ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2013
УДК 519.718
© 2013 г. Садыхов Г.С.
СРЕДНЕЕ КОЛИЧЕСТВО БЕЗОТКАЗНЫХ СРАБАТЫВАНИЙ ДО КРИТИЧЕСКОГО ОТКАЗА ТЕХНОГЕННО-ОПАСНОГО ОБЪЕКТА: РАСЧЕТ, ПРЕДЕЛЬНЫЕ И НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ1
Для техногенно-опасного объекта, критические отказы которого наступают в результате срабатываний типа "включено—выключено", при их частом применении, определен показатель "среднее количество безотказных срабатываний до критического отказа". Для введенного показателя установлена формула его расчета, а также предельные и экстраполяционные оценки, справедливые для любого закона распределения безотказных срабатываний объекта.
Анализ отказов техногенно-опасных объектов (ТОО) показывает, что доля критически отказов при частых последовательных срабатываниях типа "включено-выключено" составляет значительную часть в общем потоке отказов и она сопоставима с долей отказов в непрерывном режиме эксплуатации. Например, для авиационной радиоэлектронной аппаратуры США, изготовленной в 1955-1960 годах, один электротермический цикл "включено-выключено" эквивалентен, с точки зрения возникновения отказов, 10 часам непрерывной работы [1].
Основная причина повышенного уровня доли критических отказов объясняется тем, что процессы "разогревания" радиоэлектронной аппаратуры при срабатывании "включено" и процесс ее "остывания" при срабатывании "выключено", в условиях повышенной вибрации, являются факторами форсированного режима старения комплектующих изделий электронной техники [2].
В случаях, если ТОО работает в режиме частых последовательно чередующихся срабатываний на "включено" и "выключено", то эффект термоциклирования может быть основным фактором, определяющим надежность и безопасность [3]. Кроме того, в работе [4] приведены результаты испытаний, выполненные фирмой "Aring Research Corporation" (США), из которых следует, что количество срабатываний на включение и выключение стимулирует монотонное возрастание параметра потока отказов авиационно-космической аппаратуры в зависимости от длительности ее эксплуатации.
1. Показатель безопасности. Пусть у ТОО до к срабатываний отсутствуют критические отказы, приводящие к авариям, катастрофам, чрезвычайным ситуациям и т.п., а после к срабатываний, (от к + 1 до к + l, где l > 2 — целое число) возможный отказ ТОО - критический.
Обозначим через Z — число безотказных срабатываний до отказа ТОО. Тогда Рк — вероятность того, что ТОО проработает безотказно в результате к срабатываний равна
Pk = Pr(Z> к + 1 ), (1)
где Pr() — вероятность события, содержащегося внутри скобок.
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 07-08-00574-а и 10-08-00607-а).
4* 99
Пусть для определенности порядковый номер числа срабатывания, в результате которого может произойти критический отказ, содержится в следующем ряду целых чисел
к + 1, к + 2,..., к + /. (2)
Тогда вероятность отсутствия критического отказа, в результате срабатывания у которого порядковый номер из ряда чисел (2), равна
Рг((С> к + /)|С> к +1) = ^^, (3)
Рк
где условная вероятность рассчитана по формуле
Рг((С>к + /Ж>к + 1) = Рг((^ > к + 1) п > к + 1 )) У Рг (£> к + 1)
с учетом обозначения (1) и того, что
Рг((£ > к + /) п (£ > к + 1)) = Рг (£ > к + /).
Обозначим через ^(к) — безотказное число срабатываний ТОО до критического отказа при срабатывании обьекта от к + 1 до к + I. Тогда возможные значения величины ^(к) будут находиться либо в ряду (2), либо при отсутствии отказа будет равно значению к + , вероятность которого равна выражению (3).
Найдем вероятность того, что случайная величина ^(к) примет одно значение из ряда целых чисел (2). В этом случае имеем
Рг(С/( к) = к + I) = Рг( С = к + 0, ' Рг(£> к + 1)
где I — целое число, причем 1 < I < I — 1. Используя обозначение (1), найдем
Рг(С/( к) = к + I) = Рк +' -1 ~ Рк +' (4)
Рк
поскольку
Рг(С = к + I) = Рг(С> к + I) - Рг(£> к + I + 1).
Объединяя возможные значения случайной величины <^(к) и соответствующие им вероятности принимаемых значений (3) и (4) (табл. 1), найдем закон распределения безотказных срабатываний ТОО.
Легко заметить, что выполнено нормировочное свойство вероятностей принимаемых значений дискретной случайной величины ^(к), так как /-2 Р - Р Р
V"1 Рк + - Р к + у - 1 + Рк + / - 1 = 1 £ Рк Рк = ■
Другими словами, принимаемые значения безотказных срабатываний ТОО, как их совокупность, образует полную группу событий.
Определение. Под средним количеством безотказных срабатываний до критического отказа ТОО при срабатываниях от к + 1 до к + I будем понимать показатель р(к), определяемый по следующей формуле:
Р/( к) = <£/( к )>, (5)
где < •> — символ математического ожидания величины, стоящей внутри угловых скобок.
Zl(k) k + 1 k + 2 k + l - 1 k + l
Pr Pk - Pk + 1 p - p Pk + 1 Pk + 2 'k + l - 2 - Pk + l - 1 Pk + l - 1
P k Pk Pk Pk
Для расчета показателя (5) и установления его оценок докажем следующее утверждение.
Теорема 1. При срабатываниях от k + 1 до к + l показатель p^k) — среднее количество безотказных срабатываний до критического отказа техногенно-опасного объекта рассчитывается по формуле
k + l - 1
Р/С k ) = k + 1 У P, (6)
где Р, — вероятность безотказности объекта при i срабатываниях; l > 2 — целое число.
Доказательство. Согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины Zl(k), закон распределения которой задан табл. 1, имеем
<z (k)) = С k + 1 ) СPk-Pk +1 ) + С k + 2) СPk +1 -Pk + 2) + _ + Pk Pk + С k + l - 1 ) С Pk+/ - 2 - Pk + / - i ) + С k + l ) Pk+i - i Pk Pk '
Так как k + 2 = (k + 1) + 1, то
<Zi С k )) = k + 1 Pk + Pk +1 - С k + 2 ) Pk + 2 + С k + 3 )С Pk + 2 - Pk + 3 ) +••• + Pk
+ С k + l - 1 )С Pk +1 - 2 - Pk +1 -1 ) + С k + l )Pk +1 -1 ).
Учитывая, что k + 3 = (k + 2) + 1, имеем
<Zl С k )) = k + 1С Pk + Pk +1 + Pk + 2 - С k + 3 ) Pk + 3 + • + Pk
+ С k + l - 1 )С Pk+1 - 2 - Pk+1 -1 ) + С k + l )Pk+1 -1.
Продолжая этот процесс, получим следующее выражение:
<Zl С k )) = k + 1 СPk + Pk +1 + Pk+2 + • - СЬ +1 -1 )Pk+,-1 + СЬ + l)Pk+,-1 ), Pk
отсюда найдем искомую формулу (6), что и доказывает теорему 1.
Из теоремы 1 вытекает оценка k + 1 < pl(k) < k + l, из которой следует, что наиболее безопасная эксплуатация ТОО достигается тогда, когда значение показателя p(k) равно верхней оценке этого показателя. Следующее утверждение определяет необходимое и достаточное условие при котором это возможно.
Теорема 2. Для наиболее безопасной эксплуатации техногенно-опасного объекта при срабатывании от k + 1 до k + l, т.е. для выполнения соотношения
Р/с k ) = k + l, (7)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Pk+1-1 = Pk • (8)
Доказательство. Достаточность условия (8) для выполнения соотношения (7) очевидна. Докажем необходимость. Пусть
Р/С k) = k +l,
тогда, согласно формуле (6), имеем k + l - 1
- У P = l- (9)
Предположим противное, т.е. не выполняется условие (8). Тогда
Pk+ / -1 < Pk• (10)
Так как для i = k, k + 1, ..., k + l — 2 справедлива оценка,
P- < P,
* i — * k'
то с учетом (10) получим
k + l - 1
- У Pi < /, Pkyk ' ,
i = k
что противоречит соотношению (9). Это противоречие и доказывает необходимость условия (8), что и доказывает теорему 2.
Из теоремы 2 следует, что для выполнения соотношения (7), необходимо и достаточно, чтобы при срабатываниях от k + 1 до k + l отсутствовали отказы.
2. Предельные оценки показателя безопасности. Для практических применений важны предельные оценки показателя p;(k). В этой связи установим следующее соотношение:
lim р/(0) = r, (11)
l ^ ю
где r — среднее количество безотказных срабатываний ТОО.
i -1
Из формулы (6) имеем р;(0) = £P(. Переходя к пределу, найдем
i = 0
ю
lim р/С0) = £ P. (12)
i = 0
Так как [5]
ю
У Pi = r, (13)
i = 0
то из соотношения (12) получим искомое соотношение (11).
Известно, что если P(t) — вероятность безотказной работы ТОО в течение времени t, то при t ^ да имеет место соотношение [6]
Р (0 = о()), (14)
Z 1 2 j
Рг Po - P1 P1 - P2 Pj -1 - Pj
т.е. величина Р(?) бесконечно малая более высокого порядка, чем величина 1/? при ? ^ да. Возникает вопрос: каков аналог соотношения (14) для ТОО в результате срабатываний. Ответом на этот вопрос будет следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть Рп — вероятность безотказности объекта в результате п срабатываний. Тогда справедливо соотношение при п ^ да
Pn = О
(15)
Доказательство. Так как Z = lim Q(0), то, используя табл. 1 с учетом того, что
I ^ ю
P0 = 1, lim Pk +l - 1 = 0, получим табл. 2 для закона распределения случайной вели-
I ^ ю
чины Z.
Так как r = (Z) , то, согласно формуле расчета математического ожидания, имеем
' = Yj (pj - j - pj) •
j=i
Обозначим через Sn — частичную сумму полученного ряда
X =
= Yj (pj -1 - P) •
j=i
Тогда найдем
n-i
X = YPj - nPn'
j = i
Перейдя к пределу при n ^ да с учетом (13), имеем r = r — lim nPn , отсюда lim nPn = 0,
n ^ ю n ^ ю
что и требовалось доказать.
Другими словами, согласно (15), вероятность безотказности ТОО в результате n срабатываний величина бесконечно малая, но более высокого порядка, чем величина 1 /п при n ^ да.
Для дальнейшего изложения определим дополнительные сведения. Пусть ТОО проработал безотказно в результате к срабатываний. Обозначим через пк - остаточное сверх к срабатываний количество безотказных срабатываний. Тогда Пк = (Z — к)|(Z ^ к + 1), где Z — число безотказных срабатываний до отказа ТОО. Определим средний остаточный сверх к-срабатываний ресурс ТОО по формуле [7] rk = (nk), где (•) — символ математического ожидания величины, стоящей внутри угловых скобок.
Установим следующее предельное соотношение:
lim (Pi(k) - k) = rk.
l ^ ю
(16)
ю
n
Используя формулу (6), имеем
k + l - 1
PlCk) - k = 1 У Pi,
k i = k
Перейдя к пределу, получим
ю
lim (Pl(k) - k) = 1У P;-
lim l
"i = k
Так как [7]
ю
rk = у £ ^ (17)
то соотношение (16) доказано.
Расчет среднего остаточного сверх k-срабатываний ресурса ТОО по формуле (17) затруднен из-за отсутствия значений Pi, где i > k. В этом случае более целесообразно воспользоваться оценкой частичной суммы ряда (17) при бол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.