ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 6, ¡>004
УДК 539.3:534.1
© 2004 г. Д. В. Долгих, В. В. Киселев
СОЛИТОНЫ ПОПЕРЕЧНОЙ ГОФРИРОВКИ В ТРЕХСЛОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ СРЕДЕ
Рассматривается задача о поперечных изгибах сильно нагруженного тонкого среднего слоя материала в трехслойной нелинейно-упругой среде. Для анализа двумерной динамики слоев развиваются специальные варианты теории возмущений. В результате их "сшивки'' строится квазиодномерная модель, которая описывает эволюцию изгибов среднего слоя вблизи порога его неустойчивости. Устанавливается возможность формирования в трехслойной среде солитонов "поперечной гофрировки'', которые предшествуют неупругому формоизменению среднего слоя. Исследуются условия существования солитонов в зависимости от внешнего напряжения, толщины среднего слоя и материальных параметров среды.
Волнообразные искривления отдельных слоев материала экспериментально наблюдаются при разных способах деформирования образцов [1]. По-видимому, поперечная гофрировка сопровождает наиболее сильно нагруженные слои среды при сдерживающем влиянии соседних, слабо нагруженных и потому устойчивых слоев. Чтобы выявить особенности этого механизма, рассмотрим динамику нелинейно-упругого слоя материала в форме пластины, стесненного двумя полупространствами с меньшими модулями упругости. Локальные изгибы пластины предполагаются сравнимыми с ее толщиной. Поэтому используется теория конечных деформаций [2-4].
Теория конечных деформаций Мурнагана привлекательна тем, что в ней полная нелинейно-упругая энергия системы выбирается в форме ряда по всем совместимым с симметрией среды инвариантам лагранжева тензора деформаций. В то же время более современные версии нелинейной теории упругости для упрощения задачи ограничиваются некоторым конечным набором инвариантов, используя в качестве критерия их отбора дополнительные геометрические гипотезы, справедливость которых трудно оценить количественно. Каждый новый "качественный" подбор инвариантов в конечном итоге должен проверяться на решениях конкретных динамических задач.
Ниже развивается вариант редуктивной теории возмущений, преимущество которого состоит в том, что он из полной нелинейно-упругой энергии системы без априорных гипотез позволяет выделить главные взаимодействия, отражающие динамическую симметрию рассматриваемой задачи. Предлагаемая процедура автоматически приводит к сокращению числа феноменологических постоянных в исходном разложении нелинейно-упругой энергии системы, так как эти постоянные условиями самосогласования теории возмущений объединяются в небольшое число параметров, которые и будут экспериментально наблюдаемыми эффективными упругими модулями слоистой среды.
Исходные (3 + 1)-мерные уравнения нелинейной теории упругости чрезвычайно сложны для анализа. Конструктивное решение задачи возможно посредством построения упрощенных уравнений, которые корректно учитывают главные особенности задачи и в то же время допускают точные решения. Поперечные изгибы пластины индуцируют деформации в подложках. Эффекты нелокального обратного влияния подложек на пластину существенно осложняют теоретическое описание ее динамики. Задача упрощается вблизи порога неустойчивости пластины по линейной теории. В этой области можно ограничиться рассмотрением медленной пространственно-временной эволюции той линейной моды, которая ответственна за гофрировку пластины. Из-за неустойчивости линейной моды проявятся и начнут играть оп-
ределяющую роль нелинейные свойства среды. Эффекты нелинейности и дисперсии ограничат рост амплитуды смещений, откроют возможность формирования на пластине долгоживу-щих нелинейных возбуждений и структур.
Выделяется область характерных пространственно-временных масштабов и внешних нагрузок, в которой возможно исследование гофрировки пластины на основе упрощенной модели. Формулируются краевые условия для трехслойной среды, соответствующие проскальзыванию среднего слоя вдоль подложек. Упрощенная модель квазиодномерной динамики изгибов сильно нагруженного слоя материала выводится из полной системы уравнений нелинейной теории упругости, включающей все совместимые с симметрией среды взаимодействия, с контролируемой точностью по малым параметрам, которые отражают величину внешнего напряжения, пространственно-временные отклики среды на внешние воздействия в рассматриваемой области характерных масштабов, а также геометрическую и физическую нелинейность материала.
При построении модели решается нетривиальная нелинейная краевая задача, в которой форма поверхности сильно нагруженного слоя среды заранее не известна, а находится в процессе решения задачи. Отметим также, что изучение реальной неодномерной динамики слоистой среды предлагаемый подход сводит к анализу решений эффективных одномерных уравнений. Особенности самолокализованной гофрировки слоя среды определяются в результате баланса дисперсии, которая имеет геометрическое происхождение и зависит от толщины слоя и краевых условий на его поверхности, нелинейного взаимодействия близких неустойчивых мод деформации, а также нелокального взаимодействия между слоями среды.
Насколько известно авторам, динамика таких деформаций материала не исследована, хотя самолокализованные нелинейно-упругие изгибы отдельных слоев среды являются концентраторами напряжений и, следовательно, обуславливают последующее пластическое течение материала.
Иллюстрируется принципиальная возможность аналитического описания долгоживущих пространственно-локализованных нелинейно-упругих возбуждений и структур вблизи порогов нестабильности многослойных сред. На основе построенной модели предсказываются и исследуются солитоны поперечной гофрировки слоистой среды, которые предшествуют неупругому формоизменению материала.
Заметим, что модельные уравнения будут пригодны для изучения эволюции формы сильно нагруженного слоя и после потери им устойчивости, до тех пор пока деформации остаются нелинейно-упругими и сравнительно малыми.
1. Постановка задачи. Основные соотношения. Рассмотрим пластину толщиной й, стесненную двумя нелинейно-упругими полупространствами, одно из которых находится выше (х3 > й/2), а другое ниже (х3 < -й/2) пластины. Пусть хк( Хк) - координаты материальной точки пластины (одной из подложек) до деформации, Хк = хк + ик(х, Г) (Хк = X к + ик( х, Г)) - координаты той же точки после деформации (нижние индексы
из латинских букв принимают значения 1, 2, 3, если не оговорено иное), и(х, Г) и у( х, Г) -векторы смещений.
В теории конечных деформаций [2-4] упругая энергия среды записывается в форме разложения по инвариантам лагранжева тензора деформаций
Пк = ^ \-д1ик + дкиг + дгиш дкит ]> Л ¡к = [д1ик + дки1 + дРтдкит] (1.1)
Пусть материал слоев изотропен. В качестве независимых инвариантов выберем
2
11 = Л//, 12 = Ппт, = "ЛптЛткЛкп
Далее сходственные физические величины для пластины и подложек будем обозначать одинаковыми буквами. Над величинами, относящимся к подложкам, будем ставить вогнутую вниз дужку О. Когда это не вызывает недоразумений, будем говорить только о пластине.
Энергию нелинейно-упругой пластины представим в форме [2-4]
Ж = |ф d х', ф = £ £ Лкр/2/3 (1.2)
У0 п = 2 {крц) = п
где ф - энергия, отнесенная к единице объема пластины до деформации. Выражение £{кр^ = п означает, что суммируются слагаемые, для которых к + 2р + = п (п > 2), интегрирование производится по объему У0 пластины до деформации. Предполагаем, что упругие модули Лкрс[ сравнимы по порядку величины. Динамические уравнения для пластины имеют вид [2-4]
- Ро di ui + dpiS = 0
где
p = дФ = д± + д u
is д[дА] Эп15 k 'dnkS
(1.3)
(1.4)
p0 = const - плотность среды в недеформированном состоянии.
Тензор Pj несимметричен по индексам i, j. В то же время простым соотношением он связан с симметричным тензором напряжений деформированной среды [2]
T
ij
det
dX dx
1 д X:
P _J
Pik dxk
det
dX dx
i dXi
P _i
Pjk д Xk
(1.5)
Для дальнейшего анализа удобно ввести безразмерные переменные. Пусть I - характерный масштаб деформаций пластины в плоскости х1Ох2, а и т сЬ = I/ ^ц/р0 - характерные амплитуда и время деформаций (ц - модуль сдвига пластины). Определим два параметра е> = а/1 и е2 = й/1, отражающие порядок малости амплитуд смещений и толщины пластины. В динамических уравнениях пластины перейдем к безразмерным переменным
^а = ха/1, п = х3/й, т = г/тсЬ, ы1 = ай{, а = 1, 2
Тогда они примут вид
2 2 Це1е2дтиа = е2Рав + ^п^ Це 1е2дти3 = е2двР3в + дПР3з'; а> Р = 1> 2 да = д/д^а (1.6)
Рассмотрим область сильных изгибов пластины, где справедлива оценка е1 ~ е2 (или а ~ й).
Пусть материал подложек имеет меньшие модули упругости по сравнению с мате-
^ 3
риалом пластины: ккрс[ /Лкрч = О( е1). Однородное на бесконечности внешнее напряжение 111 приложено только к пластине, причем
О Ц = О( е2) + О( е?)
Задача упрощается, когда нет внешних нагрузок порядка е1 [5]1.
1 См. также: Киселев В.В., Долгих Д.В. Эффективная модель двумерной нелинейно-упру-
гой динамики тонкой пластины: Препринт < 26/50(02). Екатеринбург: ИФМ УрО РАН, 2001.
Деформации подложек описываем другими безразмерными переменными: к = Хк/I, т = г/тсЬ, V; = ац, г, к = 1, 2, 3
В безразмерных переменных уравнения нелинейной теории упругости для подложек имеют вид
^ 2 — ^ ^ ^
МТоеАи = У о = Цр0/(Цр0) = 0(1), Э; = Ц.7)
Перечисленными условиями выделена область физических параметров задачи, в которой нелинейная динамика пластины может быть изучена в рамках упрощенной модели [5]. Далее рассматривается случай, когда поля смещений трехслойной среды не зависят от координаты х2( X2) и компоненты смещений «2 и и2 равны нулю. С целью построения модели будем искать решение динамических уравнений трехслойной среды в виде
из = и30)(^1,т) + X "3Я)(^1, п, т), «1 = м10)(^1,т) + X м1я)(^1,п,т)
п=2 п=1
(1.8)
и. = ХиС^зЛ), г = 1, з
п = 0
Верхние индексы указывают общий порядок слагаемых по параметрам е1 и е2 (е1 ~ е2). Отметим, что поля «3°) и и(0) описывают локальные деформации среды с характерным масштабом I: ди(0) /Э^к = 0(1), д из°° /Э^1 = 0(1), а также их медленные простра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.