ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 10, с. 1713-1726
УДК 519.634
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОГО УПРУГОГО СЛОЯ МЕЖДУ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРОФИЛЯМИ^
© 2015 г. С. А. Назаров
(198504С.-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр-т, 28, СПбГУ; 195251 С.-Петербург, Политехническая ул., 29, СПбГПУ; 199178С.-Петербург, В.О., Большой пр-т, 61, ИПМаш РАН) e-mail: srgnazarov@yahoo.co.uk Поступила в редакцию 25.02.2015 г.
Построена асимптотика частот и мод собственных колебаний тонкой трехмерной упругой прокладки, зажатой между двумя абсолютно жесткими профилями как конечными, так и бесконечными периодическими. Установлена локализация и концентрация напряжений около точки максимума толщины прокладки и обсуждается характер возможного разрушения. Обнаружены эффекты множественности зон торможения волн в упругом периодическом слое и сгущения собственных частот, на которых происходит захват упругих волн при локальном возмущении формы волновода. Библ. 28. Фиг. 2.
Ключевые слова: искривленная упругая прокладка, жесткие профили, асимптотика, собственные колебания, концентрация напряжений, периодический упругий слой, зоны торможения и захват волн.
DOI: 10.7868/S0044466915100178
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Гармонические во времени колебания тонкого (к < 1) упругого трехмерного тела
Пь = {х = (хьх2,Хз) = (у,г): у = (У1,у2) е Г,-НИ_(у) < г < кИ+ (у)}, изображенного на фиг. 1а, описываются уравнениями
д h/ч д h * \ д h * \ l h h, \
-—^(x) - — ok2(x) - — сти(*) = Л %(x), x
дх1 дх2 дх3
Qh
k = 1,2,3,
(1.1)
(1.2)
где Г — область на плоскости К , ограниченная кусочно-гладким контуром дГ, И± — гладкие на замыкании Г функции, причем
И(у) = И+(у) + И_(у) > 0, у еГ = Ги5Г. (1.3)
Кроме того, Лн = р(юк)2 — спектральный параметр, юЛ > 0 — частота колебаний и р > 0 — плотность изотропного материала с постоянными Ламе X > 0 и ц > 0, и = (ы1, и2, и3) — вектор смещений, а декартовы компоненты тензора напряжений вычисляются по формулам
Vjk = Ц
к
dUh
я k^
duk
V
dxk dxi
Х5
j,k
+ дщ + ди3 л Kdxi dx2 dx3 у
j, k = 1,2,3,
Кк у
где 5 — символ Кронекера.
Прокладка (1.1) приклеена к абсолютно жестким профилям
Г± = {х : у е Г,г = ±кИ±(у)}. Замкнем уравнения (1.2) краевыми условиями Дирихле
ик(х) = 0, х е дО,к,
(1.4)
(1.5)
(1.6)
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 15-01-02175). 6 1713
1714
НАЗАРОВ
Фиг. 1.
которые распространим не только на основания (1.5), но и на боковую поверхность
вН = {х : у е 5Г,-НИ_(у) < I < НИ+(у)}. (1.7)
Масштабированием сведем характерный размер сечения Г к единичному, т.е. сделаем декартовы координаты и малый положительный параметр к безразмерными. Основная цель статьи — построить асимптотику при Н ^ +0 собственных частот и мод упругих колебаний тела О , а также найти зоны, опасные для разрушения, и определить его характер. Помимо этого исследуется
зонное строение существенного спектра £Н задачи (1.2), (1.6) в бесконечном периодическом слое
ПН = {х = (у,I): у е К2,-НИ_(у) < I < НИ+(у)}, (1.8)
причем функции И± считаются 21 у-периодическими по переменным у/, у = 1,2, а в качестве продольного сечения Г ячейки периодичности берется прямоугольник, фиг. 1б,
ПН = {х еПН : | у у | < ¡у, у = 1,2}. (1.9)
Наконец, проверяется, что путем локального возмущения оснований слоя (1.8) можно образовать любое заданное наперед количество точек дискретного спектра как ниже точки отсечки существенного спектра ЕН, так и внутри обнаруженных в нем лакун (зон торможения).
Во всех ситуациях предполагается, что профильные функции И± на сечении Г удовлетворяют условиям
И(у) = Ио - 0(у) + 0(|у|3), у ^ 0,_ Ио = И(0) > И(у), 0(у) > 0 при у е Г\{0}, (1.10)
V уИ±(0) = 0, V у = (51,5 2), 5 а = д/дуа, 8, =8/81.
Иными словами, функция толщины (1.3) достигает глобальный максимум в единственной внутренней точке сечения, с которой совмещено начало декартовой системы координат у = (у1, у2), а ее оси направлены так, чтобы квадратичный полином из формул (1.10) принял вид
0(у) = Оух + &у22, 01, й > 0. (1.11)
Последнее неравенство означает, что максимум предполагается невырожденным.
Далее установлено, что в низкочастотном диапазоне собственные моды локализуются в
с4Н-окрестности точки у = 0 максимума толщины. Обнаруженный эффект локализации малочувствителен к типу краевых условий на боковой поверхности (1.7), но условия Дирихле упрощают формулировки утверждений. Так, простые приемы из [1], воспроизведенные в разд. 4, дают точное неравенство Корна
2Е(иН )|п2Н -2И0-21 |иН; Ь2(0.Н )||2, (1.12)
где Х2(ОН) — пространство Лебега квадратично суммируемых в области 0.Н функций, а Е(иН) — функционал упругой энергии
( з
г| ж—, , , 1 , ,
йх =
-с/ к 1 Г V h h ^ < h , h , h ч2
E<u) = ^ J IX-j*-А - 3^<-j + -22 + -зз)
О \j,k=1 J (1.13)
h h i h 1
1 V 1 f h h i h i
= 2 X Jj kdx, s k = 2
j,k=1oh
du¿ + duh Kdxk dxj,
Неравенство (1.12), в частности, означает, что первое среди собственных значений задачи (1.2), (1.6) в области (1.1)
удовлетворяет соотношению
Лк1 <Лh < ... <Л* < ... (1.14)
л* > цп2Л 2И0 2.
7h
^low
Вне интервала
( 0,цп2Л-2H0-2 ] (1.15)
располагается и существенный спектр Zh задачи (1.2), (1.6) в слое (1.8).
2. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Исследованию спектра скалярной задачи Дирихле для оператора Лапласа в тонких областях вида (1.1) посвящено большое количество публикаций (см. [2]—[9] и др.). Как станет понятно далее, асимптотический анализ векторной задачи (1.2), (1.6) во многих аспектах отличается от скалярного случая, но сохраняет первичные асимптотические анзацы и, в частности, неравномерное растяжение координат
y ^ п = *~1/2у, z ^ Z = (2.1)
приспособленное к требованиям (1.10) и (1.11). Примем соответствующие асимптотические ан-зацы
Лh = Н2Л0 + h^M + ..., (2.2)
uh(x) = U °<n,Z;y) + h~y2u <n,Z;y) + A_1u"<n£y) + (2.3)
где многоточие обозначает младшие члены, несущественные для предпринимаемого анализа.
Сделаем замены (2.1) в матричном дифференциальном операторе L<V x) из левой части (1.2) и
при учете формул (1.4) выделим в нем главную асимптотическую часть h 2Ь<0,0,дВ результате формируем предельную задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений на приведенных одномерных сечениях Y(y) = <-H_(y), H+ (y)) э Z прокладки (1.1)
W = Л W на Y(y), W = 0, Z = ±H±(y), (24)
-<X + 2^)d2W° = Л 0W30 на Y(y), W30 = 0, Z = ±H±(y).
При этом WÜ = <W10, W20) — вектор продольных смещений и W30 — депланация тонкого тела. Наименьшее из возможных собственных значений семейства задач (2.4) имеет вид
Л0 = ^n2H0-2 (2.5)
и достигается при y = 0. Оно двукратное, и соответствующее корневое подпространство натянуто на собственные векторы
sin|H- (Z + H_<0))|, 0, Q^j, | 0, sin |H <Z + H_<0))| 0^. (2.6)
1716
НАЗАРОВ
Итак, следует положить
и.0(n,Z;y) = w.(n)sin (Z + H_(y)) |, U30(n,Z;y) = 0, l. H (y)
(2.7)
где ^ = 0), а = — вектор-функция, которая вместе с числом М из анзаца (2.2) стано-
вится основным результатом последующего асимптотического анализа.
Вектор смещений с компонентами (2.7) удовлетворяет краевым условиям (1.6) на основаниях (1.5) прокладки. Вычислим невязку старших членов анзацев (2.3) и (2.2) в уравнении (1.2) и получим
кух)и0&n;y) - A-Wfeny) =
=* л0
i i
л
H(y)2 H2
0 у
w©sin (z + H_(y))| +... = ^ H(y)
f
п
=1л0 Q(y)w©sin -п- (z + H_(y))| + ... =
(2.8)
Г H0
H(y)
= 1Л0-^ОСфф^п (С + Н_(у)) I + .... к Но НУ) У
Здесь использованы предположения (1.10) и (1.11). Следовательно, в главном уравнения (1.2) соблюдены. Соберем в них слагаемые порядка к ~3'2, возникшие после учета двух членов анзаца (2.3). В итоге обнаружим, что основную поправку и' нужно искать как решение неоднородной задачи
-цд\и: -ЛV: = 0 на Y(y), и: = 0, Q = ±H±(y), -(x + 2^)5 V3 - л V3 = (x + ^)cos f-^ (z + H_(y))l vn • w¿r) на y(y),
v H (y) )
из = 0, z = ±H±(y). Сначала вычислим частное решение
u:(n,Z; 0) = 0, и3(n,Z; 0) = H(0) icos {-П- (Z + h_(0)) I +
H(0)
+ ,sin-™)-1sinf^a(z-h+(0)-h (0) 4
H(0) j V H(0)
Vn • W:(n),
j
a-
^+2|i \ V2_
(2.9)
(2.10)
а затем найдем решение и'(п,С У), сделав в формулах (2.9) замены Н(0) ^ Н(у) и Н±(0) ^ Н±(у). При этом полученный вектор удовлетворяет условиям Дирихле (1.6) на основаниях прокладки.
По той же схеме образуем задачу для второй поправки и ". Как и ранее, задача Дирихле для де-планации и'' однозначно разрешима, однако для определения продольных смещений и',' из уравнений
-цдV; -л0и: = F" на y(y), и: = 0, z = ±H±(y)
(2.11)
требуется соблюсти два (собственное значение (2.5) двукратное) условия разрешимости — ортогональность правой части ' собственным векторам (2.6):
h+(y)
J F.''(n,Z; y) sin
n (Z + H_(y)) dZ = 0 e U2.
-H-(y)
H (y)
(2.12)
Опять можно ограничиться случаем y = 0. При учете соотношений (1.4), (2.2) и (2.3), (2.7), а также представления (2.8) видим, что
FJ'(n,Z; 0)<^A+ (X + r|Vл • + MwM) -- Л0 Щ w^) sin f-П <Z + H_<0))] + <X + ц)У„дU3<n,; 0).
H3
H
Поскольку
H+(0)
-H-(0)
H0
| sin2 -П(Z + H-(0)) dZ= H0, VH 0 2
равенство (2.12) при у = 0 превращается в систему дифференциальных уравнений
0 = иЛ^Лп) + (^ + • ^•(п) + Mw•(ц) -- КФМ + АУЦУЦ ■ w•(n). При этом в силу соотношений (2.5), (1.11) и (2.9) имеем
Ь(п) = Ь^2 + Ь2п2 = ИП2^0-3(б1П1 + 02^2), Ьъ Ь2 > 0,
н+(0)
+ а
A = (Х + ц)-^ f I-sin(Z + H-(0))
H0 J V \H 0
(г,;„па\ * (па{г
Рт) cos[н
-H-(0)
H +(0) - H-(0)
sin|H- (Z + H_(0))| d z =
1/2
= -(X + ц) + (X + ц)2а(sin—j I cos(nat)cos(nt)dt.
-1/2
Последний интеграл получен в результате замены
(-H-(0)), h+(0)) э z ^ t = -L(z - H+(0) - H-(0^ Л-1 1
2 2,
Таким образом, приходим к формулам
A = -Х-ц + a, a = 4(Х + 2ц)а ctg — > 0.
(2.13)
(2.14)
п 2
Положительность величины a вытекает из включения (2.10), обеспечивающего соотношения 0 <П и ctg0. 2 2л/2 2 2
Подведем итог. Условия (2.12) разрешимости задачи (2.11) для третьего члена U разложения (2.3) эквивалентны системе двух дифференциальных уравнений на плоскости:
-цД- ßVnVn • + Ь(ф.(т) = MwM П 6 ^ (2.15)
которая, как будет показано в следующем разделе, позволяет найти до сих пор неизвестные ингредиенты
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.