СРАВНЕНИЕ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОГО И ПОЛУКЛАССИЧЕСКОГО ПОДХОДОВ ДЛЯ АНАЛИЗА СПИНОВОЙ ДИНАМИКИ В КВАНТОВЫХ ТОЧКАХ
М. Ю. Петров* С. В. Яковлев
Санкт-Петербургский государственный университет 198504, Петродворец, Санкт-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 7 ноября 2011 1".
Сопоставлены два подхода к описанию спиновой динамики электронно-ядерной системы в квантовых точках: квантовомеханический, основанный на точной диагонализации модельного гамильтониана, и полуклассический, основанный на связанных уравнениях прецессии среднего спина электрона и среднего спина ядерных флуктуаций. Проведено сравнение подходов в модельной задаче, описывающей периодическую накачку электронно-ядерной системы оптическим возбуждением. Результаты расчетов показали, что наличие разброса параметров в ядерной системе, обусловленного ядерными спиновыми флуктуаци-ями, приводит к возникновению в ней упорядоченного состояния, навязанного периодическим возбуждением, и эффекту синхронизации мод прецессии электронных спинов во внешнем магнитном поле. Сделан вывод о том, что обе модели позволяют качественно описать эффект синхронизации мод, однако дают существенно различные количественные результаты. Это может свидетельствовать об ограниченной применимости прецессионной модели к описанию спиновой динамики в квантовых точках при наличии оптической накачки.
1. ВВЕДЕНИЕ
Точное решение задачи эволюции квантовоме-ханической системы, содержащей большое количество взаимодействующих частиц, оказывается, как правило, исключительно громоздкой и практически нереализуемой процедурой. В связи с этим, квантовомеханический расчет часто заменяется расчетом эволюции классического аналога такой системы, в котором движение каждой частицы строго детерминировано. Границы применимости такого подхода в каждом конкретном случае требуют соответствующего обоснования. Настоящее сообщение посвящено рассмотрению одного из таких случаев, а именно, эволюции пространственно-локализованной системы, содержащей электронный спин и большое число ядерных спинов.
Реальным прототипом такой системы может служить полупроводниковая квантовая точка, содержащая один избыточный электрон (резидентный электрон). Возбуждение системы циркулярно поляризованным светом рождает электрон-дырочную па-
E-mail: m.petrovö'spbu.ru
ру, после высвечивания которой спин резидентного электрона ориентируется. При этом степень циркулярной поляризации излученного фотона отражает информацию о поляризации резидентного электрона непосредственно перед актом возбуждения.
Спиновая динамика резидентных электронов в квантовых точках существенно определяется их сверхтонким взаимодействием с Лг ~ 104 105 ядрами кристаллической решетки, покрываемыми волновой функцией локализованного электрона [1]. Результат этого взаимодействия можно наглядным образом представить как прецессию спина в эффективном магнитном поле, создаваемом ансамблем ядерных спинов [2]. В том случае, когда ядерные спины не ориентированы, их случайное сложение приводит к появлению флуктуации эффективного поля, величина которого может достигать нескольких десятков миллитесла [2]. Это приводит к быстрой дефазпров-ке электронного спина в ансамбле квантовых точек за время порядка нескольких наносекунд [2, 3].
Оригинальный способ подавления эффекта случайных полей ядерных спинов в условиях периодической оптической накачки был продемонстрирован в работе [4]. Было показано, что периодиче-
екая накачка приводит к синхронизации мод процессии электронных спинов в магнитном поло, направленном перпендикулярно оси оптического возбуждения. Конструктивная интерференция различных мод прецессии сопровождается частичным восстановлением электронной спиновой поляризации к моменту прихода каждого последующего импульса накачки банчинг. Позже было продемонстрировано сохранение банчинга в течение довольно продолжительного времени (десятки минут) после выключения накачки [5], что по может быть объяснено никакими эффектами в электронной подсистеме. Исходя из этого, авторы предположили, что синхронизация мод спиновой прецессии обусловлена формированием особого состояния ядерной спиновой системы, однако точного теоретического описания этого состояния представлено но было. Отметим, что феноменологические подходы, описывающие механизм формирования стабильных состояний в ядерной спиновой системе, развивались в нескольких работах [6 8].
Спиновую динамику электронно-ядерной системы наиболее точно можно было бы описать, используя прямую диагонализацию соответствующего гамильтониана, однако такой расчет возможен только для ограниченного количества ядерных спинов Лг ~ 102 [9 И]. Поскольку квантовомеханпческая задача описания динамической поляризации ядерных спинов по может быть прямым образом решена, многие авторы используют феноменологические модели, либо модели, основанные на уравнениях прецессии классических моментов [8, 12].
В данной работе приводятся результаты теоретического моделирования эффекта синхронизации мод прецессий электронных спинов в однородном ансамбле квантовых точек при их оптической накачке последовательностью периодически следующих импульсов. Мы ограничимся рассмотрением временных интервалов, существенно меньших времен релаксации ядерной спиновой системы. Мы также исключим из рассмотрения разброс .д-факторов электрона, присутствующий в ансамбле реальных квантовых точек [4, 5].
Тем самым, мы рассмотрим физику эффекта синхронизации мод, обусловленного модификацией состояния ядерной спиновой системы при воздействии периодической накачки электронного спина в ансамбле квантовых точек. В то же время мы постараемся рассмотреть задачу при максимально возможном сохранении строгости квантовомехани-ческих рассуждений. Для этого мы будем использовать «модель ящика» [2, 13, 14], допускающую точное решение. Результаты квантовомеханическо-
го расчета будут сопоставлены с результатами, полученными с помощью полу классического подхода, основанного на уравнениях прецессии средних спинов [8]. Такое сравнение подходов позволяет показать границы применимости полуклассической модели к описанию ядерной спиновой динамики в квантовых точках.
Мы будем использовать следующую последовательность изложения материала. Сначала будут сформулированы общие положения квантовомеха-нпческого и полуклассического подходов и записаны уравнения, результаты решения которых будут обсуждаться в последующих разделах. Затем мы проанализируем частный случай динамику электронного спина, инициированную единичным актом возбуждения. Будет дано качественное и количественное сравнение двух подходов, а также сравнение с известным теоретическим решением, основанным на результатах работы [2]. После этого мы проанализируем динамику электронного спина и ядерной спиновой поляризации при периодической ориентации электронного спина. Будет проведено качественное и количественное сравнение результатов расчетов в квантовомеханическом и полуклассическом подходах. Громоздкие аналитические выкладки приведены в трех приложениях.
2. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ И ПРЕЦЕССИОННАЯ МОДЕЛИ
В квантовомеханическом представлении гамильтониан системы, состоящей из одного электрона со спином в и Лг ядер со спинами Р, во внешнем постоянном магнитном поле В, выглядит следующим образом:
N 3=1
N
(1)
3=1
где 7С и гиромагнитные отношения электрона и ядер, А3 константа сверхтонкого взаимодействия электрона с ,у-м ядром, амплитуда элек-
тронной плотности в точке расположения ¿[-го ядра. Для простоты будем рассматривать случай, когда в квантовой точке присутствует только одни тип ядер:
¥п = 1п, Л* = А, ¥¿=1.....N. (2)
Также будем использовать приближенно модели ящика [14]:
= №)|2 = -, V/../ 1......V. (3)
Если ввести оператор полного спинового момента ядер J = Р, то гамильтониан (1) принимает вид
Н = —o<-/i(S • В) - J • В) + ^(S • J). (4)
Состояние электронно-ядерной системы на языке квантовой механики может быть описано матрицей плотности f)(t), являющейся решением уравнения фон Неймана [15]
ir,p(t)= [Н, p(t)]
(5)
с начальным условием р{1 = 0) = ро- Средние значения наблюдаемых физических величин могут тогда быть вычислены обычным образом, например,
{¿М^тф^]. (¿)(0 = Тг[^)л]. (6)
Величины {$) {{,!)) характеризуют в эксперименте электронную (ядерную) спиновую поляризацию, которые могут быть зарегистрированы.
Альтернативным способом описания спиновой динамики является использование уравнений совместной прецессии электронного и ядерного спинов [8, 12]:
£
dt
£
dt
S = a [J х S] + [wc x S], I = a:[S X J] + [u>„. X J],
(7)
Здесь в и Л классические векторные величины, имеющие смысл магнитных моментов, ассоциированных со спином электрона и ядерным спином. Другие параметры в уравнениях (7), а = А/(АТН), шс,п = -7с,п.В, определяют частоты взаимной прецессии электронного и ядерного спинов, а также прецессии спинов во внешнем магнитном поле. Система уравнений (7), вообще говоря, постулируется, хотя из уравнения фон Неймана может быть получен ее кваитовомехаиический аналог (см. детали в Приложении А). Кроме того, для системы уравнений (7) можно получить приближенное аналитическое решение в условиях, когда внешнее магнитное поле велико (см. Приложение С).
В этом способе описания будем рассматривать ансамбль одинаковых квантовых точек, в которых начальные условия во и Ло распределены с плотностью вероятности
где «'с (во) и «.'„(Ло) плотности вероятности для электронной и ядерной подсистем.
Решая систему уравнений (7), можно получить множество решений, зависящих от начальных условий:
S(f,S0,Joh J(f,S0,Jo)
О)
Интегрируя эти решения с весами «.'(So, Jo) но начальным условиям, получим средние по ансамблю величины:
S(t) = Л S(f, So, Jo)«'(So. Jo) dSo dJo, J(f) = IIJ(i, So, Jo)«'(So. Jo) dS0 dJо.
(10)
Для простоты будем рассматривать случай, соответствующий в эксперименте нерезонансной накачке электронных спинов [16], при которой электронный спин после каждого импульса накачки приобретает определенное значение в, (в рассматриваемом случае 1/2 вдоль оси г), не зависящее от предыстории. В этом случае плотность распределения по начальным зна
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.