ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2007, том 102, № 6, с. 1006-1016
ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА
УДК 535.36
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ СВЕТА, ИСПОЛЬЗУЮЩИХ СФЕРИЧЕСКИЙ БАЗИС
© 2007 г. В. Г. Фарафонов*, А. А. Винокуров*, В. Б. Ильин**
* Государственный университет аэрокосмического приборостроения, Санкт-Петербург, Россия ** Санкт-Петербургский государственный университет, 198904 Петергоф, Санкт-Петербург, Россия
E-mail: vi2087@vi2087.spb.edu Поступила в редакцию 21.11.2006 г.
Проведен сравнительный анализ широко известных методов решения проблемы рассеяния света несферическими частицами: методов разделения переменных (SVM), расширенных граничных условий (EBCM) и поточечной сшивки (PMM), использующих сферические волновые функции в качестве базиса для разложений полей. В научной литературе эти методы анализировались независимо друг от друга, несмотря на их явную общность - одни и те же коэффициенты разложений определяются из сходных систем уравнений и все оптические характеристики вычисляются по одинаковым формулам. Единообразно исследованы области применимости методов для диэлектрических сфероидальных и чебышевских частиц. Найдено, что теоретические условия математической корректности EBCM и SVM при рассмотрении поля в дальней зоне, по-видимому, принципиально различаются, хотя, как показано, сами методы предельно близки. Проведенные численные расчеты позволили сделать вывод, что EBCM предпочтителен для сфероидов, SVM - для чебышевских частиц, а наименее эффективный по затратам компьютерного времени PMM дает удовлетворительные результаты во многих случаях, когда не работают два других метода. Поскольку методы хорошо дополняют друг друга, а программы для них различаются всего лишь несколькими десятками операторов, предлагается комбинировать эти методы в рамках одной универсальной программы.
PACS: 42.25.Fx
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассеяние света несферическими частицами является очень важной проблемой в практическом отношении. В силу этого для решения этой задачи разработано большое количество точных и приближенных методов [1-3]. Среди строгих методов самыми быстрыми и точными являются те, которые используют волновые сферические функции в качестве базиса для представления полей, а именно методы разделения переменных (SVM), расширенных граничных условий (ЕВСМ) и поточечной сшивки (РММ) [4]. До сих пор эти методы анализировались независимо друг от друга, хотя их объединяет важнейший элемент - применение общего сферического базиса и, как следствие этого, определение одних и тех же коэффициентов разложений полей из сходных бесконечных систем алгебраических уравнений (БСЛАУ); различие заключается лишь в подходах к расчету элементов матриц этих систем.
С теоретической точки зрения анализ области применимости рассматриваемых методов сводится к решению вопросов разрешимости БСЛАУ и сходимости разложений полей. Для ЕВСМ такой анализ был проведен, и условия математической корректности метода в ближней и дальней зонах были найдены и подтверждены численными расчетами [4]. Для SVM подобный анализ в случае
несферических частиц не проводился, а для РММ хорошо известно, что его область применимости в дальней зоне теоретически не ограничена. Вследствие конечности представления чисел в компьютере при практическом применении методы оказываются малоэффективными в более широкой области, чем та, в которой они математически некорректны. Систематический анализ областей "практической" применимости и тем более их сравнение для трех выбранных методов пока не проводились.
В настоящей работе в дополнение к разработанным ранее вариантам ЕВСМ и РММ, основанным на оригинальном подходе, описанном в разд. 2, предлагается аналогичная версия SVM, также использующая сферический базис и применяемая к несферическим рассеивателям (см. разд. 3). При этом обсуждаются сходства и отличия SVM от ЕВСМ и РММ при определении коэффициентов разложений полей. Небольшое резюме результатов теоретического анализа областей применимости методов предваряет наш сравнительный анализ областей их практической применимости в разд. 4. Последние определяются по результатам численных расчетов сечений диэлектрических частиц каждым из трех рассматриваемых методов при использовании программ, основанных на едином подходе. Результаты работы резюмированы в разд. 5.
2. ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ПРОБЛЕМЫ
Рассмотрим рассеяние электромагнитного излучения осесимметричной диэлектрической частицей. Уравнение ее поверхности в сферической системе координат (r, 0, ф) может быть записано в виде
r = r(0) . (1)
Пусть падающее излучение есть плоская волна, распространяющаяся под углом а к оси вращения частицы (ось z в декартовой системе координат). Такое излучение может быть представлено в виде суперпозиции волн двух типов:
а) волны TE-типа
E = —i y exp [ ikJ( x sin а + z cos а)],
H = (ix cos а - iz sin а)х (2)
x exp [ ikJ (x sin а + z cos а)],
б) волны TM-типа
E = (ixcos а - iz sin а)х x exp [ ikJ (x sin а + z cos а)], (3)
H = iy exp [ikj (x sin а + z cos а)],
где kl = koVeJ^i - волновое число в среде (вне частицы) с диэлектрической проницаемостью ex и магнитной k0 = ю/с - волновое число в свободном пространстве, ю - частота излучения, с - скорость света в вакууме; ix, iy, iz - орты декартовой системы (x, y, z). Ниже будет использовано также k2 = k0J£2Ц2 - волновое число среды внутри частицы с диэлектрической и магнитной проницае-мостями e2 и ц2 соответственно. Как обычно, для простоты будем считать, что = ц2 = 1.
Решение проблемы рассеяния света частицей заключается в решении уравнений Максвелла с граничными условиями, определяющими равенство на поверхности рассеивателя тангенциальных составляющих полей вне и внутри частицы. Детали постановки задачи при использовании рассматриваемых методов можно найти, например, в [4].
Отметим основные особенности используемого нами подхода. Во-первых, все поля представляются в виде сумм двух слагаемых
E = Ea + E„, H = Ha + H„, (4)
первые из которых (отмеченные индексом A) не зависят от азимутального угла ф, т.е. являются осесимметричными, а усреднение вторых (N) по этому углу дает нуль. Иначе говоря, первые слагаемые есть нулевые члены, а вторые - суммы всех остальных членов рядов Фурье относительно угла ф. Возможность раздельного решения задачи рассеяния для каждой из этих частей была доказана ранее [4].
Во-вторых, для решения осесимметричной и неосесимметричной задач, т.е. нахождения соот-
ветствующих частей иолеи, используются специальным образом выбранные скалярные потенциалы. Для осесимметричных частей вводятся потенциалы
Р = Ел,Фcos ф, q = ИА фcos ф, (5)
где Ea, ф и ИА, ф - ф-компоненты векторов EA и HA. Остальные компоненты электромагнитных полей находятся из уравнений Максвелла.
Для неосесимметричных частей полей используются потенциалы U и V: а) для TE-моды
En = V X (Uiz + Vr),
Hn = -f- V x V x (Uiz + Vr),
_1
ik1
б) для TM-моды 1
(6)
E N--■ J
N i£i k
x V x (Uiz + Vr),
I'M
(7)
Hn = V x (Uiz + Vr).
Потенциал и есть ^-компонент магнитного (ТЕ-мода) или электрического (ТМ-мода) вектора Герца, V - соответствующий потенциал Дебая. Отметим, что потенциалы V применяются при решении задачи рассеяния для шара в теории Ми, а потенциалы и - для бесконечного цилиндра.
Потенциалы удовлетворяют соответствующим волновым уравнениям, поэтому их можно представить в виде разложения по сферическим функциям,
ra mc
a
X inc j'(kir)p' (c°s°)cosФ,
(8)
q
sca
i =1 b
ra a ®ca
q p
int у
q i = ib
X C(ki r)Pi (cos 0) cos Ф, (9)
sca i = i bi
int ra int
ai 1 X intjl(k2r)p](cos0)cosФ, (10)
U
ra ra inc aml
= XX m ji(kir)P7(cos0)cosmФ, (11)
inc inc
V m =11 = mbml
ra ra sca
a
= XXm' hi:)(k1r)P?(cos0)cosmф, (12)
sca sca
V m =11 = m^ mi
ra ra int
am
U = XX mlJi(k2r)PГ(cos0)cosИф, (13)
V m = 01 = m^ ml
где j(z), h(!)(z) - сферические функции Бесселя и
Ганкеля 1-го рода, Pl"(cos 0) - присоединенные функции Лежандра 1-го рода. В формулах (8)-(13) индексы inc, sca и int используются для обозначения падающего, рассеянного и внутреннего полей соответственно. Отметим, что выбор ради-
альных функций обусловлен конечностью полей в начале координат (для падающего излучения и излучения внутри частицы) и условием для (рассеянного) излучения на бесконечности.
Для падающей плоской волны коэффициенты разложений (8), (11) равны:
а) для ТЕ-моды
al = -1
_ л 2 (2l +1 )„ i
l (l + 1) inc .1 -1 2(2l + 1) (l - m)!
aml 1 kj sin (X ( ) + m ) ! б) для TM-моды
inc
a, =0
Pl (cos a), bt Pm(cos a),
= 0,
(14)
inc
bml = 0;
(15)
, inc л 2 (21 +1) _ 1. .
b, = 1 )) , ^ ..' Pi (cos a)
l (l + 1) inc _ .1 -12(21 + 1) (l - m)!
ami = 1
kjsina (l + m)!
(16)
P;"( cos a), bm = 0. (17)
При падении излучения вдоль оси вращения частицы (а = 0°) отличны от нуля только коэффициенты
l-1
= (2l +1).
(18)
п 4 nD
Cext = —Re
k?
■IS'
m = 11 = m
S-i 'bl™P]( cos a) -
l=1 -(l-1)
, sca n m, .
klamlPl (cos a) +
(19)
sca dPl (cos a) + ibml —--|sin a
dcos a
C-k) l!
4 l ( l + 1 ) I sea2 + 2 l + 1 1 l 1
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЙ
В рамках любого из трех методов (SVM, EBCM, PMM) все изложенное выше остается неизменным. Различия между методами заключаются в способах определения неизвестных коэффициентов разложений потенциалов (8)-(13), которые находятся из БСЛАУ, так или иначе получаемых из граничных условий.
В предлагаемом подходе проблема рассеяния света разделяется на две задачи (осесимметрич-ную и неосесимметричную), связанные с определением соответствующих частей полей. Рассмотрим решение этих задач в развиваемой нами версии SVM, отмечая при этом ее аналогии с соответствующими вариантами EBCM и PMM.
3.1. Решение осесимметричной задачи
Для потенциалов q (ТМ-мода) имеем следующие граничные условия [4]:
iii^ э^а nil.
q + q = q ,
inc sca inc
д( q + q ) r в д( q +<
a)
Любые характеристики рассеянного излучения можно найти по коэффициентам разложений (9), (12) [4]. В частности, сечения ослабления и рассеяния вычисляются для ТМ-моды по формулам
д q11
д г
дг ..'л int
гЛ д_±_
г дв
дв
+ 1^-1У1-Г^ в) q
(21)
1 г = г(в)
Для ТЕ-моды пот
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.