М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2013
УДК 532.5: 519.63
© 2013 г. О. А. КОВЫРКИНА, В. В. ОСТАПЕНКО
СРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ И ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
В ЗАДАЧЕ О РАЗРУШЕНИИ ПЛОТИНЫ НА СКАЧКЕ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО КАНАЛА
В рамках первого приближения пространственно одномерной теории мелкой воды решена задача о течениях, возникающих при разрушении плотины на скачке площади сечения прямоугольного канала, ширина которого в верхнем бьефе больше, чем в нижнем. Построенные автомодельные решения содержат эвристический параметр, связанный с количеством полной энергии потока теряемой на скачке площади сечения. Для определения параметра проведено сравнение одномерных решений с результатами численного моделирования задачи на основе пространственно двумерных (плановых) уравнений теории мелкой воды.
Ключевые слова: теория мелкой воды, скачок площади сечения, задача о разрушении плотины, автомодельные решения, численный эксперимент.
Рассматривается задача о течениях, возникающих при разрушении плотины на скачке площади сечения прямоугольного канала. Эта задача моделируется на основе первого приближения теории мелкой воды [1—3], базисными законами сохранения которой являются законы сохранения массы и полного импульса. Однако в случае непризматического русла закон сохранения полного импульса (в отличие от закона сохранения массы) не является точным, и поэтому его нельзя использовать для получения условия Гюгонио на гидравлическом разрыве, формирующемся на скачке площади сечения канала. В результате возникает проблема выбора дополнительного соотношения на этом неподвижном гидравлическом разрыве.
Аналогичная ситуация имеет место при изучении одномерных течений газа в трубе с разрывом площади поперечного сечения. В [4, 5] при решении задачи о распаде разрыва на скачке площади сечения в трубе в качестве дополнительного соотношения на скачке использовалось уравнение импульса, учитывающее реакцию стенки р, соединяющей трубопроводы различных диаметров. В [6] недостающее условие на скачке площади сечения в предположении адиабатичности течения получено из дифференциального следствия базисных уравнений газовой динамики — закона сохранения энтропии, сохраняющего дивергентную форму при изменении площади сечения. При выводе недостающего условия для уравнений изэнтропической газовой динамики применяется аналогичный подход [7], основанный на использовании на скачке площади сечения, наряду с уравнением неразрывности, дивергентного уравнения для полной энергии.
Такой же подход применен в [8, 9] при получении дополнительного условия на гидравлическом разрыве, возникающем в прямоугольном канале над ступенькой (уступом) дна при описании волновых течений жидкости на основе уравнений мелкой воды. При этом для получения дополнительного соотношения на разрыве над ступенькой дна использовался закон сохранения локального импульса, который на таком разрыве эквивалентен закону сохранения полной энергии набегающего потока. Построенные таким образом автомодельные решения задачи о разрушении плотины над ступенькой дна [8] и уступом дна [9] получили достаточно хорошее согласование с ре-
y
b,
1
b
r
x
Фиг. 1. Вид канала сверху: 1 — плотина
зультатами лабораторных экспериментов [10, 11] по возможным типам волн, скорости их распространения и асимптотическим глубинам за их фронтами.
В настоящей работе при построении автомодельных решений задачи о разрушении плотины на скачке площади сечения прямоугольного канала для получения соотношений на гидравлическом разрыве будем, аналогично [8], использовать закон сохранения локального импульса.
1. Постановка задачи. Дифференциальные уравнения теории мелкой воды в непризматическом прямоугольном канале без учета влияния трения и уклона дна имеют вид [1]
w + qx = о (1.1)
qt + (qu +1 ghw) = 1 gh% (1.2)
\ 2 Ix 2
где h = h(t, x) — глубина воды, q = q(t, x) — расход воды в поперечном сечении канала, w = w(t, x) = bh — площадь поперечного сечения потока, b = b(x) — ширина канала, и = u(t, x) = q/w — средняя по сечению скорость потока, g — ускорение свободного падения.
Уравнения (1.1) и (1.2) представляют собой дифференциальную форму записи законов сохранения массы и полного импульса.
Рассмотрим для системы (1.1), (1.2) задачу о разрушении плотины
h(0,x) =[)' x " 0, h, > hr, u(0,x) = 0 (1.3)
\hr, x > 0
на скачке площади сечения
b(x) = S 0, «<0, x) =W > 0 (1.4)
Ibv, x > 0 [wr, x > 0
где wi = bjhj, wr = brhr, b > br, wj > wr (фиг. 1).
Решение этой задачи будем искать в виде комбинации простых волн (т.е. прерывных волн, распространяющихся с постоянной скоростью, и центрированных волн понижения), неподвижного гидравлического разрыва, расположенного в начале координат на скачке площади сечения, и соединяющих их зон постоянного течения.
Так как возникающая после распада разрыва (1.3), (1.4) прерывная волна распространяется при x > 0 по части русла с постоянной шириной b = br (bx = 0), соответствующие ей условия Гюгонио, получаемые из законов сохранения массы (1.1) и полного импульса (1.2), имеют вид
Ш = [д] (1.5)
Б[д] = [ди + Екм,/2] (1.6)
где Б = х( — скорость прерывной волны, [/] = /1 - /0 — скачок функции /(,, х) на ее фронте х = х(,), /о = /(I, х(,) + 0),/ = /(,,х(,) - 0).
Поскольку уравнение для массы (1.1) является дивергентным в случае непризматического русла, т.е. представляет собой точный закон сохранения при Ьх ^ 0, соответствующее ему условие Гюгонио (1.5) остается верным на гидравлическом разрыве, формирующемся на скачке площади сечения (1.4). Так как этот разрыв неподвижен (Б = 0), из (1.5) получим соотношение
[д] = 0, дх = д0 = д(,,0) (1.7)
означающее непрерывность расхода на скачке площади сечения (1.4).
Уравнение для полного импульса (1.2) не является точным законом сохранения в случае непризматического русла, в силу чего его правая часть на разрыве (1.4) становится неопределенной. Это означает, что в рамках формальной теории мелкой воды [1—3] соответствующее уравнению (1.2) условие Гюгонио (1.6) нельзя использовать для получения второго соотношения на разрыве (1.4). Отсюда следует, что если с такого разрыва уходят две характеристики системы (1.1), (1.2), для замыкания соотношений на нем необходимо введение дополнительного условия.
Следуя [8], дополнительное соотношение на гидравлическом разрыве, формирующемся на скачке (1.4), получим из закона сохранения системы (1.1), (1.2), допускающего запись в дивергентной форме в случае непризматического русла. Наряду с законом сохранения массы (1.1) к таким законам сохранения относятся законы сохранения локального импульса и полной энергии
и + !х = 0 (1.8)
е, + (дI) х = 0 (1.9)
2 2 где I = и /2 + ^^ — функция Бернулли, е = Н(р + ^Ь^)/2 — полная энергия потока.
Уравнения (1.8) и (1.9) можно получить как дифференциальные следствия системы (1.1), (1.2).
На неподвижном разрыве, возникающем на скачке (1.4), из условий Гюгонио для законов сохранения (1.8) и (1.9) получим эквивалентные при д = д(,, 0) ^ 0 соотношения
[I ] = 0, д[1] = 0 (1.10)
При переходе из более широкой части канала в более узкую некоторая часть полной энергии потока теряется в результате удара воды о стенку канала, расположенную перпендикулярно к направлению основного течения. Такая потеря полной энергии е означает, что некоторая ее часть переходит в энергию вихревого движения, которая в рамках одномерной модели теории мелкой воды не учитывается, поэтому, если с разрыва (1.4) уходят две характеристики системы (1.1), (1.2), в качестве дополнительного к (1.7) будем использовать модифицированное соотношение (1.10)
о! = 10, а (2 и2 + = 2 и0 + ^ (1.11)
в левую часть которого введен эвристический параметр ст е (0,1], задающий часть полной энергии потока e, сохраняющуюся при переходе через разрыв (1.4).
Значение этого параметра будем выбирать путем согласования с результатами численного моделирования данной задачи на основе пространственно двумерных (плановых) уравнений теории мелкой воды. При а = 1 потери полной энергии потока на скачке площади сечения (1.4) не происходит.
2. Допустимые течения на скачке площади сечения. Соотношение (1.11) с учетом непрерывности расхода (1.7) можно записать в виде
Л.2
С
4+ад 1=4+ад, (-^о)=^^- ^ (2.1)
) ^о м
где д = д(г, 0) ^ 0, М = (м1 + л/стж0)/2.
Покажем, что м1 -\Юм0 + 0. Предполагая противное, из второго уравнения (2.1) получим м1 = 4ам0,аН2 = Н0, Ъ/ =4оЬгИ0 = ъ'1ЪгН1, ^3/2 = Ъ/Ъг > 1, что противоречит условию а е (0,1]. С учетом этого второе уравнение (2.1) можно переписать в виде
2 = gw0w2(ahl - ^0) (2 2)
м(м1 - 0)
Из формулы (2.2) следует, что на разрыве (1.4) (при выполнении на нем энергетического соотношения (1.11)) возможны лишь такие течения, для которых
(с/ - /0)(м1 -4см0) > 0 (2.3)
Неравенство (2.3) с учетом того, что а е (0,1] и Ъ1 > Ъг, выделяет две допустимые конфигурации потока на скачке площади сечения (1.4)
а/1 > /0, м1 > м0 (2.4)
м1 <4ам0, /1 < /0 (2.5)
Согласно (2.3), недопустима промежуточная конфигурация, для которой ак1 < Н0,
м1 > \iawo. Это означает, что соответствующие разрывные решения возможны лишь при условии, что на разрыв (1.4) приходят три характеристики, а уходит с него только одна характеристика системы (1.1), (1.2). В этом случае непрерывности расхода (1.7) достаточно для замыкания соотношений на разрыве (1.4). В настоящей работе такие решения не рассматриваются.
Теорема 1. При условиях (2.4) течение слева от разрыва (1.4) при х = 0 - 0 является до-
критическим | и1| < с1, а при условиях (2.5) — сверхкритическим | и1| > с1 , где с = — скорость распространения малых возмущений. Доказательство. Из (2.2) получим
ц2 = ¿ = gwoVh1 - /0) (2 6)
м2 -Лм0)
Покажем, что при условиях (2.4) выполнено неравенство
и2 < с2 = gh1 (2.7)
а при условиях (2.5) — неравенство
и? > с2 = ghl (2.8)
Поскольку в первом случае w1 -4äw0 > 0, а во втором случае w1 -4äw0 < 0, неравенства (2.7) и (2.8) после умножения на b,(w1 -4aw0) с учетом (2.6) примут вид
b,(h1 - h0/g)(Vüw0)2 < ww1(w1 -4äw0) (2.9)
Так как при условиях (2.4) w1 > Vöw0, w = (w1 + Vöw0)/2 > Vöw0, а при условиях (2.5)
w1 <yfaw0, w = (w1 + Vcw0)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.