ЭЛЕКТРОХИМИЯ, 2009, том 45, № 11, с. 1403-1408
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 544.6.:621.372.41
СПОСОБ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПО ИМПЕДАНС СПЕКТРОСКОПИИ
© 2009 г. Н. А. Секушин1
Институт химии Коми научного центра УрО РАН, Сыктывкар, Россия Поступила в редакцию 21.11.2008 г.
В работе рассмотрен новый вид диаграмм для импеданс спектроскопии, которые представляют собой зависимости емкости образца от его проводимости. Проведено сравнение этих диаграмм с годографами импеданса для нескольких систем, содержащих резисторы, конденсаторы и индуктивности. Исследованы свойства новых диаграмм и показаны их преимущества по сравнению с традиционными формами представления данных в импеданс спектроскопии.
Ключевые слова: спектроскопия импеданса, диаграммы емкость-проводимость
ВВЕДЕНИЕ
При представлении данных по импеданс спектроскопии (ИС) существует проблема компактного и вместе с тем максимально полного представления экспериментальных результатов. Наиболее часто используют годографы импеданса (зависимости мнимой части импеданса -X' от вещественной части Z). В работе [1] экспериментальные спектры импеданса представлены в виде Боде-диа-грамм, которые состоят из двух кривых: зависимости модуля импеданса от частоты в логарифмическом масштабе по обеим осям и зависимости фазового угла от логарифма частоты. Аналогом Боде-диаграммы в теории радиотехнических цепей являются логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазо-ча-стотная характеристикама (ЛФЧХ) [2]. Для представления данных ИС используют также диаграмму Коула-Коула - это зависимость мнимой диэлектрической проницаемости от вещественной диэлектрической проницаемости [3]. Анализ данных проводят также с помощью частотных зависимостей тангенса угла диэлектрических потерь, проводимости и емкости [3]. Такое многообразие кривых затрудняет сопоставление экспериментального материала, полученного разными авторами. В настоящей работе рассмотрена наиболее оптимальная форма представления данных ИС в виде зависимости емкости Си от проводимости аи, причем эти величины должны быть измерены по параллельной схеме замещения, что помечено подстрочным индексом "и". Этот вид диаграмм мы назвали С,а-диаграммами. В литературных источниках эти диаграммы не встречаются. Вместе с тем они обладают набором полезных
свойств, благодаря которым их использование имеет определенные выгоды.
СРАВНЕНИЕ ГОДОГРАФА ИМПЕДАНСА С С,а-ДИАГРАММОЙ
1. Модель Войта (рис. 16), состоящая из одного звена.
Эта модель эквивалентна простейшей модели Максвелла (рис. 1а), в которой присутствует только сквозная проводимость а0 и геометрическая емкость С^. По известной процедуре определим импеданс однозвенной модели Войта [2, 4]:
2() ш) =
Я
Я
Т +1
ш2 Т2+1 ш2Г+1
ш ЯТ ) -тз—, (1)
где Т = ЯС - постоянная времени; ] - мнимая единица; ш - круговая частота.
Отсюда находим выражение для вещественной Z и мнимой Z' частей импеданса:
2 =
Я
ш2Т2 + 1
; -2" =
ш ЯТ ш2 Т 2+ 1'
(2)
1 Адрес автора для переписки: sekushin-na@chemi.komisc.ru
(Н.А. Секушин).
Мнимая составляющая имеет максимум при
Я
шТ = 1. В этой точке Z' = -7'' = —.
2
Несложно показать, что годограф комплексной функции (1) представляет собой полуокружность. С этой целью необходимо сместить годограф влево на Я/2. В результате центр полуокружности совмещается с началом координат. Далее по теореме Пи-
1404
СЕКУШИН
(а)
С«
о0
С
1 Ох
С
С
2 О2
3 Оз
(б) С1
Ях
(в)
С2
Ях
Я2
С
С3
ч н ч н ч н
Яз
Рис. 1. Схемы исследуемых двухполюсников: а - модель Максвелла; б - модель Войта; в - индуктивно-емкостная цепь (ИЕЦ).
фагора находим радиус окружности г, который не должен зависеть от частоты:
г2 = (г1-Я) + (г")2 =
я
2^2 1 2 ю Т +1 2
-Я ] 2 +
ю ЯТ
ю2Т2+1) 4
2 = 1 я2.
(3)
диусом г
2
ю2 т1 + 1
ю2 Т 2 + 1'
-г" =
ю Я1Т1 ю Я2 Т2
(4)
ю2 т1 + 1
+
ю2 т 2 + 1
На рис. 2 (слева) изображены годографы для трех двухзвенных моделей Войта, построенные с помощью соотношений (4). Для получения соответствующих С,о-диаграмм запишем выражение для адмиттанса:
У( ] ю) = О и + ]ю Си =
Таким образом, годограф для простейшей модели Войта представляет собой полуокружность с раЯ
1 = г + ] г ■ (5) г'- (г) 2 + (г)2'
Отсюда находим формулы для перехода от годографа к С,о-диаграмме:
Из приведенного анализа простейшей системы можно сделать следующие выводы:
1. Представление экспериментальных результатов в виде годографа г(]ю) нельзя считать оптимальным, так как даже при отсутствии релаксационных процессов возникает полуокружность, правильность которой необходимо доказывать измерениями импеданса в широком диапазоне частот.
2. Если в системе присутствуют релаксационные процессы, то это приведет к деформации полуокружности. Анализ этих искажений представляет собой достаточно сложную задачу.
3. Для рассматриваемой простейшей модели Войта следует считать максимально удобной С,о-диа-грамму, поскольку система, в которой нет релаксационных процессов, отображается в этом случае в виде точки.
2. Модель Войта, состоящая из двух звеньев. Импеданс двухзвенной модели Войта имеет следующий вид:
Я1 Я2
г = ——1— + 2
г1
2
Си =
г"
ю г
2
(6)
где \г\ - модуль импеданса.
На рис. 2 (справа) представлены С,о-диаграммы, рассчитанные с помощью (6).
Если известна С, о-диаграмма, то импеданс можно определить по формулам:
г =
1У
2
-г" =
ю Си
У
2
(7)
где \У|2 = о2и + ю2 С2и - модуль адмиттанса.
Таким образом, С,о-диаграмма двухзвенной модели Войта представляет собой отрезок прямой линии. Полученный результат имеет важное практическое значение для ИС. Для получения кривой годографа требуется производить замеры импеданса на большом количестве частот, поскольку кривая имеет сложный характер. Вместе с тем построение С, о-диаграммы можно осуществить по гораздо меньшему количеству точек.
Я2 ь
Ои =
С, 0.012
0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 0
°0-г
ООО,
°ООо(
'°оо<
0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
а,,
Рис. 2. Годографы (слева) и соответствующие им С,а-диаграммы (справа), построенные в условных единицах (у.е.) для двухзвенной модели Войта (рис.1б). Сопротивления Я1 = Я2 = 10. Постоянные времени Т1/Т2:1 - 0.1/0.01; 2 - 0.2/0.005; 3 - 0.5/0.002. Диапазон частот от 1 до 1000.
Си
0.004
о о
>0000000000000
ОООООСЩЩЩЭ
0 5 10 15 20 25 30 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
г аи
Рис. 3. Годограф трехзвенной модели Войта (слева) и соответствующая ему С,а-диаграмма (справа), построенные в у.е. Параметры модели: Я1 = Я2 = Я3 = 10; Т1 = 3; Т2 = 0.01; Т3 = Диапазон частот от 1 до 10000.
3. Модель Войта, состоящая из трех звеньев.
Импеданс трехзвенной модели Войта имеет следующий вид:
И =
Я1
Я 2
Я 3
ш2 Т 2 + 1 ш2 Т 2 + 1 ш2 Т3 + 1'
-г" =
ш Я, Т1 ш Я 2 Т 2
1 1 + „ -2 2 +
ш Я 3 Т
(8)
33
ш2 Т21 + 1 ш2 Т 2+1
ш2 т 3 + Г
В работе [5] двухполюсник, изображенный на рис. 1в, был назван индуктивно емкостной цепью (ИЕЦ). Емкость и проводимость ИЕЦ можно определить по следующим формулам [5]:
На рис. 3 слева представлена кривая годографа, а справа - С,а-диаграмма.
4. Моделирующая систему схема содержит индуктивность (рис. 1в).
Си =
1
1
2 2 2 2 Я1 ш Т1 + 1 Я 2 ш Т 2 + 1
1 1
Я 2 2 1 Я 2 2 л
Я1 ш Т1 + 1 Я 2 ш Т 2 + 1
22 1 ш Т1
а и = —■^- +
где Т1 = Я1С; Т2 = —— постоянные времени. Я2
3
2
1
Рис. 4. Годограф ИЕЦ (слева) и соответствующая ему С,о-диаграмма (справа, точки), построенные в у.е. Параметры ИЕЦ: Я1 = Я2 = 1, Т1 = 4, Т2 = 1. Прямая линия является касательной к низкочастотному участку С,о-диаграммы. Диапазон частот от 0.01 до 1.
Рассчитанная по (9) С,о-диаграмма изображена на рис. 4 справа. Годограф определен по формулам (7) и построен на рис. 4 слева.
ТЕОРЕМА О МАТЕМАТИЧЕСКОМ
ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МОДЕЛИ МАКСВЕЛЛА И МОДЕЛИ ВОЙТА
Для анализа свойств С, о-диаграмм требуется доказать эквивалентность моделей Максвелла и Войта. В работе [6] было показано, что ЯС-двухполюс-ник любой сложности можно свести к модели Максвелла. Там же были выведены соотношения, облегчающие процесс такого преобразования. Функция проводимости ЯС-двухполюсника с неравными нулю геометрической емкостью С^ и сквозной проводимостью о0 имеет следующий вид [6]:
У( Р) =
У1 (р) У 2( Р)
п+1 п п- 1
а о Р + а 1Р + а 2 Р + • + ап +1
Ь1 Рп + Ь2РП-1 + ... + Ьп + 1
(10)
= О о +
п
рс„ + У ,
^т р +1
/ = 1
Рассмотрим теперь функцию сопротивления этого же двухполюсника, для чего необходимо поменять местами полиномы числителя и знаменателя:
г( р ) =
У 2( Р) у 1 (Р)
7 п 7 п - 1 7
Ь1Р + Ь 2 Р + ••• + Ьп + 1
п + 1 п п - 1
а0 Р + а 1Р + а2 Р + ... + ап + 1
(11)
В работе [7] было показано, что для ЯС-двухпо-люсников полином У1(р) имеет отрицательные, вещественные и разные по величине корни. В этом случае У1(р) можно разбить на сомножители и далее разложить правую часть (11) на простые дроби:
п +1
г (Р) = У
1 = 1
ТР + 1'
(12)
где У1(р) и У2(р) - полиномы степени п + 1 и п, соответственно; Р - переменная Лапласа; а0, ..., ап + 1,
Ь1, ..., Ьп+1 - постоянные величины; Т = = — - по-
О Р1
стоянная времени /-той ветви модели Максвелла; -Р - корни полинома У2(р).
где Т = ЯС^ - постоянная времени /-того элемента модели Войта.
Известно, что резисторы суммируются при их последовательном соединении. Поэтому эквивалентная соотношению (12) схема представляет собой модель Войта.
Таким образом, математическая эквивалентность моделей Максвелла и Войта доказана. Отсюда вытекает возможность привязки экспериментальных данных как к модели Войта (годограф импеданса, Боде-диаграмма), так и к модели Максвелла (годограф адмиттанса, диаграмма Коула Ко-ула, С,о - диаграмма).
СВОЙСТВА С,о-ДИАГРАММ
1. Для системы с одним временем Максвеллов-ской релаксации (двухзвенная модель Войта)
С,а-диаграмма представляет собой отрезок прямой линии. Ниже приведено доказательство этого утверждения.
Выражения для емкости и проводимости получим из (10):
Си = См +
С
22 ш т +1
а,, = ао +
Сш2т
2 2 -
ш Т + 1
= ао + -1 С -
С
22 ш Т + 1
(13)
(14)
Соотношения (13) и (14) можно объединить одно не зависящее от частоты выражение:
Си = С + См - т(аи - а
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.