научная статья по теме СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ СЛОИСТЫХ ТОНКИХ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ, СОСТОЯЩИХ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ Математика

Текст научной статьи на тему «СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ СЛОИСТЫХ ТОНКИХ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ, СОСТОЯЩИХ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 73. Вып. 5, 2009

УДК 539.3

© 2009 г. Л. А. Агаловян, Р. С. Геворкян

СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ СЛОИСТЫХ ТОНКИХ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ, СОСТОЯЩИХ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Исходя из трехмерных уравнений теории термоупругости, асимптотическим методом в общей постановке выведены и решены двумерные уравнения для слоистых тонких тел. Тела и слои, состоящие из анизотропных и неоднородных (по двум продольным координатам) материалов, ограничены произвольными гладкими непересекающимися поверхностями и имеют переменные толщины. Выведены рекуррентные формулы для определения компонент тензора напряжений и вектора перемещения, когда на лицевых поверхностях тела заданы кинаматические или смешанные граничные условия статической краевой задачи теории термоупругости в предположении, что решена соответствующая задача теплопроводности. Разработан алгоритм построения аналитических решений поставленных краевых задач с помощью современных вычислительных средств.

Асимптотический метод решения смешанных краевых задач теории термоупругости для анизотропных полос, пластин и оболочек оказался эффективным для решения как статических [1— 7], так и динамических [8—10] задач. В некоторых случаях, когда функции, заданные на лицевых поверхностях, являются многочленами, после конечного числа шагов итерационый процесс обрывается и приводит к математически точному решению для полосы и слоя [7]. Целесообразно использовать предложенный асимптотический метод и возможности современной вычислительной техники для вывода универсального алгоритма, пригодного для определения напряженно-деформированного состояния произвольного тонкого тела, состящего из анизотропных неоднородных слоев.

1. Постановка краевых задач. В системе координат Охуг рассматривается тонкое тело, состоящее из п слоев, ограниченных гладкими непересекающимися поверхностями

Фо(х,у) < ф1 (х,у) < ф2(х,у) < ••• < фл_ 1 (х,у) < фл(х,у)

X < а, |у| < Ь (или |х| < ад, |у| < ад)

Слои состоят из различных анизотропных (21 коэффициент упругости) и неоднородных по координатам х, у материалов. Считается, что коэффициенты упругости материалов слоев не различаются порядком.

К слою под номером I приложены заданные объемные силы

Р()(х,у, I), 3 = х,у, г, I = 1,2,...,п

а также температурные воздействия, влияние которых учитывается по теории температурных напряжений согласно закону Дюамеля—Неймана [11] в предположении, что температурная функция удовлетворяет уравнению теплопроводности, соответствующим граничным условиям и условиям контакта слоев из анизотропных и неоднородных материалов.

Пусть на одной лицевой поверхности тела (поверхности слоя под номером ' = 1) г = ф0 (х, у) заданы компоненты вектора перемещения, в частности, она может быть жестко закреплена (вектор перемещения равен нулю):

г = фо: иу = и] (х, у), у = х, у, г (1.2)

а на противоположной лицевой поверхности г = фп (х, у) заданы статические условия первой краевой задачи теории упругости

(1.3)

г = ф-: о ух сс^Эдах) + а]у со<9„ у) + аи со<9„ г) = ф Зу- (x, у) у = х, у, г

кинематические условия второй краевой задачи

г = ф-: иу = и](х,у), у = х, у, г (1.4)

или одна из комбинаций ((1.5) или (1.6)) смешанных условий

г = Ф- : иу = и) (х,у), у = х, у

Охг ^ х) + Оуг CCS у) + CCS г) = Ф3г (х, у) г = ф- : иг = и+ (х, у)

а ух ^ (3-, х) + а;у ^(3-, у) + ауг ^(3-, г) = Ф3у (х, у), у = х, у Здесь

<^(9,,х) = --1 ^ = -1^(x, y), со<9, г) = -1

К, дх к, к, '=1,2.....-

(1.5)

(1.6)

(1.7)

Ф3у (х, у), и у (х, у) — заданные достаточно гладкие функции.

Требуется определить напряженно-деформированное состояние тела, если между слоями выполняются условия полного контакта

I (') (' +1)\ / (') (' +1)\ (') (' +1) п

г = Ф, : (ст^ -а)х ') V х + (^у -ъ)у ) У'у + -ъ)х '= 0 (18)

и() = и( +1), у = х,у,г, ' = 1,2,...,п -1

Решение должно удовлетворять также условиям на торцах тела. Эти условия не приводятся, поскольку было доказано [12,13], что они не влияют на внутреннее решение сформулированных краевых задач, ими обусловлено появление пограничного слоя, значения величин в котором экспоненциально убывают по направлению внутренней нормали к торцу.

2. Вывод разрешающих уравнений и общий интеграл. В уравнениях равновесия при учете объемных сил

^ + ^ + ^ + д = 0 (х, у, г) (2.1)

дх ду дг

и в уравнениях состояния (обобщенный закон Гука) при учете температурных деформаций [11]

^ = ei + ane, ^ + = e4 + а238 (x,y,z; 1,2,3;4,5,6; а23,ai3,ai2) dx dz dy (2.2)

em = a1m®xx + a2m®yy + a3m®zz + a4m°yz + a5m®xz + a6m°xy, m = 1, 2, •••, 6

где считается , что ay (x, y) = aц(x, y), ay (x, y) = ay (x, y), 9 = T - T0 — приращение температуры, перейдем к системе безразмерных координат £, n, Z и безразмерным перемещениям по формулам

x = l^, y = /ц, z = hZ = lsZ, £ = h/l, ux = lu, uy = lu, uz = Iw h = Sup|ф(--ф,h ^ l = min{a,b}, i = 1,2,...,n

где e — геометрический малый параметр, указывающий на относительную тонкость рассматриваемого слоистого тела.

Для произвольного i -го слоя получим

^ + daУ + е-1 ^ + lj - о, j - x, y, z

д£, дп дЦ

^ - $ + а1^ (,п; u,и; 1,2), е-1 ^ = e?> + a3)e(i)

П П dZ (2.4)

е-1 Чг + ^ _ # + а(23е(0 ((, П; u, и; 4,5; а23, а13) дц дп

du{i) +ди(i) _ e(i) + а(,)е(,) дп дс,

Система уравнений и соотношений (2.4) сингулярно возмущена геометрическим малым параметром е. Следовательно [4—7, 12—15], решение складывается из двух решений: внутреннего (основного) решения, доминирующего внутри области занимаемой телом, и решения задачи для пограничного слоя , которое экспоненциально убывает по направлению внутренней нормали к торцам [4, 7]. Здесь строится внутреннее решение. Решение для пограничного слоя можно найти изложенным ранее [4, 7] способом.

Решение внутренней задачи ищется в виде асимптотического разложения [1,4,7] Q® = £е+ SQ('•s)n,Z) i = 1,2,...,n; Xu = 0, Xa = -1 (2.5)

s = 0

где Q^-1 — любое из напряжений и безразмерных перемещений.

Одновременно объемные силы и температурная функция представляются в виде

Px = X£-2+sl-^(Л,П, Z) (x,y,z), e(i) = XE-1+seSi')(i;,n, Z) (2.6)

s = 0 s = 0

Из представлений (2.6) следует, что порядок величин, соответствующих напряженно-деформированному состоянию, вызванному объемными силами и температурным полем, будет порядка величин, соответствующих напряженно-деформированному состоянию, созданному перемещениями и усилиями, приложенными на лицевых поверхностях, если интенсивность объемных сил будет в е 2 раза, а интенсивность изменения температурного поля в е 1 раза больше порядка граничных безразмерных пере-

мещений. В противном случае вклад первых будет меньше и соответствующие слагаемые будут фигурировать в уравнениях для более высоких приближений. Отметим также, что асимптотика (2.5) верна, если коэффициенты упругости слоев не различаются порядком. При наличии исключительных случаев несложно установить соответствующую асимптотику.

Подставив выражения (2.5), (2.6) в систему (2.4) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е в обеих частях каждого уравнения, получим непротиворечивую

систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов Q'л) разложения (2.5). Решив эту систему, придем к следующим рекуррентным формулам для определения

0(' , л)

v , т.е. компонент тензора напряжений и вектора перемещения:

Л^л) _ Л^ л)/

= ст )хо(^,Л) +

ст хх = Т1

Л',л) _ Г

ст

хх*

М' *)<

у*)(^ п О' у = x, y, г '(£, п, С) (хх, уу, ху;1,2,6)

= £х5'+ и('(£, п) + и*"(£, п, С) (и, и, w; 5,4,3)

тт = лт3стгг0 + Ат4стугО + Ат5стхгО , т = 1,2, •••,6

Здесь

(2.7)

уг*

ч

С/5с(('«-1)

Я С' « -1)

дп

+ Ру

^, у = х, у, г

ам = ^(Л«). ам = ФС'«).

^М'л) -я2гМ'л) ■

■ в^'л)

д (Оп С'л)

■ д66п3

(х, у;1,2)

С,«)

и* ) =

(л)+ а( Ое« I ^

5*

(£, п; и,и;1,2;5,4)

„С,«) =

I еЗ*;л) + а(М ^

(■' л) (■) (■■' л)

е 1 = ат1о ' ■

т* т1 хх*

,(0.оС'«).

уу*

,(0)оС.«).

гг*

,(0 „(■'«) о , ■

уг*

е'.'."' = ат!^+ ат^о+ атзогу/ + ат^оу-' + ат$о+ ат'йОУ':..', т = 3,4,5

,0 оС'«)

^ -Т

хг*

-О оС'«)

т6 ху*'

(г, л) _ ди'

(■'« -1)

дР

ЛО^'л) ^Ц7'л) a('■)^('■'л) „ЙоЙ (1 2- ,, ,,• р

(■' л)

ди('л 1) , 5 и

гг*

(' л)

(■■) (■■' л)

гг*

.(О^С' л).

уг*

а36с^ - а46*уи - а56ахи -«1.

дп др

(а«а(к - ар>ай)Д^^ ^ у ф к ф р) (а ( - а (у2 )а«

\Uppijj " р)

(■■) (■■' л)

хг*

(0о(0

ПС' _

дру -д (■■) =

дкк -

- ару2))

яру1 - я(р; р,у,к - 1,2,6

А(■■) --а«д(■■) - а«2дС) - аС)в(■) лк1 - а11дк1 а21 дк2 а61дк6

4)-+атм)++ат, 4*1т-3,4,5, 1,2,

А0 - а(■)а(■)а(■) + 2а(%(%(■) а(■)а(1)2 а(%(1)2 (1)а(1)2 а - а11а22а66 + 2а12а16а26 - а22а16 - а66а12 - а11а26

(2.8)

0

С

0

0

.. п

Полученный общий интеграл системы уравнений (2.1), (2.2),(2.4) содержит 6п неизвестных пока функций интегрирования

1 (4п) } = х'у'г, ио''(^п), 4''w(o• (^ц); ' = п

которые однозначно определяются из условий контакта слоев (1.8) и граничных условий (1.2)—(1.6), что свидетельствует о корректности поставленных краевых задач и эффективности асимптотического метода решения.

3. Решения поставленных краевых задач. Удовлетворив условиям контакта слоев (1.8), определяем 6(п -1) функций интегрирования

£'■ = Ф'А : ^ = +1-у)((Л4 + 1)^ - + 4+5)((А(? + 1)У'у - Л*) +

+4 + М(( - л(5 + 1)(М22 + ())Л

= [^1'5) ( - X + 4+1' 5)(а(3) 'X - +1)) +

+4+1-')((М15) + 1)Л3 - ММ))]/АЛ

= +1'5) ( „ - (4) +1)) + 4+1 ^ - * 'у) + +4+^ (( +1) - ЛМ)

+1'') = „о1'5) + X с * (к5) - т(к+1'5)) + X ((' % к) - +1' % к)) (3.1)

к = 1 к = 1

(и,и,"^;5,4,3), ' = 1,2,..,п -1 Здесь

Мк = Акуы + у А*0 - V* + 4+ V (1,2; X, у)

РXX - Л13 zz0 + Л14 уго + (л15 + xг0 ^

(3.2)

Руу - л23 гго + (л24 + уго + л25 хго +ту* - игго + V'у + Стхго Vх + т

=(^(х*1' ^ - ')))х+1' 5)(с ^ - ^')) ^, +

+(о^*1'5^д '))' 1 = X' у, г

дЛ = л14)л25 - (л15) + 1)(л24+1)+у 'у (л23(л15)+1) - л1М5) + (А(3)(Л24)+1) - ЛМ3)' / = 1' 2' п -1

Три функции интегрирования ио1'п), ^о1' п), ^о1' п) определяются из граничных условий (1.2), заданных на лицевой поверхности г = фо (X, у) первого (' = () слоя тела

?о = Фо/к : „о1'= - ^от51'- и*1'(и, и, V; 5,4, 3; и-, ии^)

-(о) -I -(У) / - - -\ (3.3)

и^ ; = и I, = о, у ф о (X, у, г; и , и , V )

А остальные т

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»