — класс эквивалентности для оператора Лу [а (V)], то 0.и (Лу, X) замкнуто и существует единственная проекция ст2 элемента т2 на
(Пи (Л, X) с с Пи (Лу [а (V), у (*о, У о)], X). Таким образом, в результате построения квазирешения на М для обратной задачи для (2):
Лу [а (V)] = и (5о ); а (V) е М,
будет получен элемент т2, аппроксимирующий не то реальное распределение а! (V), под которое "подстраивалась" аппроксимационная конструкция М, а некоторый иной элемент ст2 (V) из класса эквивалентности 0.и (Лу, X), который может оказаться весьма далеким от "запланированного" а! (V). Пара т2 и ст2 (V) представляют собой реше-
(5)
ние задачи:
||ст2 (V) - т2\\ = ||ст(V) - т^ ^ тт,
(6)
а^)еОи (Лу .X),
т^М
которое при достаточно универсальных аппрок-симационных конструкциях М весьма чувствительно к выбору нормы в X.
Попытка геологической интерпретации полученного квазирешения т2, а по существу элемента из класса эквивалентности ст2 (V), обречены на получение ошибочных заключений. Таким образом, построение единственного квазирешения на аппроксимационной конструкции, где нет явной эквивалентности, в том числе и практической, может привести к аппроксимации совершенно чуждого геологическому смыслу, заложенному в выборе содержательной конструкции М, результату. Этот эффект называется эффектом скрытой эквивалентности.
Следующие свойства классов эквивалентности почти очевидны, и, тем не менее, полезны для оперирования этими понятиями:
1. Если М с N с X, то 0.и (Лу, М) с Пи (Лу, Ж) с с 0.и (Лу, X) при общем носителе К элементов из М, N, X.
2. Если Ж с V, то 0.и (Л,у, X) с Пи (Лу, X).
3. Ортогональная проекция Р^у) (а (у), О) в Ь2(У) распределения плотности а(V) на подпространство О гармонически
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.