ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 1, с. 95-105
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 62.50
СТАБИЛИЗАЦИЯ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ДВИЖЕНИЙ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В КАНАЛАХ ТАНГАЖ-РЫСКАНЬЕ ПРИ ОТСУТСТВИИ ИНФОРМАЦИИ ОБ УГЛЕ СКОЛЬЖЕНИЯ.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ*
© 2015 г. Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, М. Ш. Мисриханов, В. Н. Рябченко
Королёв МО, ОАО РКК "Энергия", Москва, МГТУим. Н.Э. Баумана Поступила в редакцию 23.05.14 г., после доработки 08.08.14 г.
Аналитически решена задача стабилизации взаимосвязанных движений летательного аппарата в каналах тангаж—рысканье при отсутствии информации об угле скольжения. В основу решения положен метод синтеза управления по выходу спектром движения М1МО-системы, базирующийся на специально организованной многоуровневой декомпозиции модели динамической системы в пространстве состояний. Приведены результаты численного моделирования.
Б01: 10.7868/80002338815010151
0. Введение. В практике синтеза законов стабилизационного управления летательными аппаратами (ЛА) самолетного типа принят подход разделения пространственного движения ЛА на изолированные продольное и боковое движения. Однако это не всегда справедливо, поскольку на больших углах атаки их взаимосвязь особенно сильна. В этом случае для моделирования взаимосвязанного движения ЛА по тангажу и рысканию можно использовать линеаризованную модель следующего вида [1]:
Г Да 1 ' аи а12 а1з 0 1 1 (Да 1 ( 0 0 0 1
др а21 а22 а2з а24 0 др 0 0 0 (Д8э ^
Дю . = а31 аз2 азз а34 аз5 Дю. + Ьз1 ¿32 0 ДЗр.н
Дю у 0 а42 а43 а44 а45 Дюу ¿41 ¿42 0 1Д8р.в У
1Дю *; V а51 0 а5з а54 а55 У 1ДЮ У V 0 0 ¿53 У
Здесь переменные состояния Да, Др, Дю., Дюу, Дюг — отклонения по углу атаки, скольжения и угловой скорости канала крена, рысканья, тангажа соответственно; коэффициенты линеаризации имеют следующий смысл:
а11 а = аа, а12 : =г а13 = аа ,
а21 а = ав > а22 = а(5, а23 = ав > а24 = Шу ав У >
а31 а = ашх, а32 = аШл, азз = аш., а34 Юу = атУ > а35 Ю X = аШ. ,
а42 = у ' а43 Ю X = % , а44 Юу = %, а45 = аЮ, Шу'
а51 а = ^' а53 И. = ат., а54 Юу = ат, ' а54 юг = ат1'
¿31 5э = <' ¿32 = а8рн, ¿41 5э = ату, ¿42 = а8рн, Шу ' ¿53 5р.: = аШр
тогда как величины Д8э, Д8рн, Д8рв представляют собой компоненты вектора управления
и = (Д8э ДЗр.н Д8р.в)Т (0.2)
* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00046).
и характеризуют долю отклонения элеронов, отклонения руля направления и высоты соответственно. Здесь и далее верхним индексом "Т" обозначена операция матричного транспонирования.
В дальнейшем считается, что информация об отклонении угла скольжения Ар отсутствует. В результате вектор выхода системы имеет вид
у = (Да Дюх Дюу Дюz)Т.
С учетом сделанных предположений исходную математическую модель можно записать в форме динамической М1МО-системы типа "вход—состояние—выход":
х(0 = Лх(0 + Ви(0, У(0 = Сх(0,
где х = (Да Др Дюх Дюу Дюz)Т е
т, вещественная ось); (0.2) тор выхода. При этом в (0.3) соответствующие матрицы имеют вид
(0.3)
, п = 5 — вектор состояния (М — множество вещественных чисел, вещественная ось); (0.2) — вектор входа (управления) из Мг, где г = 3; у е Мт, т = 4 — век-
(0.4)
' aii a12 a13 0 1 ^
a21 a22 a23 a24 0
A = a31 a32 a33 a34 a35
0 a42 a43 a44 a45
V a51 0 a53 a54 a55 У
r 0 0 0 ^
0 0 0
B = Ьз1 ¿32 0 ,
¿41 ¿42 0
v 0 0 ¿53;
(0.5)
C =
(1 0 0 0 0^ 0 0 10 0 0 0 0 1 0 у0 0 0 0 1 у
Если к тому же в качестве закона управления (0.3) предположить выражение и(0 = Еу(0 = ЕСх(0,
(0.6)
(0.7)
где Г е Мгхт — матрица регулятора по выходу, то в соответствии с [2] для рассматриваемой системы (0.3)—(0.7) будет иметь место случай управляемой по выходу динамической М1МО-системы.
В дальнейшем также будем полагать, что матрица B е К5х3 (0.5) имеет полный ранг, т.е. в данном случае rankB = 3 или эквивалентно матрица BTB — обратимая (det(BTB) ф 0).
Введем в рассмотрение спектр матрицы A е М5х5 (0.4) — множество ее собственных значений (полюсов)
eig (A) = (X, е C: det (X,I5 - A) = 0, i = 1,..., 5}.
Здесь I5 — единичная матрица размера 5 х 5, С — множество комплексных чисел (комплексная плоскость).
Пусть Л — заданный спектр матрицы замкнутой управлением (0.7) системы A + BFC, т.е.
Л = eig (A + BFC) = (X Д 2,...Д;
(0.8)
Требуется выбрать (синтезировать) в явном виде матрицу регулятора Г е К3х4, чтобы в точности выполнялось равенство (0.8).
Сложность рассматриваемой задачи объясняет необходимостью получения решения в явном, аналитическом виде, поскольку матрицы А, В в лучшем случае имеют кусочно-постоянный вид.
1. Декомпозиция динамической системы. Первым шагом в решении поставленной задачи будет осуществление специальной многоуровневой декомпозиции модели ЛА, предложенной в [3—5].
Поскольку для данной задачи выполняется неравенство m > r, то в общем виде, не придерживаясь конкретных числовых значений для m и r, введем в рассмотрение многоуровневую декомпозицию системы (0.3)—(0.7) следующего вида:
нулевой уровень декомпозиции
A о = A, Bo = B, Co = C, (1.1)
k-й уровень декомпозиции (к = 1, M, где M = ceil (n/r), ceil (*) — операция округления числа "*" в сторону большего значения)
Aк - Bfc-1Ak-1BBк - Bfc-1Ak-1Bк-1, Cк - Ck-1Ak-1BfcT1. (12)
В формулах (1.1), (1.2) для к = 0, M фигурируют матрицы со свойствами
( |b f )-1 =
с B л B к
v B * J
bX = о, B+Bk = ir, (1.3)
(Скл
C к
-1
(с + |Cf), CkCT = 0, C^ + = Im, (1.4)
где верхним индексом "±" обозначены полуортогональные матричные делители нуля, а индексом "+" — псевдообратные матрицы Мура—Пенроуза [3—5].
Введем также в рассмотрение формулы регуляторов для управления спектром на соответствующих уровнях декомпозиции (в обратном порядке): М-й уровень декомпозиции
гМ =(ф мв М - в МА м)С М, (15)
к-й уровень декомпозиции (к = 0, М - 1)
гк = (Ф кВ- - в- А к )С+, в- = в + - Гк+в I (1.6)
На этом процедуру многоуровневой декомпозиции можно считать выполненной. 2. Алгоритм синтеза управления MIMO-системой по выходу. Справедливо следующее утверждение, доказанное в [6].
Теорема 1. Пусть т > г, следующие матрицы существуют и попарно полностью управляемые:
GI = B+AкС¿(В+С^)+, H = (В+Сi)\ к = 0, M, (2.1)
тогда существует непустое множество матриц К{, / = 0, М, таких, что
Ф, = с;. + Кти;. = (в:АС)(в-С;У + Кт(в-С У, (2.2)
и для (1.5), (1.6) выполняются равенства спектров
М
е1в (Ак + вкГкСк) = ие!§(Ф,), к = 1, М, (2.3)
I=к
М
е1в (А о + воГоСо) = е1в (А + вГС) = и е*ё(Ф<) = Л. (2.4)
1=0
Условие т > г в теореме 1 не имеет обременительного характера и введено с целью указания, что в данном случае матрица Г из (0.7) традиционно рассматривается как матрица регулятора (число входов системы меньше, чем выходов).
Для случая т < г теорема 1 имеет дуальную формулировку, а матрица Г заменяется на матрицу наблюдателя Ь (число входов больше, чем выходов).
Те о р е м а 2. Пусть m < r, N = ceil (n/m), выполнена декомпозиция системы (0.3) следующего вида:
А 0 = А, В0 = В, С0 = С,
А к = С к-1А к-1С к-1, Вк = С к-1А к-1С к-1, С к = Ск-1А к-1С к-1 > к = 1) N >
указанные ниже матрицы существуют и попарно полностью наблюдаемы:
Gt = (B^C+)+Б^AkCHk = (B^C+)\ k = 0, N,
тогда существует непустое множество матриц Ь1, г = 0, N, таких, что
¥, = С, + Н,ЬТ = (В^С+)+В^А С + (В/С+^Ь*, и при
fn - bm(C ы^ M A MCM),
Fk = B+ (Ck^ k - A kCk), Cк = Cк — Cк Fk+1, выполняются равенства
k = 1, N -1,
N
eig (Ak + BkFkCk) = Ueig(^,), k = 1, N,
i=k
N
eig (Aо + B0F0C0) = eig (A + BFC) = U eig(^i) = Л.
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9) (2.10)
(2.11) (2.12)
i=0
Как и в алгоритмах, приведенных в [3—5], здесь при преобразованиях используются только полуортогональные и псевдообратные матрицы, что с вычислительной точки зрения, по крайней мере, не ухудшает обусловленность уравнений.
Рассмотренный подход не содержит ограничений в виде различия алгебраической и геометрической кратности элементов назначаемого спектра, а также на размерность решаемой задач. Это подтверждается математическим моделированием, которое было проведено авторами и показало высокую относительную точность управления спектром и практическое отсутствие ограничений на размерность системы (0.3).
3. Аналитический синтез управления взаимосвязанными движениями ЛА в каналах тангаж-рысканье. Согласно постановке задачи, требуется найти в явном виде формулу регулятора Е в законе управления (0.7), имеющего в данном случае вид
( Д5Э(0' Д3р.н(0
Д8р.в(0 у
= FC
Дюх
ДюУ Дю,
} ( Да^
Дюх
= F x
x ДюУ
У \Дюг У
z У
(3.1)
и обеспечивающего замкнутой системе "ЛА + система управления" указанный ранее спектр: Л = (X Д 2,...Дз}. (3.2)
Выполним для системы (0.3) с матрицами (0.4)—(0.6) многоуровневую декомпозицию, определенную в разд. 1 и имеющую в данном случае два уровня декомпозиции (М = 1): нулевой (1.1) и первый (1.2), для которого в данном случае
Б1Т (1 0 0 0 0 0 10 10 0 0
(3.3)
А1 =
ап а12
V а21 а22
В1
а13Ь31 а13Ь32
a23¿31 + a24¿41 а23Ь32 + а24Ь42
¿53 0
С1 =
' ац а12
аз1 аз2
0 а42
V а51 0
(3.4)
У
Для проверки условий управляемости, определенных в теореме 1, вычислим следующие матрицы:
(3.5)
' 0 0 ¿3 ,0+ ¿14 0 л
Со"Т = (0 -1 0 0 0), В+ = 0 0 ¿203+ ,0+ ¿24 0
у 0 0 0 0 |0+ ¿35 )
Но - (В+С()ГГ
(1 о о ^ 0 1 о 0 0 1
У
С0 =
Í0 0 0^ 0 0 0 0 0 0
У
С- = [000 1 10 0 0
( ¿1+
¿11
в+ =
¿12
Н = (В+С!1Т)1Т =
¿21
1.1+
V ¿31
(1 0 0 ^ 0 1 0 0 0 1
1+ 1.1+
22 1+
32 У
Н+ = (Н1)+ =
(1 0 0^ 0 1 0 0 0 1
С1 = (В1+С11Т)+Т(В+А 1С(Т)Т =
(0 0 0^ 0 0 0 ч0 0 0у
где для обеспечения компактности записи при условии, что
V = ^^¿31^42^ + (alзa24¿з2¿4l)2 + (a2з¿зl¿5з)2 + (a2з¿з2¿5з)2 + (a24¿41¿5з)2 + + (a24¿42¿5з) - 2(а1за24)2 ¿31¿32¿41¿42 + 2a2зa24¿зl¿4l(¿5з) + 2a2зa24¿з2¿42(¿5з) ,
введены обозначения
¿0+ _ ¿42 д0+ _ -Ь32
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
¿11 — a13a24(a23¿32 + a24¿42)(¿31¿42 - М41)А ,
¿12 — ¿31 ((a23¿5 3 - alзa24¿32¿42) + a24¿4l((alз¿з2) + ¿5з))/К ,
¿21 — —a13a24(a23¿31 + a24¿4l)(¿зl¿42 - ¿32¿4l) / К ,
¿22 — ¿32((a23¿53 — alзa24¿31¿4l) + a24¿42((al3¿3l) + ¿5з))/К ,
¿3+ — ¿53(^31) + (a23¿32) + 2a2зa24¿32¿
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.