Механика
Механика аеформируемого твераого тела
■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■В■1У■■■ ■■■нр■■■■■■■ В£М■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■И^рт■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
Кирсанова Ф.К., кандидат технических наук, доцент Московского государственного университета леса Русанова И.К., кандидат технических наук, доцент Московского государственного университета геодезии и картографии
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ СЖАТИИ
При неравномерном сжатии цилиндрическая оболочка нагружается в концевых сечениях изгибающими моментами. Действие последних приводит к неравномерному распределению внутренних усилий по поперечному сечению оболочки. Рассмотрим влияние статического изгибающего момента на собственные колебания круговой замкнутой цилиндрической оболочки. Вопрос о влиянии изгибающих моментов на динамические характеристики оболочки не решен в полной мере. Вместе с тем представляет интерес исследование зависимости частот собственных колебаний оболочки от величины момента.
Воспользуемся линейными уравнениями технической теории оболочек [1]. Считая оболочку пологой и равновесное состояние безмоментным, будем пренебрегать влиянием тангенциальных составляющих сил инерции. Тогда задача может быть сведена к дифференциальному уравнению, разрешенному относительно нормальной компоненты вектора перемещения точки срединной поверхности
^ V <
да4 Е5
(Т д2^ ^д2Ж ^ д2ЖЛ
Т г" + 2£ г Т2 —
ч 1 да2 дадр 2 др2 J
+рКд2 V4W = 0, (1) Е&2
5
где в =-^-^у ,(здесь 5- толщина стенки, К - радиус срединной поверхности оболочки,
и- коэффициент Пуассона); V =V -V ; V =—- + 2-2—тн--4 - дифференциальный
д + 2 д4 + д4 да4 + да2др2 +~др4
оператор четвертого порядка; W - нормальное перемещение точки срединной поверхности; а, Р - безразмерные координаты; Е - модуль упругости материала; Т1, Т2, £ - внутренние усилия в срединной поверхности, характеризующие начальное безмоментное напряженное состояние оболочки; р - массовая плотность единицы поверхности оболочки; I - время.
Внутренние усилия в срединной поверхности оболочки равны
т=-( сор • т=0 £=°- (2)
где Q, М - соответственно величина осевой сжимающей силы и амплитудная величина изгибающего момента.
Наиболее просто решение может быть получено для шарнирно-подвижных концов оболочки. При этом допускаем, что форма продольного волнообразования имеет вид простых синусоидальных волн. Форму колебаний в окружном направлении аппроксимируем тригонометрическим рядом. Граничные условия будут удовлетворены, если прогиб представить в виде
ад
W = sin Áa^an • sin nfí • sin Qt,
n=1
. шжЯ _ .
где Я = —-— - параметр продольного волнообразования (здесь m - число полуволн вдоль
образующей оболочки, I - длина оболочки); an - коэффициенты, подлежащие определению; Q - круговая частота собственных колебаний оболочки при неравномерном сжатии.
Для нахождения приближенного решения применяем метод Бубнова-Галёркина [3]. Выполняя преобразования, получим систему линейных однородных уравнений
К - VЯ - Ъ (an-1 + an+i) = 0, (n = ^... ,ад), (3)
где V = ^ , к =s(á2 + n2) н--Я-- -Я2 P0 - квадрат круговой безразмерной часто-
E ^ ' t * 2. . 2.\2
(Я2 + n2)
ты собственных колебаний оболочки при равномерном сжатии, Ъ = Я Р , Рс = M
2 ' с жЯ2 ЕЗ'
Р0 =—^—, ао = 0. 0 2жШб
Можно показать, что определитель этой системы относится к классу нормальных определителей.
Запишем систему уравнений (3) в матричной форме
\J- щ\л = 0, (4)
где J - нормальная якобиева матрица, V - собственное значение матрицы J, I - единичная
. . Г1 при I = к,
матрица, I = \5А, 5к =\ 5к - символ Кронекера,
10 при1 Ф к,
А - собственный вектор матрицы J, A = Матрица J имеет вид
(01 -Ь о 0 ...0 -Ь <2 -Ь2 0 ...0 J = 0 -Ь2 <3 -Ь3 ... 0
(5)
0
Здесь для удобства номер k подчеркивает принадлежность недиагонального элемента Ь] к соответствующей строке матрицы.
Таким образом задача о собственных колебаниях цилиндрической оболочки при неравномерном сжатии сводится к нахождению собственных значений матрицы J, собственный вектор А определяет форму колебаний оболочки в окружном направлении.
Путем разложения определителя матрицы (5) по последней строке может быть получена рекуррентная формула для ее характеристического полинома
Положим Д0 = 1, тогда с помощью формулы (6) можно последовательно вычислить все
полиномы, начиная с Д] (] = 1, 2, ..., п).
Вычислим координаты собственного вектора Л1 (а11, а21, ..., ап1), соответствующие собственному значению У1.
Матрица (5) имеет ранг, равный п - 1, так как при данном
Д = < -V)Я-! -Ь2д
п-2
(6)
V = V Вп(К) = 0, Дпл(У) ф 0.
Рассмотрим первые п - 1 уравнений. Запишем (3) в виде
Ьа]-1 + (< - ^а] - Ьа]+1 = 0,
где ] = 1, 2, ..., п-1; а0 = 0.
Выполняя замену
щ = а1 , щ = Ь]'1-а] (] = 2, 3, ..., п),
(7)
получим
Щ]+1 + (< - У)п] - Ь2Щ]-1.
(8)
Так как рекуррентные формулы (6) и (8) совпадают, то отсюда следует
и] = с Д]-1,
где с - произвольная постоянная, и0 = 0, ] = 1, 2, ..., п.
С учетом (7) получим
с
ак = ¿к-! Вк-1 4 = 1,2,^, П )
Придавая значения V = V, получим для к-той координаты акг собственного вектора Лг выражение
аи = ¿Ь А- (V) (к = 1,2,..., п). (9)
В дальнейшем важное значение имеет вопрос о спектральных свойствах матрицы (5).
Трехдиагональная матрица J с вещественными элементами, недиагональные элементы которой удовлетворяют условию Ь > 0 , относится к классу нормальных якобиевых матриц.
В работе [2] показано, что для нормальной якобиевой матрицы последовательность полиномов Б0, В1, ..., Бп-1 обладает свойствами ряда Штурма. Так как старшие коэффициенты этих полиномов положительны, а корни двух соседних полиномов разделяются, то отсюда следует, что все собственные значения матрицы (5) вещественные и различные.
Пронумеруем собственные значения в порядке возрастания: V1 < ^ < , ..., Vn. Тогда справедлив следующий закон чередования знаков координат (9) собственных векторов: в ряду координат г-го собственного вектора имеется точно 1-1 перемена знака. Этот вывод следует из того факта, что ряд Б0, Б1, ..., Вп-1 при V = V имеет 1-1 перемен знака [2].
Для вещественной симметричной матрицы (5) можно выразить собственные значения как функции элементов.
Пусть Л1, Л2, ..., Лп - полная ортонормированная система собственных векторов матрицы (5). Тогда справедливы соотношения
JЛI = V, Л, (I = 1, 2, ..., п) (10)
ЛЛ =Таа =% (I ] = 1,2,., п) (11)
к=1
Из координат векторов составим столбцы фундаментальной матрицы и = \ ак, \. Эта матрица неособенная. В силу соотношения (10) она ортогональная, т.е. ии' = I, где и = \ ак\ -транспонированная матрица. Ее матрицы-строки представляют ортонормированные векторы, которые обозначим через Л■.
Умножая (10) слева на Л, получим
Л^Л = VЛЛ . (12)
п
Учитывая, что ЛЛ = ^аы = 1, находим Л^Л = V.
к=1
Исследуем характер поведения собственных значений матрицы при изменении ее элементов ¿к, (Ок. Влияние момента на собственные колебания оболочки характеризуют элементы Ьк. Считая VI непрерывной функцией переменного Ьк, продифференцируем (12) по Ьк.
М Л+Л^Л +13 ^Л=^ЛЛ + ^ м Л + КЛ дЛ (13)
дЬк ^ ^ дЬк ^ дЬк дЬк ^ г дЬк ^ 11 дЬк
Запишем (13) в виде
^ ^Л - КЛ)+4—Л + (Л— - ^Л)) = К
дЬ дЬ 1 \ 1 1 ч дЬ дЬ
дК
дЬк дЬ]
Учитывая (10) и пользуясь тем, что Л— - ViAi = 0, получим
дК дК
(14)
Аналогичная процедура для переменного ак позволяет найти
— гк
да,,
да.
(15)
Выполняя в (15), (14) операции, получим
дУ
да,
= а2ш > 0 (г,к = 1,2,.,п)
(16)
дУг дЬ,
= -2акгак+1, г (г= 1,2,.,п;к ^А--
п
-1)
(17)
Из (16) следует, что квадрат безразмерной собственной частоты Vi есть неубывающая функция от а1, а2, ..., ап.
Используя формулы (9) и (17), рассмотрим влияние момента. Наименьшему собственному значению V1 соответствует собственный вектор А1, в ряду координат которого отсутствует перемена знака. Тогда все координаты (9) имеют один знак и из (17) следует
дИ
дЬ
1- = -2аиак+1, , <0 (к = 1,2,., п-1).
(18)
Это означает, что наименьшая частота собственных колебаний оболочки является убывающей функцией от амплитудной величины момента М.
Для наибольшего собственного значения Vn число перемен знака в ряду координат собственного вектора Лп составляет п-1. Следовательно, любые две координаты с номерами к-1, к имеют разные знаки. Тогда из (17) следует
дК
= 2а,пак+1, п > 0 (к = и... п-1).
(19)
Это означает, что наибольшая частота собственных колебаний оболочки является возрастающей функцией от амплитудной величины момента М.
В общем случае для любого собственного значения Vi, удовлетворяющего условию Vi ф V1, Vi ф Vn, существует хотя бы одна перемена знака в ряду координат собственного век-
тора. Отсюда следует, что можно всегда указать две пары координат, соответствующих некоторым элементам Ък, Ъ/, для которых совместно выполняются два неравенства
= "20А+1, , < 0 (20)
дЪк
дУ1 дЪ.
= 2а/га/+1, г > 0 (21)
Неравенства (29) и (21) показывают, что влияние недиагональных элементов на собственные значения V^ в интервале от У1 до Уп носит двойственный характер. В существенной мере это влияние определяется числом неравенств того или иного вида, которое зависит от числа перемен знака в ряду собственного вектора. В общем случае из двойственности этого влияния следует, что в широкой полосе спектра возможно как убывание, так и возрастание частот собственных колебаний оболочки при увеличении амплитудной величины момента М.
Этот вывод подтверждается расчетами. На рис. 1 показано влияние момента на частоты собственных колебаний обо-
Я I
лочки с относительными размерами — = 500, -^я = 1,16 при
Р0 = 0,5Рв, где Рв - верхнее критическое усилие при равномерном сжатии оболочки. Можно видеть, что частоты низших тонов колебаний убывают, а высших тонов возрастают при увеличении момента.
2/1 I»
/,£
0
<2
1» Щ
0,6
ф
щг
¡ери.
т=1 Ро-о,5Ре
я---?
П'1
п-Ь
н-6
о <ц о,г «з о,5 Рис. 1
Было произведено экспериментальное исследование собственных колебаний цилиндрической оболочки из целлулоида при неравномерном сжатии. Величина момента изменялась путем последовательного увеличения эксцентриситета продольной
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.