научная статья по теме СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ В ПЛАНЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТОРОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК Математика

Текст научной статьи на тему «СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ В ПЛАНЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТОРОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 74. Вып. 3, 2010

УДК 539.3

© 2010 г. М. Г. Асратян, Р. С. Геворкян

СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ В ПЛАНЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТОРОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК

Асимптотическим интегрированием уравнений трехмерной задачи теории анизотропного неоднородного тела решены задачи термоупругости для анизотропной в плане неоднородной тонкой тороидальной оболочки при разных граничных условиях. Выведены рекуррентные формулы для компонент несимметричного тензора напряжений и вектора перемещений. Приведен пример.

Определению напряженно-деформированного состояния тороидальных оболочек в рамках классической теории оболочек посвящено много работ [1]. При учете особенности геометрии тора [2] (переменность знака гауссовой кривизны) ниже решаются смешанные краевые задачи для тонкой тороидальной оболочки. Используется метод асимптотического интегрирования [3—5] уравнений трехмерной задачи теории термоупругости анизотропного неоднородного тела.

Рассматривается тороидальная оболочка, срединняя поверхность которой получена вращением образующей окружности радиуса г вокруг оси 02, лежащей в плоскости окружности на расстоянии ^ от ее центра. Пусть она в тороидальной системе координат занимает область

На фигуре изображены тороидальная оболочка и ее поперечное сечение, где ось у направлена по внешней нормали к срединной поверхности оболочки, 0 — угол между осями у и О2, ф — угол поворота образующей окружности. Области 0 < 0 < п и -п < 0 < 0 поверхности, имеют соответственно положительную и отрицательную гауссову кривизну.

Материал оболочки анизотропный и в плане неоднородный по продольным координатам 0, ф.

Будем рассматривать два случая:

1) на внешней у = к и внутренней у = - к поверхностях оболочки заданы перемещения

е,ф,у = ±к) = и], ] = е,ф,у

(1)

2) на внешней поверхности заданы перемещения

и ( 9, ф, у = к) = 0, ] = 9, ф, у а к внутренней поверхности приложена нагрузка

(2)

а Л 9, ф, у = -к) = а Уу( 9, ф), ] = 9, ф, у

(3)

Z

Поверхность оболочки считается непрерывной и замкнутой, поэтому другие условия не ставятся. На оболочку действует также тепловое поле, влияние которого учитывается по модели Дюамеля—Неймана, и предполагается, что температурная функция О (0, ф, у) известна и удовлетворяет уравнению теплопроводности и соответствующим граничным условиям.

Требуется найти напряженно-деформированное состояние (НДС) оболочки. Запишем в криволинейных координатах уравнения равновесия анизотропного тела с учетом объемных сил и соотношения упругости при учете температурных напряжений

(Н2ИзОаа) + д(ВДОар) + д(ВДОау) - ^(ЛИ -да др ду да

- аууН2дИз + ОарН3дН + ОауН2дИ + РНННъ = 0 (а,р,у;1,2,3) да др ду

' Х.1 И. = я Г| +X

Н, = А^ + RJ, Н2 = В^ + Rj. Нз = 1 И)

co1[eaa - а,п9.... .eafi - = ||а;у||6х6со1[<гаа. .... сар]

/

±дца + 1 дн,и + 1 дн,и e = Нхд_ Н, да Н1Н2 др в Н,Н3 ду Y ав Н2 Н1 да

Ua | + Н2 д

ЦЧ(а,р,у;1,2.3)

VН 2 У

Здесь Н1Н2. Н3 — коэффициенты Ламе, B — коэффициенты первой квадратичной

формы координатной поверхности, R. R2 — главные радиусы кривизны координатной поверхности, aij — коэффициенты упругой податливости, aij (i, j = 1, 2, 3) — коэффициенты линейного теплового расширения, Pa.Pp.Py — компоненты объемной силы.

Для рассматриваемой тороидальной оболочки: а = 9. в = ф, а также А = r. В = R + rsin9. R1 = r. R2 = (R + rsin9)/sine (5)

a¡j = ау(9.ф). i.j = 1.2.....6; aj = а,у(9,ф) Uj = 1,2,3

Компоненты симметричного тензора напряжений о0у = оу0 (9,ф,у) заменяем компонентами несимметричного тензора т0у ^ ту0 по формулам [2, 3]

% = (1 + у/Я2) сеу, % = (1 + у/Щс] у = 9,ф,у, туу = (1 + у/Л])(1 + у/Я) суу (6)

и переходим к безразмерным координатам и безразмерным перемещениям по формулам

% = 0, Л = Ф, С = Х = е-11, и = ^, и = ^, ш = ^, 8 = к < г (7)

к г г г г г

после чего уравнения и соотношения (4) для тора принимают вид ^ + ^(е - Т(р(р) + г ^ + 2х0у + е^ + гРв = 0

56 в у фф; в <Эф °у 1 эс е

^ + ^^ (Т0ф + т ) + г ^ + 2тфу + Е-1Л 2 ^ + гРр = 0

д6 в у °Ф В дф фу в дС, Ф

^ - (Т0е + Тфф ^^^) + г + Т0у + Е-1 ^ + гРу = 0

д6 ^ «у ФФ в ! В дф °у В дс, '

л 2 ^ + wj = е1 +anA9 + sZ Ui

Al I + u cosq + w sin Q I = e2 + a 22лд, + U2 B \ дф )

Al (cu - и COS 9! + Л 2 ди = e6 + апЛЭ + U6

B^дф ) 59

£= e3 +а33Л9 + £С U3 (8)

e- Л1 r (и sin 9 - dw I = e4 + а 23ЛЗ + eZ U4 dZ 1B { дф) 4 23

e-1лдиг - Л2 (u - dw) = e5 + а1зЛ9 + eZ U5

ej = aj1Tee + aj2T<p<p + aj3T уу + ay'4T^Y + aj5TQy + aj6TQ<p

Uj = a1jT00 + + aj4T^y) + aj5TQy + aj6xQí¡; j = 3,4,5,6

Л1 = 1 + е£, Л2 = 1 + Л = 1 + (1 + + e2Z2^

Система уравнений и соотношений (8) сингулярно возмущена геометрическим малым параметром s. Следовательно [2—7], решение складывается из двух решений: внутреннего решения, доминирующего внутри области, занимаемой тонким телом, и решения задачи для пограничного слоя, которое экспоненциально убывает по направлению внутренней нормали к поверхности торцов [6, 7]. Поверхность тороидаль-

ной оболочки непрерывна и замкнута, поэтому здесь строится только внутреннее решение, которое ищется в виде асимптотического разложения [4]

а = хе(5)(9,9,0, хи = о, х„ = -1

(9)

5=0

где б — любое из напряжений и безразмерных перемещений.

Одновременно объемные силы и температурная функция представляются в виде

Ре = XВ-2+*г(е,ф,£)(0,ф,у), 3 = X(6,Ф,0

(10)

Из соотношений (10) следует, что порядок НДС, вызванного объемными силами и температурным полем, будет порядка НДС, созданного перемещениями и усилиями, приложенными на лицевых поверхностях, если интенсивность объемных сил будет

в е 2 раза, а интенсивность изменения температурного поля в е 1 раза больше порядка граничных безразмерных перемещений. В противном случае вклад первых будет меньше, и соответствующие слагаемые будут фигурировать в уравнениях для более высоких приближений.

Подставив выражения (9), (10) в соотношения (8) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е в обеих частях каждого уравнения, получим непротиворечи-

(V)

вую систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов а разложения (9). Решив эту систему, придем к следующим рекуррентным формулам для определе-

А*)

ния а , т.е. компонент тензора напряжений и вектора перемещения:

= # + т|*>*(0,ф,0 (00,фф,0ф;1,2,6) т § = т!*?о(0 ,Ф) + т 0, ф)

УУ*

= т^ф) + т^е,ф,с) (е,ф)

и(5) = Ст5 + «05)(0,ф) + И*5)(0,Ф,С) (и,и,^;5,4,3)

Т Р = Ау3туу0 + Ау'4тч>у 0 + ^у^еу^Ь У = 1,2,•••,6

(11)

Здесь

= ВцР^ + Б^РГ' + ВР3

12Р2

Э16Р3

фф*

= В12Р1(5) + В22Р2(5) + В2бР3(5),

Т« = В1бР1(5) + В2бР2(5) + ВббР3(5)

Л*)

ч

дт

(V-1) фу .

де

(*-1). тее +т

(*-1) Г е , Г дт

фф

В

+ —

0у*

Н

дтее^ + (*-1)

59

В

-т(*-1))+ Г 1фф )т

(*-1) "фу

В дф

дт(*-1)

+ т(,-1) гсС9 + ГРУ + ГЬ

В

dZ

Л*-1)

В дф

+ 2<-1) + + + гь

дС,

-1))

(Г)

dZ

Я

уу

о

о

ФУ*

ч

"я (*-!)„ я (s-1)

дт8ф , Г COS Щ (s-1) (s-1Л, Г дТф

д9

г sin 9

J

B

+ ZdT

B

(s-1) Л

+ Тф8 l+-

B 5ф

+ гРф] + гцр„

(4s-1))

dz

(du{s-1)

V 59

(s) _ 1T [ du(s-1)

P1(s) = L2I ^dT + -(s-1) I - ^ - - a^ - ап( - L(1))) - Z U(s-1) (12)

Pi ' _-L,

2 B l 5ф

+ u( 1)cOS9 + W(S 1)sin9 | - ai3TYy>* - a24TIpY* - a25Tesy)* -

As-1)

-a22 ( - l (4s-1) ))u 2

P3(s) = BL1 - """H + Li(^U^) -- a«C - a*

(s) 0y*

_a12((s) -L(4s-1)))-ZU6

(s-1)

,,(s)

= J

AU5 + Li |u(s-1) dw

.(s-1)

59

dZ, U.s) = J

Л« Ll1{v(s-1)sin9-д u4i B \ 5ф

dZ

-(s) = JaWVZ

Ausn = $ + a„3^(s) + l| a„3^(s-1) | + ZU|s-1)(u,u,w)) l = 3,4,5, n = 1,2,3

5Z

TT(s-1) - a T(s-1) + Г sin Js-1) Uj - a1jTee

(aytq-1 + a¿4%^1)) + a^ 1) + a,^4, j - 3,4,5,6

Bpj = (apkfljk - apjakkyA (p * j * k * p) Bkk = (appajj - a j) Bpj = j p,j,k = 1,2,6 Akl = -a1lBk1 - a2lBk2 - a6lBk6

Aml = amlA1l + am2A2l + am6A6l + amh Aml * Alm, l,m = 3,4,5

A = ацацйбб + 2апаиа2б - a^a^ - a66fl\2 - a^ Через LLL обозначены следующие операторы:

li(q(s-1)) = Q(s-1) + zQ(s-2), l2(q(s-1)) = Q(s-1) + zrsiniQ(s-2)

:(q (s-1)) = z (1 + Г sin 9) Q(s-1) + z 2 Г sin9Q (s-2)

B ! B

Общий интеграл (11) содержит 6S функций интегрирования

Tysyo, j = 9,ф,у, u0s),u0s),W(js)

(13)

(14)

o

z

0

которые однозначно определяются из условий, заданных на поверхностях оболочки.

Удовлетворив кинематическим граничным условиям (1), получаем значения функций интегрирования в виде

м. - w(s)/a*, тМ

М _ B*-V(s) л. b*V(s) л. B*V(s) j -

TyyO -

T^yc - w|s)/a*, t^ - w5

M - uAs)

'/a*,

X* — A33B33 + A34B43 + A35B53

Wy- - B*5K0(s) + B*4K^ + £*3Vf >, j - 3,4,5 u0s) = u+(s) - Ut(s) - u*s)(Z = 1) (u,u,w;5,4,3)

В*к = А]кАп - Л-аАь В* = А]кАк] - А]]Акь Вк* * В* ],к,1 = 3,4,5 (( * ] * к * I)

у(*) = 2(и +(*) - и^ + и*5)(( = -1) - и*5)(С = 1)) (9,ф,у;и,и,м)

и±(5) = и±/Г, и±(5) = 0, 5 > 0 (и,и,м) й(( ) = А]'3туу0 + А]'4тч>-)0 + ^Тоу^ь ./ = 5,4,3

а для смешанных граничных условий (2), (3) они имеют вид

' = ] -]*(с = -1), ] = е,ф,У и05) = и+(5) - ^ - и*5)(^ = 1) (и,и,м;5,4,3)

(15)

(16)

c0YO) = ес-у, j = 8,ф,у, с-1 = -(1 + Ф)есуу, С-)2-1 = Фесуу, oyJs> = 0, s > 2

-(1) _

(2) -,

- (s)

сei1) = —Фес0у, сJ1 = —ЕСту, OjYS) = 0, s > 1, j = 9,ф; Ф =

.-(1)

(s)

r sin 6 B

Приведем примеры напряженно-деформированного состояния ортотропной тороидальной оболочки с точностью двух шагов итерации.

Пример 1. На внутренней поверхности ортотропной оболочки действует нормальное давление, а внешняя поверхность жестко закреплена. Имеем

Y = -h : суу = с = -p, с0у = сфу = 0; у = h : Uj = 0, j = 9,ф,у После первого шага итерации получаем

tee = A13eo, т^ = A23eo, т!;0 = бо, с = -p

= tey = т8 = 0, u<°> = и(0) = 0, w(0) = A33(z - 1)бо А после второго шага

4 = Х1, т« = Х2, xg = ea(Z + 1)(a13 + A23- + rJf

(17)

(18)

= 0, =s(Z +1)

a л + л \rcos8 Л da

a(A13 + a23)—---A13—

B d 9_

x(1) = 0

U« = ^ 1)(Z + 3) 55 2

t л л \rcos9 . da

a(A23 - A13)—---A13—

B d9_

. (Z -1) da (1) n

- sA33—----, v = 0

33 2 d9

(19)

w(1) = A33sc(Z -1)

l , г sin 9\ , j a , , г sin 9\1 , z2 - wi* г sin 9\

I1+~r)+2( A13+A23—j.+£c VIA13+A23 ~r)

Xn = Лп3Т>,С = 0) + A33So(Z - 1)(B1n + B,

A13(An1 + An3) + A23 (An2 + A23)

гsin9\ ,

n2—j +

Гsin91, n = 1,2

B

Akl = -ailBkl - a2lBk2, Akl * Alk, k,l = 1,2

^3 = am1A13 + am2A23 + am3, ^j * j m,j =

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»