ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2010, том 36, № 7, с. 607-626
НЕУСТОЙЧИВОСТИ ^^^^^^^^^^^^ ПЛАЗМЫ
УДК 533.951
СПЕКТР КОЛЕБАНИЙ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА С МАЛОЙ ДОБАВКОЙ ИОНОВ
© 2010 г. Ю. Н. Елисеев
ННЦ "Харьковский физико-технический институт", Украина Поступила в редакцию 18.03.2009 г.
Окончательный вариант получен 19.10.2009 г.
Решена задача об устойчивости заряженной плазмы, полностью заполняющей волновод и состоящей из замагниченных "холодных" электронов и малой добавки ионов, образовавшихся ионизацией атомов фонового газа. Ионы описываются анизотропной функцией распределения, учитывающей особенности их образования в скрещенных электрическом и магнитном полях. Путем совместного решения системы уравнений Власова—Пуассона аналитически получено дисперсионное уравнение, справедливое во всем диапазоне допустимых значений электрического и магнитного полей. Его решения определены численно для основной азимутальной моды m = +1. Спектр колебаний плазмы состоит из семейств электронных мод Трайвелписа—Гоулда (TG), частоты которых равны частотам "косых" ленгмюровских колебаний с доплеровским сдвигом, обусловленным вращением электронов, и семейств "модифицированных" ионных циклотронных (MIC) мод, частоты которых близки к гармоникам MIC-частоты (частоты радиальных колебаний иона в скрещенных полях). Показано, что TG-моды, в широком интервале изменения полей являются низкочастотными и взаимодействуют в этой области с MIC-модами. TG-моды неустойчивы в окрестности пересечения с гармониками MIC-частоты с неотрицательными номерами. Наибольший инкремент нарастания имеет низшая радиальная TG-мода в окрестности пересечения с нулевой гармоникой MIC-частоты. MIC-моды неустойчивы в широком интервале изменения полей и имеют значительно меньшие инкременты нарастания. При малой плотности ионов методом теории возмущений получено упрощенное дисперсионное уравнение, учитывающее нелокальный вклад ионов, но имеющее вид локального дисперсионного уравнения плазмы с поперечным током и анизотропными ионами. Решения уравнения найдены аналитически. Величины инкрементов нарастания TG-мод и поведение MIC-мод согласуются с результатами численных расчетов.
1. ВВЕДЕНИЕ
Заряженная плазма с замагниченными электронами и незамагниченными ионами образуется во многих экспериментах и устройствах. Это плазменные линзы, источники ионов, технологические устройства, выполненные на основе ячейки Пеннинга [1]. Такая плазма образуется в канале электронных и ионных пучков как вторичная плазма [2, 3]. Ряд недавних экспериментов, где образуется такая плазма, приведен в [4]. В этих устройствах ионы образуются в объеме плазмы ионизацией атомов, молекул фонового газа электронным ударом. Такие ионы обладают следующей особенностью. Из-за большого различия масс электрона и нейтрала последнему передается малая часть энергии электрона и в момент образования ион можно считать покоящимся [2, 5]. При низких давлениях образовавшиеся ионы движутся бесстолкновительно, сохраняя "память" о начальном состоянии. В скрещенных полях ионы совершают колебательное движение по радиусу и вращательное по азимуту в потенциальной яме радиального электрического поля. В режимах с сильным радиальным электрическим полем ионы незамагничены. Их траектории вытя-
нуты по радиусу, амплитуда радиальных колебаний сравнима с радиусом самого плазменного цилиндра, частота радиальных колебаний и частота азимутального вращения значительно превышает ионную циклотронную частоту. Такие режимы реализуются в широком интервале изменения рабочих параметров этих устройств.
Колебания, возбуждающиеся в такой плазме, могут не только влиять на работу этих устройств, приводя, например, к модуляции тока пучка источника ионов, но и вообще препятствовать их работе. Так, электрон-ионная неустойчивость, возникающая при транспортировке электронного пучка через вторичную плазму, приводит к срыву тока пучка [3]. Интерпретация наблюдаемых спектров колебаний такой плазмы в широком интервале изменения электрического и магнитного полей, плотностей электронов и ионов остается нерешенной до сих пор задачей ([1], С. 443) из-за отсутствия теории, учитывающей особенности кинетического равновесия ионов и корректно рассматривающей устойчивость плазмы с такими ионами. Эти ионы в широком диапазоне изменения электрического и магнитного полей являются незамагниченными. В немногих
теоретических работах, где рассматривались такие ионы (см. [4]), равновесная функция распределения определена не была. Ее часто выбирают в виде "жесткого ротатора" [2]. Такой выбор, однако, ниоткуда не следует. Расчет возмущения равновесия незамагниченных ионов в цилиндрической геометрии в скрещенных полях был проведен в известной работе [5]. Однако полученные в ней интегральные выражения для возмущенной функции распределения столь сложны, что за прошедшие десятилетия ими не удалось реально воспользоваться. Насколько нам известно, их удалось использовать только в [6—9], где определена низкочастотная часть спектра колебаний плазмы в сильном радиальном электрическом поле. Обсуждавшаяся в [5] задача об устойчивости электронного газа с добавкой незамагниченных ионов остается нерешенной.
В настоящее время оба препятствия порознь преодолены. В [6, 9] определена равновесная функция распределения ионов, образующихся в скрещенных полях. Она оказывается сильно анизотропной. В [10] развит эффективный метод решения линеаризованного уравнения Власова в скрещенных полях в цилиндрической геометрии, который дал простое выражение для возмущения функции распределения частиц. Результаты работ [6] и [10] справедливы во всем диапазоне допустимых значений электрического и магнитного полей, для замагниченных и незамагниченных ионов.
Эти результаты использованы в [4, 11, 12], где рассмотрена устойчивость заряженного плазменного цилиндра, состоящего из замагниченных электронов и малой добавки незамагниченных ионов с функцией распределения, найденной в [6]. Равновесная функция распределения электронов выбрана максвелловской в системе отсчета, связанной с вращающимися с электронами. В [4, 11, 12] электроны предполагались "горячими": |ю - тюе| /(kzvTe) ~ тюе/(kzvTe) < 1 (ю, т, kz — частота, азимутальное число и продольный волновой вектор волны, юе — частота вращения электронов в скрещенных полях, vTe — их тепловая скорость). Аналитически получено дисперсионное уравнение собственных колебаний плазмы, из которого численно определен спектр частот. Собственные колебания в такой плазме существуют только при наличии ионов. Спектр состоит из семейств радиальных мод "модифицированных" ионных циклотронных (MIC) волн. Их частоты расположены в окрестности всех гармоник (положительных, отрицательных и нулевой) MIC частоты как выше, так и ниже самих гармоник. При достаточной плотности ионов и несильной экранировке поля колебаний "горячими" электронами в плазме возникает чисто ионная
неустойчивость. Вид спектра М1С-мод и неустойчивость обусловлены анизотропией ионов.
Настоящая работа является продолжением работ [4, 11, 12]. В ней задача об устойчивости плазменного цилиндра решена в предположении, что электроны являются "холодными"
|ю - mroe|
kZVTe
> 1.
(1)
Аналитически получено дисперсионное уравнение для частот колебаний плазмы (разд. 3). В такой плазме существуют и электронные, и ионные моды колебаний. Это объемные моды Трайвел-писа—Гоулда (TG) и MIC-моды. Показано (разд. 4), что в заряженной плазме имеется низкочастотное семейство TG-мод, которые в широком диапазоне изменения полей имеют частоты порядка характерных ионных частот, и могут взаимодействовать в этой области с MIC-модами. Численно определены спектры колебаний, инкременты нарастания мод (разд. 5). Методом теории возмущений получено и исследовано дисперсионное уравнение, имеющее вид локального уравнения, но учитывающее нелокальный вклад незамагни-ченных ионов (разд. 6). Аналитически найдены его решения. Проведено сравнение c инкрементом нарастания поверхностной моды, найденным в [5]. Определены механизмы неустойчивостей.
2. МОДЕЛЬ ПЛАЗМЫ
Рассматриваемая плазма имеет форму бесконечного цилиндра радиуса a, ограниченного металлическим кожухом. Магнитное поле напряженностью B направлено вдоль оси цилиндра. Электроны плазмы замагничены, однородно распределены по радиусу (ne = const, r < a) и вращаются в скрещенных полях вокруг оси цилиндра с частотой юе = const. В электронной плазме присутствует малая добавка ионов одного сорта (n/ne < 1), которые образовались при ионизации фонового газа электронным ударом и имеют функцию распределения [6, 9]
F(s M,vz) = = NElj ( (a) - s js(e± - œroM)S( ). (2)
В выражении (2) N — плотность образовавшихся ионов (N = const, r < a), ¥(r) — электрический потенциал, Y — функция Хевисайда, 5 — дельта-функция Дирака, б±, M,vz — поперечная энергия, обобщенный момент и продольная скорость иона, wci — циклотронная частота иона, T = 2n/Q l = const — период радиальных осцилля-ций иона в скрещенных полях, Q =
i 2 \1/2 = lœci - 4eEr/mir) = const — MIC частота, Er =
= -d¥ (r)/dr < 0 — радиальное электрическое поле.
Предполагается, что ¥ (r) является квадратичной
функцией радиуса: ¥(r) = ¥(a)(r2/a2), ¥( a) > 0, что позволяет применить метод решения уравнения Власова для ионов [10]. Выражение (2) есть результат упрощения общего выражения, полученного в [6], применительно к такому распределению потенциала.
Сильно анизотропная функция распределения (2) описывает особенности ионов фонового газа, указанные во Введении, и однозначно ими определяется. Сомножитель Y (e¥ (a) -е ±) отражает факт образования ионов в объеме цилиндра r < a. Он придает функции распределения сходство с вырожденным распределением Ферми—Дирака. Сомножитель 8(6± - &rotM) отражает факт образования иона в состоянии покоя. Из-за дополнительной зависимости от энергии, содержащейся в сомножителе Y (e¥ (a) - 6 ±), функция распределения (2) не принадлежит к типу "жесткого ротатора". Коэффициент wrot равен
arot = -cEj(Br) = const > 0. (3)
Формально выражение (3) совпадает с частотой вращения заряженной частицы в скрещенных полях в слабом радиальном электрическом поле
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.