ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2012, том 75, № 11, с. 1447-1461
= ЯДРА ^^
СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ МНОГОЧАСТИЧНОГО РАССЕЯНИЯ И ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
© 2012 г. В. И. Кукулин, О. А. Рубцова*
Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Россия
Поступила в редакцию 16.01.2012 г.
Дается обзор новых подходов к решению задач многочастичного рассеяния в области выше порога трехчастичного развала, а также новых компьютерных технологий, обеспечивающих эффективную и ультрабыструю реализацию этих новых подходов на серийных персональных компьютерах. Обсуждаемое новое направление базируется на двух ключевых моментах: новой формулировке теории рассеяния в дискретном гильбертовом пространстве стационарных волновых пакетов и массивно-параллельном решении результирующих матричных уравнений с использованием ультрабыстрых графических процессоров (так называемые GPU-вычисления). Для удобства читателя мы даем также краткий обзор применений современных GPU-вычислений в медицине, физике, военном деле и др.
1. ВВЕДЕНИЕ.
краткий исторический экскурс
Настоящая работа представляет собой обзор новых вычислительных технологий, созданных в последние годы для решения задач в квантовой теории многочастичного рассеяния. Поэтому естественно предварить такой обзор некоторым историческим введением, из которого читателю стало бы ясно, зачем нужны новые вычислительные технологии в этой области и какие принципиально новые возможности тут возникают благодаря им.
Хорошо известно, что современное развитие квантовой теории трех- и многочастичного рассеяния началось в середине 1950-х—начале 1960-х годов в СССР с формулировки трехчастич-ных интегральных уравнений Скорнякова—Тер-Мартиросяна [1, 2], а затем более общих уравнений Фаддеева [3, 4], который не только нашел правильную форму интегральных уравнений для описания рассеяния в трехчастичных системах, но и построил строгую математическую теорию этих уравнений и доказал их полную эквивалентность соответствующему уравнению Шредингера. Чуть позже ученик Л.Д. Фаддеева О.А. Якубовский смог обобщить интегральные уравнения Фаддеева (УФ) на случай рассеяния в системе произвольного числа частиц (см. детали в книге [5]). И, наконец, в начале 1970-х годов другой ученик Л.Д. Фаддеева С.П. Меркурьев нашел [6, 7] дифференциальную форму УФ вместе с необходимыми граничными условиями для процессов упругого рассеяния и трехчастичного развала.
E-mail: rubtsova-olga@yandex.ru
Вскоре после формулировки УФ начались и первые попытки [8, 9] их численного решения применительно к задаче nd-рассеяния при низких энергиях сначала в СССР, а потом и в других странах. Немного позже были предприняты также попытки решения УФ применительно к другим системам в ядерной и атомной физике. В то же время (т.е. в середине 60-х годов прошлого века) Ю.А. Симоновым и др. [10] был предложен новый вариационный подход, названный авторами как метод K-гармоник, для решения шрединге-ровской задачи N тел, в основном применительно к расчетам дискретного спектра N-частичной системы, но не только. K-гармонический подход и его многочисленные модификации оказались весьма продуктивными для иссследования не только малонуклонных, но также легких, средних и даже тяжелых ядер [11], и в результате этот общий вариационный подход тоже оформился в некоторое новое направление в атомной и ядерной физике.
В итоге, к середине 60-х годов XX века в теоретической физике оформилось новое междисциплинарное направление — физика малочастичных систем (few-body physics), которое объединило специалистов (как теоретиков, так и экспериментаторов!) в области атомной, ядерной и адронной физики, а также экспертов в области математической физики. Появился специализированный международный журнал "Few-body systems", и стали регулярно проводиться представительные международные и советские конференции по физике малочастичных систем.
При этом быстро выяснилось, что сложность реалистических потенциалов взаимодействия, в
частности известных мезонных потенциалов NN-взаимодействия, такова, что на имевшихся в то время (т.е. в 1960—1970-е годы) компьютерах, даже самых мощных, решить УФ с реалистическими потенциалами выше порога трехнук-лонного развала без дальнейших приближений было практически невозможно, не говоря уже о решении уравнений Якубовского. Метод K-гармоник также приводил к большой системе зацепляющихся дифференциальных (или интегро-дифференциальных) уравнений. Однако быстрое развитие вычислительной техники в мире привело в 1980-е годы (в основном в США) к созданию суперкомпьютеров, на которых все вычисления проводились не последовательным образом, а в параллельном режиме с помощью сотен и тысяч вычислительных узлов, объединенных в одну огромную вычислительную систему.
В результате развития мощных суперкомпьютеров в мире появилось несколько теоретических групп (в основном в Германии), которые смогли проводить серийные малонуклонные вычисления с использованием УФ на основе высокоточных реалистических 2N- и 3N-взаимодействий. Однако если иметь в виду именно систематические мало-нуклонные вычисления с детальным сравнением теоретических предсказаний с новыми экспериментальными данными, то можно указать здесь только две немецкие группы: в Ганновере (группа П. Зауэра) и в Бохуме (группа В. Глекле), которые за два последних десятилетия провели многочисленные исследования большого числа конкретных процессов в трех- и четырехнуклонных системах. Обе группы использовали для своих расчетов самый мощный в Европе суперкомпьютер Blue Gene, установленный в Юлихе, с пиковой производительностью 500 терафлоп/с, т.е. порядка 5 х 1014 операций с плавающей точкой в секунду (см. ниже рис. 1). К сожалению, такая ситуация, при которой всего две-три группы в мире были в состоянии выполнить важные ядерно-физические вычисления, причем без всякой проверки со стороны других групп исследователей, кажется весьма неудовлетворительной, что и подтвердилось в дальнейшем. В самом деле, после отставки (по возрасту) лидеров двух немецких групп обе эти группы распались, и сейчас в Европе осталось несколько маленьких групп (Г. Витала и др. в Кракове, Р. Лазаускас и др. в Страсбурге, А. Фонсека и др. в Лиссабоне), которые в состоянии проводить полные и точные трех- и четырехчастичные вычисления выше порога трехчастичного развала [12, 13]. К сожалению, исследователи в СССР и даже в настоящее время в России так и не смогли преодолеть все трудности численного решения УФ с современными реалистическими 2N- и 3N-силами и остались все еще на уровне малонуклонных расчетов с простыми
моделями парных сил. О конкретных причинах этого и об основных вычислительных проблемах, встречающихся в этой области, мы будем говорить в следующем разделе. Здесь только укажем, что как раз сейчас появились совершенно реальные возможности не только ликвидировать это отставание, но и сделать следующий шаг по сложности и степени реалистичности исследуемых ядерно-физических моделей и сил. Это, с одной стороны, обусловлено развитием совершенно новых методов решения малочастичных задач (в частности, систем уравнений Липпмана—Швингера и УФ), а с другой — может опираться на широкое использование новейших вычислительных средств — современных графических процессоров, уже хорошо представленных сейчас на российском компьютерном рынке, причем за очень умеренную цену.
Несколько слов об используемой нами терминологии. Мы будем обсуждать в настоящей работе не только новые методы решения задач квантовой теории рассеяния, но и принципиально новые компьютерные реализации этих методов с использованием ультрабыстрых графических процессоров (так называемых Graphics Processing Unit (GPU)), а также новых средств программирования на основе специальной архитектуры CUDA.
2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ РЕШЕНИИ МАЛОЧАСТИЧНЫХ ЗАДАЧ РАССЕЯНИЯ
Основные трудности решения задач рассеяния нескольких тел сводятся к двум проблемам: высокой размерности результирующих уравнений (не важно, дифференциальных или интегральных) и сложной аналитической структуре интегральных ядер, включающих переменные пределы интегрирования, движущиеся логарифмические особенности и необходимость в очень большом числе многомерных интерполяций на каждом шаге итераций уравнений.
Для примера напишем здесь одно из уравнений Фаддеева для компонент волновой функции системы трех нуклонов в квартетном канале (т.е. для полного спина системы Б = 3/2) с использованием парциально-волнового разложения в схеме ■]-]-связи (мы полностью следуем здесь обозначениям работы [14]):
ф^ (р, д, а) = ф^ (р, д; а) - 2 ^ ^ р^ср х (1)
«2
Í (1) K2
х / gl<lg2 2 22—Ф{31)('Р2,д2,а2), J p2 + q2 _ S
0
0
где фаддеевские компоненты волновых функций (р,д,а) (г = 1,2,3) определяются через действие трехчастичной, Т(г), и парной, Тг, матриц на полную волновую функцию \ф)л в импульсном представлении:
^)(р,д,а) = 1(р,д,а\Т(1) (з)\ф)л, (2) ф^1)(р,д,а) = 1(р,д,а\Т1 (в)\ф)л,
а ядро уравнения К2 есть матричный элемент от двухчастичной Т-матрицы по трехчастичным функциям свободного движения (плоским волнам), определенным в двух разных наборах координат Якоби 1 и 2:
(1)К2 = 1(р,д,а\Т1 (в)\р2,Я2,а2)2- (3)
Символ а включает в себя угловые и спиновые индексы. Опуская все детали редукции (см. [14]), получим интегральную часть УФ (1) в виде
^ те
/[ К2
РЫР2 / д^,д2 2 2—Ф^Чр2,д2,а2) = (4)
J р2 + д2 — в
0 0
1
- Е ÍJJIÍSS^T^Á-^2-^-72 X
Si,Ji
x TT2W(Í1Í3T2Í2; T2T)J2 (TTzttz\TTZ) x
1/2
Tz ,tz
{TTzttz \T2T2zhi ,L Y,
2l + 1
Li AAvv 1V2 \ 2Л
1/2
X I 2Ll + 1 (_1)Ll+'"A(ai2)1-^+Л-1 x 2Л
X (в12)A+Ll-M2L2 + 1)1/2(2l2 + 1)1/2 X x (2^1 + 1)(2v2 + 1)[2(L1 - Л) + 1]1/2 x
x [2(l - Л) + 1] 1/2 ¿2 | L "А (Л x
0 0 W 0 0 0
v l2 v2\ I L1 — Л l — Л v2
Gj-
0 0 0
0 0 0
(«12 Q2+q)/ei2
Y+1
x J dg2g2Li^+l-X+1 j dp2p^+x+1 x 0 |«i2 q2-q|/ei2
(p2,p2 + g2 — g2; * — q2)
X ___ ^
(p2 + g| — s)(P2 + g| — g2 )Li /2
Рис. 1. Фотография самого большого в Германии векторного суперкомпьютера Blue Gene, установленного в Юлихе (в сокращении Jugene), с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.