ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 75. Вып. 2, 2011
УДК 531.36:534.1
© 2011 г. В. П. Легостаев, А. В. Субботин, С. Н. Тимаков, E. А. Черемных
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ МЕМБРАНЫ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЖЕСТКОЙ ВСТАВКОЙ (ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ХОЙНА)
Рассмотрена задача на собственные значения для уравнения поперечных колебаний кольцеобразной однородной мембраны с жесткой вставкой, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг своей центральной оси. Найдены точные аналитические выражения для собственных функций в терминах специальных функций (локальных функций Хойна), а также нормировочные интегралы. Получено явное выражение для стационарной формы мембраны при регулярной прецессии ее оси вращения.
В проектах космических платформ разного назначения, не требующих расхода топлива на коррекцию орбиты, угловые маневры и разгрузку накопленного кинетического момента, в качестве исполнительного органа для передачи как импульса, так и момента импульса объекту управления используется бескаркасный вращающийся солнечный парус, растянутый центробежными силами инерции. Базовая конструкция космической платформы как объекта управления включает в себя собственно солнечный парус в виде вращающегося мембранного диска с центральной жесткой вставкой, приборный отсек с целевой аппаратурой и компенсирующим гироскопом во внутреннем кардановом подвесе (сочленение Гука) с регулируемой скоростью вращения ротора. Солнечный парус и компенсирующий силовой гироскоп вращаются в противоположных направлениях, образуя "спарку" [1].
Данная работа посвящена исследованию динамического поведения вращающегося мембранного диска с центральной жесткой вставкой как составной части конструкции платформы. Несмотря на то, что эта задача решалась численными методами многими авторами [2, 3], представляет интерес рассмотрение ее точного аналитического решения. Полученные результаты являются аналогами результатов Магнуса [4] относительно вращающейся линейной цепочки, удерживаемой невесомыми нитями около жесткой вставки.
1. Уравнения движения. Пусть однородная упругая мембрана малой толщины к и с плотностью р имеет форму кольца с внутренним радиусом а > 0 и внешним радиусом Я > а. Жестко свяжем внутреннюю границу мембраны с ее центром и придадим этой жесткой вставке угловое вращение вокруг перпендикулярной оси, проходящей через центр, с постоянной угловой скоростью О > 0. Мембрана под действием центробежных сил упруго растянется в плоскости вращения.
Существует решение этой плоской задачи теории упругости, обладающее круговой симметрией и стационарное относительно жесткой вставки. Предположим, что начальные условия были заданы так, что мембрана приобрела движение согласно этому решению.
Отметим, что задача, в которой мембрана моделируется свернутой в кольцо цепочкой, радиально связанной невесомыми нитями с центральной жесткой вставкой, была рассмотрена ранее ([4], гл. 6, разд. 6.1). При возможности будем проводить аналогии с этим модельным случаем.
Введем используемые в дальнейшем системы координат. Ось Ох направим перпендикулярно плоскости жесткой вставки (О — центр мембраны). Оси Оу и О1 выберем в
плоскости вращения мембраны так, чтобы они составляли с осью Ox правую систему координат. Систему Оху1 считаем инерциальной. Кроме нее, выберем подвижную систему координат ОХу'¿, связанную с жесткой вставкой и вращающуюся вокруг оси Ox с угловой скоростью Считаем, что в начальный момент времени t = 0 оси Оху1 и Ох'у'1' совпадают.
Известно, что существует решение плоской задачи определения напряженно-деформированного состояния мембраны, обладающее круговой симметрией ([5], гл. IX, с. 292):
и {г) = сг + С2 - IV Р"! г з
г Е 8
где и (г) — радиальное перемещение, E — модуль Юнга, ^ — коэффициент Пуассона. Соответствующие радиальное и тангенциальное напряжения имеют вид
ог = а1 + Щ - сг2, оф = а1 - - йг2 (1.1)
г г
ЕС\ ЕС2 .рО2 , _ - .рО2
а1 = -—к, а2 = --—2, с = (3 + , й = (1 +
1 -ц 1 + ц 8 8
Постоянные С и С2 находятся из краевых условий на границах кольца, в рассматриваемом случае соответствующих закрепленной внутренней границе (и(а) = 0) и свободной внешней границе (аг (Е) = 0). Получим
г>4 , г 4 „2 2
Е + са Е па ,„2 2Ч
а1 = с—2—^, а2 = с—^—?(Е -да )
Е + П а Е + п а
е 1-и 1 - и 1 + и
3 + и 1 + и 3 + ц
В рассматриваемом случае, так как функция аг(г) — убывающая и стг(Е) = 0, то стг(г) > 0 при г < Е. Функция аф(г) — выпуклая на интервале (а, Е). Так как с^(а) > 0 и с^(Е) > 0, то на этом интервале функция с^(г) > 0, причем она может иметь (и обычно имеет) локальный максимум. На фиг. 1 приведены графики функций аг(г) и аф(г) при а/Е = 0.1 и ц = 0.4.
Так как аг(г) > 0 и о^(г) > 0, то можно поставить задачу о поперечных колебаниях мембраны, растянутой центробежными силами инерции. Уравнение движения мембраны имеет вид [2, 3]
Г^Ш = (1.2)
дЛ дг ) дф^ г дф J дг
где Ш (г, ф, Г) — перемещение элемента мембраны из плоскости вращения. Аналог уравнения (1.2) для случая линейной цепочки представляет собой известное уравнение ([4], разд. 6.1, уравнение (6.4)).
В рассматриваемом случае закрепленной внутренней границы и свободного внешнего края мембраны граничные условия имеют вид
Ш(а, ф, 0 = 0; аггЗШ/Зг ^ 0 при г ^ Е - 0 (1.3)
0.5
r/R
1.0
Фиг. 1
Так как гаг = с \Я - г) при г ^ Я - 0 для некоторой положительной постоянной с, то из последнего условия вытекает согласно правилу Бернулли—Лопиталя, что W(г, ф, I) = о(1и(Я - г)) при г ^ Я - 0, и, как убедимся в дальнейшем, это будет равносильно ограниченности значений W (г, ф, I) при приближении к внешнему краю мембраны.
Задача на собственные значения для этой граничной задачи и будет рассматриваться далее.
2. Собственные функции. При решении методом Фурье фундаментальную роль играют собственные функции (СФ), которые получаются из уравнения движения разделением переменных:
W (г, Ф, I) = Я(г )Ф(ф)Т (I)
По переменной ^ получаем задачу Коши для осцилляционного уравнения
Т "(0 + ю2Т() = 0 (2.1)
где ю > 0 — частота колебаний. По переменной ф получаем задачу Штурма—Лиувилля для осцилляционного уравнения
Ф'' (Ф) + п 2Ф(Ф) = 0 (2.2)
причем из условия 2п-периодичности вытекает п е Z+. По переменной г для каждого п е Z+ получаем задачу Штурма—Лиувилля
! / !Я\ 2 2 1 „ „
! к5''!;) Трг - ИТ ]Я =0 (2.3)
Я(а) = 0; сГгЯ'(г) ^ 0 при г ^ Я - 0
для нахождения собственных значений ю2 и соответствующих им радиальных СФ
Я®(г) * 0.
В отличие от классической задачи Штурма—Лиувилля коэффициент Гаг (') вырождается в нуль на правой границе, так же как и второе граничное условие, которое, как увидим дальше, будет равносильно ограниченности решения при г ^ Я - 0. Тем не менее, методы доказательств основных результатов относительно свойств собственных значений и СФ сохраняют свою силу и в этом случае. А именно, имеют место положительность и простота спектра, ортогональность СФ и полнота системы СФ на отрезке [а, Я].
Ниже приводятся явные выражения для СФ и указываются способы нахождения собственных значений задачи (2.3). Так как эти выражения упрощаются при п = 0 и п = 1, рассмотрим раздельно три случая.
Случай п = 0. После замены переменной 5 = г2 уравнение задачи (2.3) приобретет вид (используются явные выражения для аг и сф)
!
1 ^ 2Ч !Я (а^ + а2 - ся ) —
+ 1 ю2рЯ = 0 4
что после линейной замены
, 2с5 - а! 1 т ,„2 2Ч Т.4 У 4-. 5 = , = — [2(Я +ца )5 - Я -с^а ]
у4а2с + а12 д
А = Я 4 + 2п Я 2 а 2 а 4 и сокращения на с дает
!
п .2, !Я (1 - 5 )— ая _
2
+ - ^ Я = 0; Я = Я(5')
4 с 4 ;
Это уравнение совпадает со стандартным уравнением Лежандра при
2
1 юр , 1Ч
4 с
Уравнение Лежандра имеет фундаментальную систему решений, состоящую из функций Лежандра первого и второго рода, причем последняя имеет логарифмическую особенность при значении аргумента, равном единице. Так как точка г = Я после замен соответствует точке 5' = 1, то из второго граничного условия задачи (2.3) (см. выше обсуждение этого условия) следует, что рассматриваемой задаче может удовлетворять только функция Лежандра первого рода Ру(5'). Граничная точка г = а при проведенных заменах переходит в точку
5' = А = 1
8 4 /п2 2Ч2
а - (Я - а )
.(1 + Ц)(3 + ц)
поэтому первое граничное условие задачи (2.3) дает уравнение частот для нахождения индекса функции Лежандра V:
= РЛА) = 0
Найдя положительные решения этого уравнения, получим последовательность v0k
2
^ = 0, 1, 2, ...), которой соответствуют собственные значения ю0к = 4v0k (у0к + 1)с/р и СФ, имеющие вид
Е^(г) = 1т [2(Е2 + па2)г2 - Е4 -
Случай п = 1. Замена 5 = г приводит уравнение (2.3) к виду
Е = 0
й
йя
< 2ч йЕ
(а15 + а2 - ся ) —
йя.
,1 | 2 2 +4® р-"
01 - 01 - й
Так как ог (Е) = 0, то
а1Е2 + а2 - сЕ4 = 0
и можно исключить параметр a¡. После элементарных преобразований приходим к уравнению, которое, сделав замену я = ЕЁ2 г, приведем к следующему виду:
йг
(г - А)(г -1)йЕ
йг.
1 + А + А
. г г2.
ю2р + п 2й
Е = 0; А = -
а2 сЕ4
Безразмерный параметр A здесь отрицателен, постоянные d и c > d положительны.
Теперь сделаем замену Е(г) = г Е'(г), где Е'(г) — новая неизвестная функция. Чтобы привести предыдущее уравнение к более удобному для замены виду, продифференцируем выражение в первых квадратных скобках и введем обозначение
12,2, , 1Ч 1 ю р + па
у(у + 1) = -
4 с
Выразим первые две производные функции R через производные функции R':
йЕ х йЕ' л х-1 П1 й Е х й Е' , ^л х-1 йЕ' ^ ^ ^ч х-2П( — = г--+ кг е , —- = г —т- + 2кг--+ к(к - 1)г е
(2.4)
йг
йг
йг2
йг2
йг
Подставив в уравнение эти выражения, умножим дополнительно на г , чтобы привести уравнение опять к самосопряженному виду. Приводя подобные слагаемые, получим
й йг
(г - А) (г - 1)г
2Х йЕ'
йг
к(к +1) - v(v +1) + | ^ - к2 I (А + 1)г^ +1 п + к(к-1) | Аг
г 2ХЕ' = 0
(2.5)
—1 —2
Обратимся к случаю п = 1. Выберем к = 1/2, чтобы коэффициенты при г и г обратились в нуль. Тогда уравнение (2.5) совпадет со стандартным уравнением Хойна, общий вид которого [6]
у у ■ + (авг - ^ = 0
Vг г -1 г - а.
г(г - 1)(г - а)
(2.6)
в его самосопряженной записи
—[гу(г - 1)8(г - а)"у •] + (арг - д)ю(г)у = 0
—г (2.7)
ю(г) =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.