ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 4, с. 124-131
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ^^^^^^^^^^ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 681.51
СТАБИЛИЗАЦИЯ ОРБИТАЛЬНОЙ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ОДНОВРЕМЕННОЙ РАЗГРУЗКОЙ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИОННЫХ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОРГАНОВ*
© 2015 г. Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, М. Ш. Мисриханов, В. Н. Рябченко
Москва, МГТУим. Н.Э. Баумана, г. Королев, МО, ОАО РКК "Энергия" Поступила в редакцию 23.08.14 г., после доработки 29.11.14 г.
Разработан метод решения задачи управления конечными собственными значениями линейной дескрипторной динамической системы. Он основан на оригинальной декомпозиции модели исходной системы, определенной в пространстве состояний и не разрешенной относительно производных, лишен ограничений по алгебраической и геометрической кратности задаваемых конечных собственных значений, позволяет осуществлять аналитический синтез законов управления. С использованием предложенного метода для случая круговых орбит получено аналитическое решение задачи стабилизации орбитальной ориентации космического аппарата с одновременной разгрузкой кинетического момента инерционных исполнительных органов. Приведены результаты математического моделирования.
БО1: 10.7868/80002338815030178
Введение. Исходя из функционального назначения космического аппарата (КА), в практике космических полетов зачастую возникает необходимость в длительном обеспечении стабилизации орбитальной ориентации. Если в качестве основных исполнительных органов используются инерционные органы (ИИО), то в процессе полета КА требуется решать задачу стабилизации орбитальной ориентации с одновременной разгрузкой кинетического момента ИИО.
В этом случае для круговых орбит линеаризованные уравнения стабилизации орбитальной ориентации при наличии в каждом канале управления ИИО и двигательной установки с учетом гравитационного момента в соответствии с [1] имеют вид
/ху + К = 4 (1у - I,) ®2У - (IX + ]у - I,) - Ьущ + Мх,
/у\|) + Ну = ( + 1у - I,)®0У + (I - I,+ Нхщ + Му, (0.1)
I а + Н, = з (Iу - 1Х) ю2е + мг,
где 1Х, 1у, I, — главные центральные моменты инерции КА; Нх, Ну, \ — проекции кинетического момента ИИО на оси связанного базиса; ю0 — орбитальная угловая скорость движения КА, которая в общем случае для каждого такта бортового компьютера различна, а в его пределах является величиной постоянной; у, у, 0 — углы отклонения связанного базиса по крену вокруг местной вертикали и от местной вертикали по рысканью и тангажу; Мх, М , М, — управляющие моменты от двигательной установки.
Система уравнений (0.1) относится к классу дескрипторных систем [2, 3], и непосредственное распространение рассмотренного в [1, 4] метода точного размещения полюсов, позволяющего осуществлять аналитический синтез законов стабилизации, в данном случае невозможно. Данная статья посвящена разработке алгоритма синтеза законов стабилизации для дескрипторных систем и решению с его использованием задачи стабилизации орбитальной ориентации с одновременной разгрузкой кинетического момента инерционных исполнительных органов.
1. Размещение полюсов в дескрипторной системе. Дескрипторную систему (0.1) запишем в следующем виде:
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00046).
Ex(t) = Ax(t) + Bu(t). (1.1)
Здесь x е Rn — вектор состояния; u е Кr — вектор управления; n > r; rank(E) < n.
Множество полюсов (собственных значений) системы (1.1) с использованием символа inf, который обозначает бесконечные собственные значения, имеет вид
eig(A,E) = (^ е С : det^-E - A) = 0,i = 1m} U (inf,, j = 1, n - m}, (1.2)
т.е. обобщенный пучок матриц XE - A имеет m конечных нулей (полюсов) и n — m нулей "на бесконечности" (полюсов "на бесконечности"). При этом считается, что система (1.1) является полностью управляемой, т.е. для всех полюсов выполняется равенство
УХ : rank [XE - A B] = n.
Требуется определить закон управления
u(t) = Kx(t), (1.3)
чтобы замкнутая система
Ex (t) = (A + BK)x(t) (1.4)
имела заданное множество полюсов (собственных значений)
eig(A + ВК, Е) = Я е С : Е - А - ВК) = 0,1 = 1, т} и {т^,у = 1, п - т}. (1.5)
Другими словами, обобщенный пучок матриц X Е - А - В К имел в точности т заданных конечных нулей X.
2. Декомпозиция системы (1.1). Рассмотрим алгоритм декомпозиции системы (1.1). Он заключается в следующем:
1) приведем тройку матриц (Е, А, В) к форме, которую можно условно назвать псевдоформой Коши:
(Е, А, В)——— (Е+Е, Е+А, ЕВ) = (Е0, А 0, В0); (2.1)
2) выполним декомпозицию тройки матриц (Е 0, А 0, В 0 )следующего вида:
(Е 0, А 0, В0) ——— (В°Е 0В01+, В°А 0В°+, В°А 0В0) = (Е1, А1, В1); (2.2)
3) приведем тройку матриц (Е1, А1, В1) к псевдоформе Коши:
(Е1,А1,В1) ———>(Е+Е1,Е+А1,Е+В1) ^ (Е1,0,А1,0,В1,0); (2.3)
4) выполним декомпозицию тройки матриц (Е10, А10, В10) следующего вида:
( А 1,0, В1,0 )-—-К^^^им В1^0А 1,0^ Ву)А 1,0В1,0) = (Е 2, А 2, В2 ); (2.4)
5) приведем тройку матриц (Е у, А у, В у) к псевдоформе Коши:
(ЕР, А у, ВР )—Е—— (Е+ЕР Е+А у, Е+ВУ ) - (Е j■,0, ■ ВУ,0); (2.5)
6) выполним декомпозицию тройки матриц (ЕР 0, Ау 0, Вр 0) следующего вида:
(0,Ар,0,Вр,0)—М-(Еу+1,А,+1,В,+1-... (2.6)
Преобразования продолжаются до момента обнуления на к-м шаге матрицы Е к+1. Здесь, как и в работах [1, 3, 4], верхние индексы в матрицах "+" и "±" обозначают соответственно псевдообратную матрицу и левый делитель нуля матрицы [5]. Нижние индексы характеризуют шаги приведения к псевдоформе Коши и декомпозиции соответственно.
3. Синтез закона управления (1.3). Для декомпозированной системы с тройкой матриц на (к -1)-м шаге (Е к, А к, В к ) закон управления сформируем в виде
Кк,0 - Фк,0В+,0 В+,0Ак,0,
соответственно для тройки матриц на (к — 2)-м шаге (Е к-1, А к-1, Вк-1) будем иметь
Кк-1,0 = Фк-1,0Вк-1,0 - Вк-1,0Ак-1,0,
где
В--1,0 = В+-1,0 - Кк,0В/с-1,0.
Наконец, для декомпозированной системы с тройкой матриц (Е1, А1, В1 )получаем
К 1,0 = ф1,0В1,0 - В1,0А 1,0,
где
В1,0 = В1,0 - К2,0В1,0.
Итоговый закон управления (1.3) запишем так:
К0 = Ф0В0 - В0А0,
где
В0 = В0 - К1 ,0В( или в другом виде
К0 = ф0 (В0 - К1,0В() - (В0 - К1,0В() А0.
При этом оказывается справедливым тождество для множества собственных значений
( к
eig(A + ВК 0, Е) =
У eig(Фl) ,} = 1, п
^ = 0
- т}.
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
4. Стабилизации орбитальной ориентации КА с одновременной разгрузкой кинетического момента инерционных исполнительных органов. Для дескрипторной системы (0.1) с использованием подхода, изложенного в разд. 1—3, осуществим аналитический синтез закона управления, обеспечивающего стабилизацию орбитальной ориентации КА с одновременной разгрузкой кинетического момента инерционных исполнительных органов. Для этого в соответствии с (0.1) и (1.1) в векторно-матричной форме будем иметь следующие значения матриц Е, А и В:
Е =
(1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ( 0 0 01
0 е22 0 0 0 0 1 0 0 «21 0 0 а24 0 0 0 а28 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
, А = , В =
0 0 0 е44 0 0 0 1 0 0 а 42 а43 0 0 0 а47 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
10 0 0 0 0 е66 0 0 1; 1 0 0 0 0 аб5 0 0 0 0; 10 0 1J
где обозначены
= IX.
с22
44 - у,
"66
- I,
-»21
= (1у - () 4
Юп
а24 = -(+ (у - () Юь а28 = Ю)>
-М2
= (¡х + 1у — ()
Ю,
а,
43
= (х - ()
а47 = —ю.
а61 - 3 (1 у )
Юп
Как видно, матрицы E, A и B являются прямоугольными. Приводя их к псевдоформе Коши с использованием матрицы
Е+ =
1 п п п 0
0 е22е*2 п
п п 1
е*
е22
п е44е664 п
п п п
е*4
1
п ^
п п
п п
п еббе*6 п п п п
п п
3*
-66 У
где
с22
е*4
( + 1) 44 " ( + 1) на основании (2.1) получаем
Г1 п п п п п
е*2
Е0 -
п 1 - е22 п
п п 1
е22е
22 22
(еб2б +1)
А п =
п п п 1 - е*4 п п п
п п п п 1 п п
п п п п п 1 - е*б п
п е22е*2 п п п п е*2
п п п е44е*4 п п п
V п п п п п еббе*2 п
/ п 1 п п
а 21е22е*2 п п п п п а24е22е 1
п п а42 е44е*4 п а4зе44е*4 п п п
п п п п
а21е*2 п п а24е*2
п а42е*4 а43е*4 п
V п п п п
е44е*4
п п п
е*4
п ^
п п
п п
еббе*б
е*б )
1)9x9
п п
п п1
а28е22е*2 п п п
п а47е44е*4
1
аб5еббе*б п п п п
п а47е*4
аб5е*2 п
п
а28е*2 п п
л 9x9
Бп
0 0 0
е22е**2 0 0 0 0 0
0 0 е44е*4 0 0 0
0 0 еббе*б
е2*2 0 0
0 е4*4 0
0 0 е*6
„9x3
Вычислим далее левый делитель нуля и псевдообратную матрицу матрицы В 0. В результате (1 0000000 0^ 0 0 0 0 0 0
ВпЛ
0 0 1 0 0 0 0
-1
1
0 -е-1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 -е44 0 0 0 1 0
0 -е-1 0 0 1 у
в+ =
0 0
ч0 0 0 0
(0 е22 0 0 0 0 1 0 0^
0 0 0 0 е44 0 0 1 0
0 0 0 0 0 е66 0 0 1
/
Соответственно псевдообратная матрица для делителя нуля будет равна
В
1+
1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 -е22е**2 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 —е44е*4 0 0 0
0 0 0 0 0 -е66е*6
0 0 0 1 - е*2 0 0
0 0 0 0 1 - е*4 0
0 0 0 0 0 1 - е*6,
С использованием (2.2) выполним декомпозицию тройки матриц (Е 0, А 0, В 0), в результате имеем
Ех =
13 03x3
03x3 03x3
„6x6
А1 =
0 0 0 -е22е*2 0 0 0 0
0
-е^е.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
44с44 0 0 0 0
-еббе*6
„бхб
В1 =
22е*2 0 0
0 е44е*4 0
0 0 еб6е6*6
0 0 0
0 0 0
0 0 0
л6х3
0
Учитывая значение матрицы Е^, имеем Е2 = Озхз и в рассматриваемом случае будем иметь только два уровня декомпозиции: нулевой и первый. При этом А10 = Аь В10 = Б!.
Далее получим значение матрицы В+. Оно равно
Л
в+
с22
+ 1
22 0
0
0
е44 +1
е44 0
0 0
ебб +1
ебб
0 0 0 0 0 0 0 0 0
У
Назначим матрицы Ф10, Ф0 в следующем диагональном виде:
Г 51 0 0 1 Г 5 4 0 01
Ф1,0 = 0 5 2 0 , Ф0 = 0 55 0
10 0 53 ) 10 0 56)
где 5^,..., s6 — заданные собственные значения системы (0.1). Используя (3.1), вычислим
К1,0 - ф1,0В-,0 - В-,0А
1,0
(5^22 + е-1) 0
0 52(е44 + е441)
0 10 01 0 0 10
0 0 5з(е66 + е-61)00 1 ,
Итоговый закон управления с использованием расчетной формулы (3.7) запишется так:
V
К0 - ф 0 (В+ - К1,0Во ) - (В0 - К1,0В0 ) А0 -
(к11 к12 к0 к0
0 -а24 0 0
0 -а28 0
П _ 2-23 ,24 0 а42 к0 к0
0 0 -а
47
0 0
0 0 к035 к036
0 0 0 0
(4.1)
где
к 11 - -а _ 5154 - е к 12 _ (е22 + 1)(51 + 54)
к0 _ а21 е22515 4, к0 _ ,
к 23
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.