МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2012
УДК 538.3
© 2012 г. О. М. ОСТРИКОВ
СПОСОБ РАСЧЕТА ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В ДЕФОРМИРУЕМОМ УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ПРИ НАЛИЧИИ У ЕГО ПОВЕРХНОСТИ ПОЛИСИНТЕТИЧЕСКОГО ДВОЙНИКА
Решена задача расчета полей напряжений у полисинтетического двойника, находящегося у поверхности, при действии на границу упругого полупространства сосредоточенной или распределенной нагрузки. При этом приближение тонкого двойника не использовалось. Установлено, что действие внешних напряжений способствуют такому перераспределению напряжений, при котором их локализация наблюдается не только в области действия внешних нагрузок, но и в областях, удаленных от вершин двойников полисинтетического двойника.
Ключевые слова: двойникование; поля напряжений; сосредоточенная нагрузка; распределенная нагрузка.
1. Введение. При деформировании двойникующихся материалов двойники в них, как правило, образуются группами [1—3]. Наиболее распространенной ситуацией является формирование группы параллельных двойников [3]. Эта группа получила название полисинтетического двойника [1]. Научный и практический интерес представляет разработка методики расчета полей напряжений в деформируемом материале при наличии в нем полисинтетического двойника. Это связано с тем, что двойники способствуют локализации напряжений в определенных областях деформируемого материала, которые приводят к появлению трещин, ведущих к разрушению.
Целью данной работы стала разработка методики расчета полей напряжений в деформируемом упругом полупространстве при наличии у его поверхности полисинтетического двойника.
2. Постановка задачи и ее решение. В нагруженном вдоль прямой упругом полупространстве при произвольном распределении нормальных р(х) и касательных усилий д(х) напряжения определяются по формулам [4]:
2 , " , ч3
X у) = - 2у Г Р(^ ) (х - <<) ^ - 2 Г д( ^ ) (XX - 3) ds ~ П I [(X - 3)2 + у2]2 п-] [(X - 3)2 + у2]2
(х у) = - 2у Г р(з) ^ _ 2у Г д(3 ) (х - 3 ) ^ (2 1)
^ ' п -Ь [(X - 3)2 + у2]2 п I [(X - 3)2 + у2]2
ае (х у) = - 2у г р(3)(х - 3 ) ds - 2у г д(3 ) (х - 3 ) 2ds ХУ' П I [(X - 3)2 + у2]2 П [(X - 3)2 + у2]2
Ь а
\\\\\\\V
0'
O
/2(уО)
D
Н
р(х)
д(х)
С\ \ \ \ \
X
Фиг. 1
где а и Ь определяют размер полосы, к которой приложена нагрузка; 5 — параметр интегрирования. Схематическое изображение полисинтетического двойника, находящегося у поверхности упругого полупространства, деформируемой распределенной нагрузкой, представлено на фиг. 1. В случае сосредоточенной нагрузки будем иметь [4]:
У
°хх(х, У) = -2
п
X (Ру + Ох)
- 2 2 ч 2
V (х + у )
(
, а'уу(х, У) = -2
у2 (Ру + Ох)
г 2 2ч 2
V (х + у ) У
а.
у) = -п VxyP+f)
(х + у )
(2.2)
где Р и Q — величины нормальной и тангенциальной составляющих внешней сосредоточенной силы, действующей в точке О (фиг. 1).
Если сосредоточенная сила действует не в точке О, а в любой другой точке на оси ОХ, то в этом случае распределение напряжений может быть найдено из соотношений:
У
ахх(х у) = --п
а<уу(х, у) = -2
п
(х - с)2(Ру + О(х - с))
// \2 2ч 2
V ((х - с) + у )
у (Ру + О(х - с)) V ((х - с)2 + у2)2 у
(2.3)
(х, у) = -2 ((х - с)у(Ру + О(х - с) )У
у ' п^ ^ \2 , 2\2 У
((х - с) + у )
где с — расстояние от точки О (фиг. 1) до точки действия сосредоточенной силы.
Ь
ь
и
2
Расчет напряжений у полисинтетического двойника может быть проведен на основании макроскопической дислокационной модели, разработанной в [5]. Согласно приведенному в [5] подходу напряжения у единичного клиновидного двойника находятся из соотношения
а'у(х, у) = а(1 (х, у) + а\2) (х, у)
(2.4)
где а^1 (х, у) и (х, у) — напряжения, создаваемые каждой границей двойника. Эти напряжения задаются криволинейными интегралами вида
_(1) _ г а(1,0) , ау = ]Р1ау ^
¿1
а(2) _ |"Р а(2, 0) , ау = ] Р2ау ™
(2.5)
(2.6)
где Ь1 и Ь2 — профили двойниковых границ, вдоль которых ведется интегрирование; р: и
(1, 0) (2, 0)
р2 — плотности двойникующих дислокаций на двойниковых границах; а у и а у находятся исходя из напряжений, создаваемых единичной двойникующей дислокацией [6]:
ахх( х, у, у0 ) = - А
х [х2 - (у - у0 ) 2 ] + ^ х [х2 - (у + у0) 2 ] +
[хх + (у - у0)2]2 [х + (у + у0)2]2
+ 4 Б1
ху0 [х2 ( 3у + 2ур) - (у + у0) 2 (у - 2ур ) ] [ х2 + (у + у0 )2 ]
ауу(х, у, у0) = - Вх[х2 + 3(у - ^] + Ах[х2 + 3(у + у0)2]
[х2 + (у - у0)2]2
[ х2 + (у + у0 )2 ]2
- 4ВХ
хуу0 [ х - 3 (у + у0)2 ] [ х2 + (у + у0)2 ]3
(2.7)
а0 г „ „ ) _ п (у -у0)[х2 - (у -у0)2] , п (у + у0)[х2 - (у + у0)2]
аху(x, у,у0 ) = - В1---—--+ в1'
- 2 Ву
[х2 + (у - у0)2]2 х4 - 6х2у (у + у0 ) + (у - у0) (у + у0) 3 [ х2 + (у + у0 )2 ]3
[ х2 + (у + у0 )2 ]2
аxZ(x, у, у0) = В
у - у0
у + у0
■х2 + (у - у0)2 х2 + (у + у0)2-
x, у, у0 ) = -в2
■х2 + (у - у0)2 х2 + (у + у0)2-
I
в1 = , в2 _
2п(1 - V) 2п
Здесь ц — модуль сдвига; V — коэффициент Пуассона; Ь0 и Ьь — модули краевой и винтовой составляющих вектора Бюргерса частичной двойникующей дислокации; у0 — расстояние от дислокации до поверхности.
Из (2.7) для некоторых компонент тензора напряжений получаем
„(1,0) _ в (х -/1(у0) ) [ (х -/1 (Уо))2 - (У - Уо ) 2 ] +
„хх _-В1-2-~2- +
[(х - /1 (Уо)) + (У - У о) ]
+ в (х -/1(Уо ) ) [ (х -/1(Уо))2 - (У + Уо) 2 ] + (2 8)
1 2 2 2 * [(х -/1(Уо)) + (У - Уо) ]
+ 4 в (х - /1 (У о ) ) Уо [ (х - /1 (У о ) )2(3 У + 2Уо) - (У + У о)2 (У - 2 Уо ) ]
[(х - /1 (Уо ))2 + (У + У о )2 ]3 „(1, о) п (х -/1(Уо))[(х -/1 (Уо))2 + 3 (у - Уо)2 ]
„уу _ -в1-2-21-+
[(х -/1 (Уо)) + (У - Уо) ] + в (х - /(Уо ) ) [ (х - /1(Уо))2 + 3 (У + Уо) 2 ] -[(х - /1(Уо))2 + (У - У о)2 ] 2
- 4 в (х - / 1 (Уо ) ) УУ о[(х - /1 (У о ) ) 2 - 3 (У + Уо ) 2 ]
[(х - /1 (Уо ))2 + (У + Уо )2 ]3
„(1, о) п (У - Уо)[(х - /1( У о))2 - (У - Уо)2 ] .
„ху _ -в-2-21— +
[(х -/1(Уо)) + (У - Уо) ]
+ в (У + Уо ) [ (х -/1 (Уо))2 - (У + Уо) 2 ] -[(х -/1(Уо))2 + (У - Уо)2]2
(х -/1(Уо))4 - 6(х -/1(Уо))2У(У + Уо) + (У - Уо)(У + Уо)3
- 2 и1уо-2-~3-
[(х -/1 (Уо)) + (У + Уо) ]
„(2, о) п (х - /2 (Уо ))[(х - /2 (Уо ))2 - (У - У о )2 ] .
„хх _-п1-2-~2- +
[(х - /2( У о)) + (У - Уо) ]
+ в (х -/2(Уо) ) [ (х -/2(Уо))2 - (У + Уо) 2 ] +
[(х -/2(Уо))2 + (У - Уо)2]2
+ 4 в (х - /2 (У о ) ) Уо [ (х - /2 (У о ) )2 (3 У + 2Уо) - (У + У о )2(У - 2 Уо ) ]
[(х - /2 (Уо ))2 + (У + Уо)2 ]3
„(2,0) п (х -/2(Уо))[(х -/2(Уо))2 + 3(У - Уо)2]
„уу = -Б1-2-Г2-+
[(х -/2(Уо)) + (У - Уо) ]
+ Б (Х -/2(Уо) ) [ (Х -/2(Уо))2 + 3 (У + Уо) 2 ] + Б 2 2~1 ( ) [(Х - /2 (У о)) + (У - Уо) ]
- 4 Б (х - /2(Уо ) ) УУ о[(х - /2 (Уо ) ) 2 - 3 (У + У о )2 ]
1 2 2 3
[(X -/2(Уо)) + (У + Уо) ] „(2, о) _ п (У - У о) [(х - /2(Уо ) ) 2 - (У - У о ) 2 ] +
„ХУ _ -Б1-2-21— +
[(Х -/2(Уо)) + (У - Уо) ]
+ Б (У + Уо ) [ (Х - /2( У о))2 - (У + Уо) 2 ] -1 2 2 2 [(X - /2 (У о)) + (У - Уо) ]
- 2 (х - /2 (Уо ) ) 4 - 6 (х - /2 (У о)) 2У (У + Уо ) + (У - У о )(У + Уо ) 3
[(X - /2 (Уо ))2 + (У + У о )2 ]3
где /¡(у,) и /2(Уо) — функции, описывающие форму двойниковых границ (фиг. 1).
Криволинейные интегралы (2.5) и (2.6) сводятся [5] к определенным интегралам вида
I
„(>1)(х, у) _ У1 + (/'(уо))2р1(уо)„(>1'°}(х, у, уо)йУо (2.10)
42)(х, у) _ у 1 + (/'(Уо))2Р2(Уо)„!/'о)(X, У, Уо)dyо (2.11)
о
В (2.10) и (2.11) для упрощения расчетов пренебрегалось величиной ступеньки, которую образуют двойники на поверхности кристалла [6, 7]. Это оправдано тем, что величина этой ступеньки мала по сравнению с длиной двойника и, как показали расчеты, учет величины ступеньки оказывает малое влияние на изменение конфигурации полей напряжений у двойника.
В случае полисинтетического двойника соотношения (2.10) и (2.11) необходимо привести к виду
I
N ь _
4й(X, У) _ X У1 + /'(Уо))2Р1(Уо)„(/'0}(X - «А У, Уо)dyо (2.12)
п _ о о
N Ь
42)(х, У) _ X У1 + (/'(Уо))2Р2(Уо)„(?'0)(X - «Б, У, Уо)dyо (2.13)
п_оо
В данных выражениях просуммированы напряжения, создаваемые всеми N — 1 двойниками полисинтетического двойника. При этом полагалось, что их длина одинакова.
Для определения суммарных напряжений, действующих в упругом полупространстве, при деформировании его поверхности в случае наличия полисинтетического двойника необходимо воспользоваться соотношением:
„у(х, У) _ „ец(х, У) + „%(х, у) (2.14)
3. Результаты и их обсуждение. В данной работе введем следующие ограничения на количество вариантов расчетов решенной выше задачи: 1) плотность двойникующих дислокаций на двойниковых границах одинакова и постоянна, т.е. р1(у0) = р2(у0) = р; 2) границы двойников полисинтетического двойника прямолинейны и описываются функциями:
/1( У о) _ 1 - У°) (3.1)
/2( У о) _-|( 1 - У°) (3.2)
В этом случае (2.12) и (2.13) приводится к виду
I-7-\2 N 1
„Т(х, У) _ р /1 + (Н) X |„ Т0)(х - пв, У, Уо)йуо (3.3)
" п _ оо
N 1
х, У) _ р /1 + (Н)2 X К'0} (х - пв, У, У о) йуо (3.4)
^ п _ оо
Ограничимся также количеством рассматриваемых вариантов распределения внешних напряжений. При этом рассмотрим представляющие практический интерес случаи: сосредоточенная нагрузка действует в некоторой точке в области полисинтетического двойника; распределенные нагрузки действуют на участке, размер которого равен ширине двойника у устья; распределенные нагрузки действуют на участке длиной, равной ширине полисинтетического двойника. В данной работе ограничимся рассмотрением только сдвиговых напряжений а , играющих большую роль в процессах междислокационного взаимодействия.
На фиг. 2, а представлен результат расчета распределения у полисинтетического двойника сдвиговых напряжений а при отсутствии внешних напряжений. Принималось Ь = 100 мкм; Н = 21 мкм; В = 31 мкм; N = 5; Ьь = Ь0 = 0.124 нм; ц = 81 ГПа; V = 0.29 [8]. Видно, что напряжения локализованы на границах двойников и у их вершин. В области, занятой двойниками, напряжения отрицательны, а в областях, удаленных от вершин двойников в сторону их роста, напряжения положительны. При этом имеется область максимальных значений положительных напряжений, которая удалена от вершин двойников полисинтетического двойника (фиг. 2, а).
При изучении влияния сосредоточенной нагрузки на напряженное состояние у полисинтетического двойника целесообразно рассмотрение двух предельных случаев: Р Ф 0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.