МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2015
УДК 539.374
© 2015 г. Е. Л. КУЗНЕЦОВА, Д. В. ЛЕОНЕНКО, Э. И. СТАРОВОЙТОВ
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК В УПРУГОЙ СРЕДЕ
Рассмотрены свободные колебания трехслойной цилиндрической круговой оболочки в упругой среде. Для изотропных несущих слоев приняты гипотезы Кирхгофа—Лява. В толстом заполнителе учитывается работа поперечного сдвига и обжатие по толщине. Изменение перемещений принято линейным по поперечной координате. На границах контакта используются условия непрерывности перемещений. Для упругой безынерционной внешней среды принята гипотеза Винклера. Численно исследовано изменение частот собственных колебаний в зависимости от жесткостных характеристик системы оболочка—среда.
Ключевые слова: свободные колебания, трехслойная цилиндрическая оболочка, упругая среда.
Введение. Трехслойные пластины и оболочки широко применяются в качестве элементов конструкции современных летательных аппаратов, что обуславливает необходимость разработки методов их расчета. В монографиях [1—5] исследовано статическое и динамическое деформирование трехслойных пластин и оболочек, не связанных с упругими средами. Монография [6] посвящена различным моделям упругой среды, с которой связаны элементы конструкций при деформировании, в том числе рассмотрено деформирование однородных конструкций на упругом основании. Напряженно-деформированное состояние трехслойных стержней и пластин на упругом основании исследовано в работах [7—9]. Применению уточненных моделей пластичности в расчетах элементов конструкций посвящены работы [10, 11]. В статьях [12], [13] исследовано распространение нестационарных волн в упругом слое и ударное на-гружение упругой среды.
Одной из самых важных с практической точки зрения задач динамики является исследование спектра частот собственных колебаний. Ее решение позволяет определить собственные частоты и формы, знание которых необходимо для решения задач о колебаниях трехслойных конструкций при различных видах воздействий. Далее рассмотрены свободные колебания трехслойной круговой цилиндрической оболочки в упругой внешней среде, воздействие которой обусловлено прогибом несущих слоев оболочки.
1. Постановка задачи. В тонких изотропных несущих слоях трехслойной круговой цилиндрической оболочки приняты гипотезы Кирхгофа—Лява. В толстом заполнителе учитывается работа поперечного сдвига и обжатие по толщине, изменение перемещений принято линейным по поперечной координате. На границах контакта слоев используются условия непрерывности перемещений. Деформации малые.
Через кк обозначена толщина к-го слоя, к3 = 2с. За независимые переменные принимаются «а, ^ — тангенциальные перемещения и прогибы точек срединных поверхностей несущих слоев (к = 1, 2) в направлении осей ха, z правой системы координат,
Фиг. 1
отнесенной к линиям главных кривизн срединнои поверхности заполнителя и к внешней нормали, соответственно (фиг. 1). Считается, что закрепление кромок несущих слоев осуществляется мембраной, установленной на срезах торцов, абсолютно жесткой на растяжение и сдвиг и свободно деформирующейся из своей плоскости.
К наружной поверхности второго несущего слоя приложена реакция упругой безынерционной среды Винклера (внешняя нагрузка отсутствует): ¿г = -к 0w2, где к0 — коэффициент жесткости упругой среды.
В результате выражения для перемещений в несущих слоях (с < z < с + h1, —с — h2 < z < —с) будут
ukaz = uka + (z + ak ^; ak = c + 0.5%
= -wk,1, Vk = (R ± ak)-1(«2k - wk,2) (1.1)
Здесь и далее греческие индексы принимают значения 1, 2, латинские — 1, 2, 3 (если другое специально не указано); нижний знак в формуле соответствует индексу 2 (номеру слоя); R — радиус оболочки, у 0. — угол поворота деформированной нормали в k-м несущем слое; частное дифференцирование по координате обозначается соответствующим нижним координатным индексом, следующим после запятой.
Из условия непрерывности перемещений на границах контакта слоев для заполнителя (—с < z < с, верхний индекс "3") получим
2 2
u3z = 0.5Х (1 ± z/c) « ± 0.5hkWk ,i), «23z = Z ( ± z/c) ((0.5 + Dk2 ± Dn wk ,)
k=1 k=1
2
w3z = 0.5^ (1 ± z/c )wk (1.2)
k=1
Dk1 = hk/4, Dk2 = 0.25hk (1 ± ak/R)-1 R-
Уравнения движения трехслойной оболочки и силовые граничные условия следуют из вариационного принципа Лагранжа
8W + ЬА„ = 8A/
(1.3)
где 8№ — вариация работы внутренних сил упругости, 8А1 — вариация работы сил инерции, 8АС[ — вариация работы сил упругой среды.
С учетом поперечных сдвигов и обжатия заполнителя имеем
SW = 2п J
X J^pSE^(R + z)dz + J(2^38^3 + (R + z)dz
k=1 hk h}
dx\
(1.4)
к 1 к т
где напряжения <5у и деформации в слоях связаны законом 1ука, суммирование производится по повторяющимся греческим индексам, 11 — линейный размер оболочки в направлении координатной оси х1. Вариация работы сил упругой среды
8Aql = 2п Jq2r8w2 (R - c - h2)] dxx
(1.5)
Вариация работы сил инерции (точки над перемещениями — производные по времени):
3 h
8Aj = J J[pk(wkz8wkz + ukaz8ukaz)](R + z)dzdxr
k=1 0 hk
(1.6)
где рк — плотность материала к-го слоя.
Подставив в вариационное уравнение (1.3) выражения для вариаций работ (1.4)— (1.6) и, проведя с помощью (1.1), (1.2) стандартные преобразования, получим в общем случае шесть уравнений движения цилиндрической трехслойной оболочки с упругим наполнителем. В перемещениях они будут
2
I
k=1
k d__. k d__l k
ama1 2 + ama2 2 + ama3
dx„ dxe
k
k k d ив + ua + ama4 +
dxadxe
(
k + k + „ ama5 ~ + ama6 3 + ama7 "
dx,
dxa dxadxe
w
(1.7)
2
I
a,k=1 (
+
( ~4 ¡,4 а2 Л
ak d ,k d ,ak d , k n k,
am31-4 + am32-5-2 + am33-2 + am34 - K0RmlO2k w +
/-v4 /-v 2 о 2
dxa dxi dx2 dxa
3 ,
ak d ak d ak d
am35-3 + am36 ~--+ am37-2
dxa dxa dxadxe
3
Л
- b3mwm = 0, (m, a, P = 1, 2; a * P)
где 8mk — символы Кронекера, amnp — 49 коэффициентов, выраженных через геометрические характеристики слоев и параметры упругости материалов, например,
am = K+hk (1 ± ak) + K+c (2 ± c) A akaU = K3+c/3,...
о
о
а«37 = +КзВк2Нае/3 + ОзБк2€ (На /3 + 4Ба2 )/3
шт = 1 ± (с + Нт) Я-1, Ъ" = 2Я[рт1? + 0.25рз/±], Ъ3т = Ъ"
Ъ" = 2Я[рт(/1т + 2Я± ^/Я)-1/"1 + Я~2(1 ± а /Я)-2/5") + рз (В?2)2 4]
= I(1 + Я)^, = 1(1 ± (1 + ¡Я)dz, 1к = |(г Т ак)(1 + Я)dz
Нк кз Нк
Уравнения (1.7) учитывают силы инерции в оболочке, возникающие вдоль трех координатных осей, т.е. соответствуют объемно-инерционной модели.
Рассмотрим плоскую задачу о собственных колебаниях трехслойной цилиндрической оболочки, связанной с упругой безынерционной средой. Основные уравнения движения получим, если положить и^ = и2 = 0 и обратить в ноль все производные по х2 = ф в системе (1.7). В этом случае два уравнения движения будут выполняться тождественно, оставшиеся примут вид (т = 1, 2): 2
Егк к к к , к к , к к п . т--т А ,,
[ат11и1 ,11 + ат13и1 + ат15* ,1 + ат16* ,111] - Ъ1 и 1 = 0 (1.8)
к=1 2
X [а"й1^к,1111 + а""к33^к,11 + (а"34 0Ят2§2к>к + к=1
1к к 1к к Л , т.. т р.
+ ат35и1 ,111 + ат36и1 ,1] - Ъ3 * = 0
Одноосно-инерционные радиальные колебания описываются уравнениями, которые следуют из (1.8), если пренебречь инерционными членами ик вдоль оси оболочки. В результате соответствующая система дифференциальных уравнений в частных производных будет (т, к = 1, 2):
2
X ^ ,11 + ^ + 415^ ,1 + ак„16^к ,111] = 0 (1.9)
к=1
2
Хг 1к к 1к к / к п ^ ч к
[ат31* ,1111 + ат33* ,11 + (ат34 -к0Ят2§2к)* +
к=1
1к к , 1к к п ,т..т п + ат35и1 ,111 + ат36и1 ,1] - Ъ3 * = 0
Начально-краевая задача определения перемещений в рассматриваемой оболочке замыкается добавлением к уравнениям движения (1.7)—(1.9) профилей начальных перемещений и скоростей срединных поверхностей несущих слоев
ика(хр, 0) = ика0(Хв), ика(хр, 0) = ика0(хв)
*к (хр,0) = (хр), *к (хр, 0) = (хр) (а, р, к = 1,2) (1.10)
а также граничных условий.
Силовые граничные условия формулируются из требования выполнения в каждой точке координатной линии равенства заданных обобщенных усилий и моментов внутренним силовым факторам, входящим в выражения контурного интеграла вдоль той же линии. Иначе говоря, на каждом торце формулируется по восемь граничных усло-
вий. Кинематические условия свободного опирания торцами на жесткие неподвижные опоры будут
= и1 д = Д1 = 0 (к = 1,2)
В случае жесткой заделки должны выполняться требования щ = и^ = = wk 1 = 0 (к = 1,2)
(1.11)
(1.12)
2. Метод и решение задачи. Граничные условия (1.11) будут тождественно удовлетворяться, если решение системы (1.7) принять в виде разложения в двойные тригонометрические ряды по координатным функциям:
ад ад
к ^ ПтХ ( \ггк к ^ • ПтХ • ( \гтк
Щ = ^ С08 (ПУ)Т1тп(1), и2 = ^ 81П (пф)Т>тп(0
т,п=0 т,п=0
к ^ • птХ г \гтк /,ч
w = ^ С08 ("ф)Тзтл(?)
т,п=0
в случае условий (1.12) решение будет
и1 = Е ^ (2Пт Х - Пт) С° (Пф) Т1тп ()
т,п
и2 = Е (- 1)'И - С08 (2Пт Х - Пт) ^ (Пф) Т2ктп ()
(2.1)
= ^ (-1)т - С08 (■2птх - пт
т,п
С08 (пф)Тзтп ()
(2.2)
где 7^(0 — искомые функции времени.
Предполагая, что все точки конструкции совершают колебания с одинаковой частотой, уравнения для определения функции Тктп({) получим, подставив выражения (2.1), (2.2) в систему (1.7):
РТ - ВТ = 0
Решение уравнения (2.3) можно принять в виде
Т\тп(-) = А1тп 81п(Ютп^ + атп)
(2.3)
(2.4)
где А1тп, ютп — амплитуды и частоты колебаний, атп — начальные фазы, которые определяются из начальных условий (1.10).
Подставив выражения для перемещений (2.1), (2.2) и функции (2.4) в систему уравнений (1.7), придем к обобщенной задаче на собственные значения:
РА = -ш 2ВА (2.5)
где Р — квадратная матрица шестого порядка; В — диагональная матрица; А — вектор, сформированный амплитудами А¡<тп.
Обозначив X = — ю2 и обратив матрицу В, так как она является не вырожденной, перейдем от (2.5) к стандартной задаче на собственные значения
УЗ
п Р
1 2 3 4 5 6
0 2715 2822 5239 6068 7234 32964
1 1780 3645 5509 7168 8103 32968
2 1068 4680 6269 9511 10326 32982
3 773 5999 7372 12298 13 273 33013
4 790 7488 8692 15286 16550 33073
5 966 9057 10150 18352 19984 33188
6 1217 10662 11699 21 393 23500 33410
7 1514 12285 13310 24274 27
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.