ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 74. Вып. 3, 2010
УДК 539.3
© 2010 г. М. Г. Асратян, Р. С. Геворкян
СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ В ПЛАНЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТОРОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК
Асимптотическим интегрированием уравнений трехмерной задачи теории анизотропного неоднородного тела решены задачи термоупругости для анизотропной в плане неоднородной тонкой тороидальной оболочки при разных граничных условиях. Выведены рекуррентные формулы для компонент несимметричного тензора напряжений и вектора перемещений. Приведен пример.
Определению напряженно-деформированного состояния тороидальных оболочек в рамках классической теории оболочек посвящено много работ [1]. При учете особенности геометрии тора [2] (переменность знака гауссовой кривизны) ниже решаются смешанные краевые задачи для тонкой тороидальной оболочки. Используется метод асимптотического интегрирования [3—5] уравнений трехмерной задачи теории термоупругости анизотропного неоднородного тела.
Рассматривается тороидальная оболочка, срединняя поверхность которой получена вращением образующей окружности радиуса г вокруг оси 02, лежащей в плоскости окружности на расстоянии ^ от ее центра. Пусть она в тороидальной системе координат занимает область
На фигуре изображены тороидальная оболочка и ее поперечное сечение, где ось у направлена по внешней нормали к срединной поверхности оболочки, 0 — угол между осями у и О2, ф — угол поворота образующей окружности. Области 0 < 0 < п и -п < 0 < 0 поверхности, имеют соответственно положительную и отрицательную гауссову кривизну.
Материал оболочки анизотропный и в плане неоднородный по продольным координатам 0, ф.
Будем рассматривать два случая:
1) на внешней у = к и внутренней у = - к поверхностях оболочки заданы перемещения
е,ф,у = ±к) = и], ] = е,ф,у
(1)
2) на внешней поверхности заданы перемещения
и ( 9, ф, у = к) = 0, ] = 9, ф, у а к внутренней поверхности приложена нагрузка
(2)
а Л 9, ф, у = -к) = а Уу( 9, ф), ] = 9, ф, у
(3)
Z
Поверхность оболочки считается непрерывной и замкнутой, поэтому другие условия не ставятся. На оболочку действует также тепловое поле, влияние которого учитывается по модели Дюамеля—Неймана, и предполагается, что температурная функция О (0, ф, у) известна и удовлетворяет уравнению теплопроводности и соответствующим граничным условиям.
Требуется найти напряженно-деформированное состояние (НДС) оболочки. Запишем в криволинейных координатах уравнения равновесия анизотропного тела с учетом объемных сил и соотношения упругости при учете температурных напряжений
(Н2ИзОаа) + д(ВДОар) + д(ВДОау) - ^(ЛИ -да др ду да
- аууН2дИз + ОарН3дН + ОауН2дИ + РНННъ = 0 (а,р,у;1,2,3) да др ду
' Х.1 И. = я Г| +X
Н, = А^ + RJ, Н2 = В^ + Rj. Нз = 1 И)
co1[eaa - а,п9.... .eafi - = ||а;у||6х6со1[<гаа. .... сар]
/
±дца + 1 дн,и + 1 дн,и e = Нхд_ Н, да Н1Н2 др в Н,Н3 ду Y ав Н2 Н1 да
Ua | + Н2 д
ЦЧ(а,р,у;1,2.3)
VН 2 У
Здесь Н1Н2. Н3 — коэффициенты Ламе, B — коэффициенты первой квадратичной
формы координатной поверхности, R. R2 — главные радиусы кривизны координатной поверхности, aij — коэффициенты упругой податливости, aij (i, j = 1, 2, 3) — коэффициенты линейного теплового расширения, Pa.Pp.Py — компоненты объемной силы.
Для рассматриваемой тороидальной оболочки: а = 9. в = ф, а также А = r. В = R + rsin9. R1 = r. R2 = (R + rsin9)/sine (5)
a¡j = ау(9.ф). i.j = 1.2.....6; aj = а,у(9,ф) Uj = 1,2,3
Компоненты симметричного тензора напряжений о0у = оу0 (9,ф,у) заменяем компонентами несимметричного тензора т0у ^ ту0 по формулам [2, 3]
% = (1 + у/Я2) сеу, % = (1 + у/Щс] у = 9,ф,у, туу = (1 + у/Л])(1 + у/Я) суу (6)
и переходим к безразмерным координатам и безразмерным перемещениям по формулам
% = 0, Л = Ф, С = Х = е-11, и = ^, и = ^, ш = ^, 8 = к < г (7)
к г г г г г
после чего уравнения и соотношения (4) для тора принимают вид ^ + ^(е - Т(р(р) + г ^ + 2х0у + е^ + гРв = 0
56 в у фф; в <Эф °у 1 эс е
^ + ^^ (Т0ф + т ) + г ^ + 2тфу + Е-1Л 2 ^ + гРр = 0
д6 в у °Ф В дф фу в дС, Ф
^ - (Т0е + Тфф ^^^) + г + Т0у + Е-1 ^ + гРу = 0
д6 ^ «у ФФ в ! В дф °у В дс, '
л 2 ^ + wj = е1 +anA9 + sZ Ui
Al I + u cosq + w sin Q I = e2 + a 22лд, + U2 B \ дф )
Al (cu - и COS 9! + Л 2 ди = e6 + апЛЭ + U6
B^дф ) 59
£= e3 +а33Л9 + £С U3 (8)
e- Л1 r (и sin 9 - dw I = e4 + а 23ЛЗ + eZ U4 dZ 1B { дф) 4 23
e-1лдиг - Л2 (u - dw) = e5 + а1зЛ9 + eZ U5
ej = aj1Tee + aj2T<p<p + aj3T уу + ay'4T^Y + aj5TQy + aj6TQ<p
Uj = a1jT00 + + aj4T^y) + aj5TQy + aj6xQí¡; j = 3,4,5,6
Л1 = 1 + е£, Л2 = 1 + Л = 1 + (1 + + e2Z2^
Система уравнений и соотношений (8) сингулярно возмущена геометрическим малым параметром s. Следовательно [2—7], решение складывается из двух решений: внутреннего решения, доминирующего внутри области, занимаемой тонким телом, и решения задачи для пограничного слоя, которое экспоненциально убывает по направлению внутренней нормали к поверхности торцов [6, 7]. Поверхность тороидаль-
ной оболочки непрерывна и замкнута, поэтому здесь строится только внутреннее решение, которое ищется в виде асимптотического разложения [4]
а = хе(5)(9,9,0, хи = о, х„ = -1
(9)
5=0
где б — любое из напряжений и безразмерных перемещений.
Одновременно объемные силы и температурная функция представляются в виде
Ре = XВ-2+*г(е,ф,£)(0,ф,у), 3 = X(6,Ф,0
(10)
Из соотношений (10) следует, что порядок НДС, вызванного объемными силами и температурным полем, будет порядка НДС, созданного перемещениями и усилиями, приложенными на лицевых поверхностях, если интенсивность объемных сил будет
в е 2 раза, а интенсивность изменения температурного поля в е 1 раза больше порядка граничных безразмерных перемещений. В противном случае вклад первых будет меньше, и соответствующие слагаемые будут фигурировать в уравнениях для более высоких приближений.
Подставив выражения (9), (10) в соотношения (8) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е в обеих частях каждого уравнения, получим непротиворечи-
(V)
вую систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов а разложения (9). Решив эту систему, придем к следующим рекуррентным формулам для определе-
А*)
ния а , т.е. компонент тензора напряжений и вектора перемещения:
= # + т|*>*(0,ф,0 (00,фф,0ф;1,2,6) т § = т!*?о(0 ,Ф) + т 0, ф)
УУ*
= т^ф) + т^е,ф,с) (е,ф)
и(5) = Ст5 + «05)(0,ф) + И*5)(0,Ф,С) (и,и,^;5,4,3)
Т Р = Ау3туу0 + Ау'4тч>у 0 + ^у^еу^Ь У = 1,2,•••,6
(11)
Здесь
= ВцР^ + Б^РГ' + ВР3
12Р2
Э16Р3
фф*
= В12Р1(5) + В22Р2(5) + В2бР3(5),
Т« = В1бР1(5) + В2бР2(5) + ВббР3(5)
Л*)
ч
дт
(V-1) фу .
де
(*-1). тее +т
(*-1) Г е , Г дт
фф
В
+ —
0у*
Н
дтее^ + (*-1)
59
В
-т(*-1))+ Г 1фф )т
(*-1) "фу
В дф
дт(*-1)
+ т(,-1) гсС9 + ГРУ + ГЬ
В
dZ
Л*-1)
В дф
+ 2<-1) + + + гь
дС,
-1))
(Г)
dZ
Я
уу
о
о
ФУ*
ч
"я (*-!)„ я (s-1)
дт8ф , Г COS Щ (s-1) (s-1Л, Г дТф
д9
г sin 9
J
B
+ ZdT
B
(s-1) Л
+ Тф8 l+-
>Ф
B 5ф
+ гРф] + гцр„
(4s-1))
dz
(du{s-1)
V 59
(s) _ 1T [ du(s-1)
P1(s) = L2I ^dT + -(s-1) I - ^ - - a^ - ап( - L(1))) - Z U(s-1) (12)
Pi ' _-L,
2 B l 5ф
+ u( 1)cOS9 + W(S 1)sin9 | - ai3TYy>* - a24TIpY* - a25Tesy)* -
As-1)
-a22 ( - l (4s-1) ))u 2
P3(s) = BL1 - """H + Li(^U^) -- a«C - a*
(s) 0y*
_a12((s) -L(4s-1)))-ZU6
(s-1)
,,(s)
= J
AU5 + Li |u(s-1) dw
.(s-1)
59
dZ, U.s) = J
Л« Ll1{v(s-1)sin9-д u4i B \ 5ф
dZ
-(s) = JaWVZ
Ausn = $ + a„3^(s) + l| a„3^(s-1) | + ZU|s-1)(u,u,w)) l = 3,4,5, n = 1,2,3
5Z
TT(s-1) - a T(s-1) + Г sin Js-1) Uj - a1jTee
(aytq-1 + a¿4%^1)) + a^ 1) + a,^4, j - 3,4,5,6
Bpj = (apkfljk - apjakkyA (p * j * k * p) Bkk = (appajj - a j) Bpj = j p,j,k = 1,2,6 Akl = -a1lBk1 - a2lBk2 - a6lBk6
Aml = amlA1l + am2A2l + am6A6l + amh Aml * Alm, l,m = 3,4,5
A = ацацйбб + 2апаиа2б - a^a^ - a66fl\2 - a^ Через LLL обозначены следующие операторы:
li(q(s-1)) = Q(s-1) + zQ(s-2), l2(q(s-1)) = Q(s-1) + zrsiniQ(s-2)
:(q (s-1)) = z (1 + Г sin 9) Q(s-1) + z 2 Г sin9Q (s-2)
B ! B
Общий интеграл (11) содержит 6S функций интегрирования
Tysyo, j = 9,ф,у, u0s),u0s),W(js)
(13)
(14)
o
z
0
которые однозначно определяются из условий, заданных на поверхностях оболочки.
Удовлетворив кинематическим граничным условиям (1), получаем значения функций интегрирования в виде
м. - w(s)/a*, тМ
М _ B*-V(s) л. b*V(s) л. B*V(s) j -
TyyO -
T^yc - w|s)/a*, t^ - w5
M - uAs)
'/a*,
X* — A33B33 + A34B43 + A35B53
Wy- - B*5K0(s) + B*4K^ + £*3Vf >, j - 3,4,5 u0s) = u+(s) - Ut(s) - u*s)(Z = 1) (u,u,w;5,4,3)
В*к = А]кАп - Л-аАь В* = А]кАк] - А]]Акь Вк* * В* ],к,1 = 3,4,5 (( * ] * к * I)
у(*) = 2(и +(*) - и^ + и*5)(( = -1) - и*5)(С = 1)) (9,ф,у;и,и,м)
и±(5) = и±/Г, и±(5) = 0, 5 > 0 (и,и,м) й(( ) = А]'3туу0 + А]'4тч>-)0 + ^Тоу^ь ./ = 5,4,3
а для смешанных граничных условий (2), (3) они имеют вид
' = ] -]*(с = -1), ] = е,ф,У и05) = и+(5) - ^ - и*5)(^ = 1) (и,и,м;5,4,3)
(15)
(16)
c0YO) = ес-у, j = 8,ф,у, с-1 = -(1 + Ф)есуу, С-)2-1 = Фесуу, oyJs> = 0, s > 2
-(1) _
(2) -,
- (s)
сei1) = —Фес0у, сJ1 = —ЕСту, OjYS) = 0, s > 1, j = 9,ф; Ф =
.-(1)
(s)
r sin 6 B
Приведем примеры напряженно-деформированного состояния ортотропной тороидальной оболочки с точностью двух шагов итерации.
Пример 1. На внутренней поверхности ортотропной оболочки действует нормальное давление, а внешняя поверхность жестко закреплена. Имеем
Y = -h : суу = с = -p, с0у = сфу = 0; у = h : Uj = 0, j = 9,ф,у После первого шага итерации получаем
tee = A13eo, т^ = A23eo, т!;0 = бо, с = -p
= tey = т8 = 0, u<°> = и(0) = 0, w(0) = A33(z - 1)бо А после второго шага
4 = Х1, т« = Х2, xg = ea(Z + 1)(a13 + A23- + rJf
(17)
(18)
= 0, =s(Z +1)
a л + л \rcos8 Л da
a(A13 + a23)—---A13—
B d 9_
x(1) = 0
U« = ^ 1)(Z + 3) 55 2
t л л \rcos9 . da
a(A23 - A13)—---A13—
B d9_
. (Z -1) da (1) n
- sA33—----, v = 0
33 2 d9
(19)
w(1) = A33sc(Z -1)
l , г sin 9\ , j a , , г sin 9\1 , z2 - wi* г sin 9\
I1+~r)+2( A13+A23—j.+£c VIA13+A23 ~r)
Xn = Лп3Т>,С = 0) + A33So(Z - 1)(B1n + B,
A13(An1 + An3) + A23 (An2 + A23)
гsin9\ ,
n2—j +
Гsin91, n = 1,2
B
Akl = -ailBkl - a2lBk2, Akl * Alk, k,l = 1,2
^3 = am1A13 + am2A23 + am3, ^j * j m,j =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.