ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 5, 2014
НАДЕЖНОСТЬ, ПРОЧНОСТЬ, ИЗНОСОСТОЙКОСТЬ МАШИН
И КОНСТРУКЦИЙ
УДК 539.43
© 2014 г. Махутов Н.А., Резников Д.О.
СОПОСТАВЛЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ И ВЕРОЯТНОСТНЫХ ОЦЕНОК
ПРОЧНОСТИ КОНСТРУКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ПРИ СЕРИЙНЫХ НАГРУЗКАХ
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва
Представлено сопоставление детерминированных и вероятностных оценок прочности для случаев серийного нагружения на основе использования результатов теории экстремальных значений. Обосновывается необходимость уточнения традиционных оценок, получаемых в предположении об однократности приложения нагрузки.
Ввиду вариативности нагрузок на конструктивные элементы технических систем, разброса механических свойств конструкционных материалов, неточности геометрических размеров, несовершенства контрольно-измерительного оборудования и расчетных моделей, прочность конструктивных элементов имеет вероятностный характер. Задачи обеспечения прочности конструктивных элементов технических систем традиционно решали в рамках детерминированных подходов [1—5]. В этих рамках перечисленные факторы неопределенности учитываются с помощью введения коэффициентов запаса п по основным механизмам достижения предельных состояний, которые должны превосходить нормативные предельно допустимые значения [п], т.е. п > [п].
В последние годы осуществляется переход к решению задачи обеспечения прочности конструктивных элементов в вероятностной постановке [2, 6—8], предполагающей оценку расчетной вероятности разрушения Pf конструктивного элемента, которая не должна превышать предельно допустимой величины [Р], т.е. Pf < [Р].
При этом важно провести сопоставление критериев прочности, используемых в рамках детерминированного и вероятностного подходов [8—12]. В работах [13, 14] изучена зависимость вероятности разрушения р: от избранного запаса прочности п1 при однократном статическом воздействии, а также от коэффициентов вариации нагрузки и несущей способности. Если нагрузка и несущая способность распределены по нормальным законам FL(x) = N(£{1}, ¿{Х}) и FR(x) = ЩЩЯ}, ¿{Я}) (где Е{Х}, ¿{Х}, E{R} и
¿{К} — математические ожидания и среднеквадратичные отклонения нагрузки Ь и не
сущей способности К), то справедлива следующая зависимость [13, 14]: (
г,., = Ф
V, + V,
n, - 1
1 1 (1)
где Ф() — функция Лапласа; nl = E{R}/E{L} — центральный запас прочности при однократном статическом нагружении; vl = S{L}/E{L} и vr = S{R}/E{R} — коэффициенты вариации нагрузки и несущей способности (прочности).
Уточнение соотношений между запасом прочности и вероятностью разрушения с учетом серийности нагрузки. В более общей постановке необходимо оценить вероятность разрушения, когда в процессе эксплуатации, система подвергается неоднократной нагрузке L, а серии воздействий Lx, L2, ..., Lm. С учетом имеющихся неопределенностей (вариативности параметров системы и внешней среды), величины Lx, L2, ..., Lm являются случайными. Будем считать, что они являются независимыми и одинаково распределенными по нормальному закону с функцией распределения FL(x) = N(E{L}, S{L}. При этом длина серии m полагается детерминированной и известной величиной. Кроме того, будем считать, что несущая способность элемента также является случайной величиной R, распределенной по нормальному закону FR(x) = N(E{R}, S{R}). При этом будем пренебрегать деградацией прочностных свойств материала, т.е. примем E{R} = const в течение срока эксплуатации Тэ (рис. 1).
Рассмотрим величину максимальной нагрузки Lmax = max{Lb L2, ..., Lm}, действующей на конструктивный элемент. Очевидно, что эта величина также является случайной, причем ее функция распределения определяется выражением
Fl max (*) = P( Lmax * *) = P (L * ¿2 * Lm * *) = (FL (*)) " ,
а функцию плотности распределения можно записать как
Lmax(*) = = m[Fl(X)]"- ^(*) .
Условие обеспечения прочности конструктивного элемента, подвергающегося в течение срока своей эксплуатации воздействию серии импульсных нагрузок, можно записать в виде Lmax < R.
Условие достижения предельного состояния (разрушения) будет записываться как
Lmax > R.
В рассматриваемом случае серийного нагружения вероятность предельного состояния разрушения р, ser = P(Lmax > R) будет определяться перекрытием графиков функций плотностей распределения максимума нагрузки fLmax и прочности fR. При этом очевидно, что р, ser будет зависеть от длины серии импульсов m (рис. 2).
Поскольку исходное распределение величины L подчиняется нормальному закону, то согласно теореме Фишера, Типетта и Гнеденко распределение максимума FLmax(x) при m ^ да имеет асимптотическую форму, соответствующую экстремальному распределению типа I, при котором функции распределения и плотности распределения имеют вид двойного экспоненциального распределения [6, 15]
Fl max (x) = exp [-exp { -a,J (x - E{ L } )/S{ L } - Um ]}] , (2)
fL max( X) = a m eXP {-am(x - Um) } eXP [ - eXP {-am[(x - E{ L })/S { L } - Um ]}] (3)
где um = S{ L }02ln m - + E{ L } и am = „/2ln m/S{ L } .
v 2*/2 ln m J
Я, Х Е{Я}
0 г1 г2
гг г,
зег П1 2 [и]
1
0
и1, Ияег
3
р 1, р, зег 1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
10 [т] 100 т 1000 5 7 9 11 13 15
£{Х}, кт
2 ---•
| ' 1
Рис. 1
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 1. Серия воздействий на систему
Рис. 4. Зависимость запаса прочности от количества импульсов нагрузки в серии: 1 — серийный запас и!еп
2 — нормативный предельно-допустимый запас [и] Рис. 5. Сопоставление зависимостей запасов прочности и вероятностей разрушения при однократных и серийных нагрузках при увеличении интенсивности нагрузки: 1 — запас прочности при однократном нагружении, н^; 2 — запас прочности при серийном нагружении, ивег; 3 — вероятность разрушения при однократном нагружении рд; 4 — вероятность разрушения при серийном нагружении Р8ег ^
Г Т Г
1т 1
1
При этом математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение экстремального распределения определяются выражениями
Е{ ¿шах} = ит + У/^ 3{¿шах} = -р= , (4)
V6 ат
где у = 0,577 — константа Эйлера.
На рис. 2 представлены графики функций плотности распределений максимумов Хшах|т, построенные для случаев, когда серии составляют т = 1, т = 10, т = 100 и т = 1000 импульсов, а также график функций плотности распределения несущей способности Я. В рассматриваемом примере интенсивность каждого из импульсов нагрузки является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами распределения Е{Хк} = 6 км, ¿{Х} = 1,2 км (г = 1, 2, ..., т), а несущая способность также является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами распределения £{Я} = 13 км, ¿{Я} = 1,1 км. Анализ графиков свидетельствует о том, что с ростом количества импульсов в серии, распределения максимумов нагрузки будут существенно смещаться вправо.
Можно показать, что при длинах серий импульсов т > 10 использование асимптотических распределений максимумов вместо точных распределений является вполне корректным. Действительно, поскольку исходное распределение интенсивности импульса нагрузки подчиняется нормальному закону
(х) = 1 "г ехр |-(Х—ЕЩ 2 и,
' здт2П Л р 1 1 3(1) ) I ,
—да
то функцию распределения максимумов серии из т импульсов можно записать как
/ х ^ >. ч т
= ^^ = [^ | =Р{-^2}*) , (
— ТО
f(x) 1,0
0,6
0,2 0
Рис. 2. Функции плотностей распределения максимумов нагрузки и прочности: 1 — плотность распределения однократной нагрузки для серии из m = 1 импульсов) fLmax|m = :(x); 2 — плотность распределения максимумов нагрузки для серии из m = 10 импульсов fLmax|m = ю(х), 3 - из m = 100 импульсов
f 2 (x), 4 — из m = 100 импульсов f 3 (x), 5 — плотность распределения проч-
L max|m = 10 Lmax|m = 10
ности fR(x)
fx) 0,9
0,7
0,5
0,3
0,1
0
Рис. 3. Сопоставление асимптотических и точных распределений максимумов при различных длинах серий нагрузок: 1 — плотность распределения интенсивности однократной нагрузки т = 1; плотность распределения интенсивности максимумов при: 2 — т = 10 (асимптотическое решение), 3 — т = 10 (точное решение), 4 — т = 100 (асимптотическое решение), 5 — т = 100 (точное решение), 6 — т = 1000 (асимптотическое решение), 7 — т = 1000 (точное решение)
а функцию плотности распределения максимумов как = - ™р {2 }■
Сопоставив графики плотностей точных и асимптотических распределений для различных т (рис. 3), можно сделать вывод, что для длин серий импульсов т > 10, асимптотические распределения максимумов серии нагрузки достаточно точно аппроксимируют точные распределения. Замена точных распределений вида (5) и (6) на асимптотические распределения вида (2) и (3) удобно, так как позволяет получить достаточно простые выражения (4) для математического ожидания и среднеквадратиче-
ского отклонения максимальной нагрузки в серии Lmax. Это, в свою очередь, позволяет оценивать запас прочности и вероятность разрушения при серийных нагрузках.
Очевидно, что в случае наличия серии из m импульсов нагрузки необходимо перейти от традиционной записи условия обеспечения прочности вида R > L, к выражению R > Lmax|m. При этом центральный запас прочности nser для случая, когда режим нагру-жения состоит из серии импульсов, становится функцией от количества m импульсов в серии
Пе-(Х) = ^EPl . (
EíLmax|ml
Причем эта функция существенно убывает с ростом длины серии (рис. 4). В рассматриваемом примере он снижается с nl = 2,17 при однократном воздействии m = 1 до nser(103) = 1,31 при m = 1000.
Приняв величину допустимого запаса прочности [n] = 1,5, можно найти максимальное допустимое количество импульсов [m], которое равно [m] = 39.
Можно оценить зависимость вероятности разрушения элемента от количества импульсов в серии. Согласно [15, 16], она определяется выражением
да да
Pf, ser = JfLmax(x)FR(x)dx = J { 1 - FLmax(x) }fR(x)dx ,
—да —да
или с учетом выражения (3)
да
Pf, ser = J { 1 — exp [—exp { —am [(x — E { L })/5 { L } — um ]}]}x
5 { R }V2n
exp
(x - E { R } ) 2 2 5 { R }2
dx.
Полученное выражение можно проинтегрировать численно. Однако, учитывая, что распределение величины Хшах является весьма ком
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.