ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 72. Вып. 6, 2008
УДК 539.3
© 2008 г. В. Н. Паймушин
СТАТИСТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ БАЛОЧНЫЕ ФОРМЫ
ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛИННОЙ ОРТОТРОПНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ
Рассматривается цилиндрическая оболочка с закрытыми и шарнирно опертыми согласно понятиям теории стержней торцовыми сечениями под действием всестороннего внешнего давления, остающегося нормальным к боковой поверхности в процессе деформирования. Показано, что для таких оболочек построенные ранее непротиворечивые уравнения безмоментной теории, редуцированные путем использования сдвиговой модели Тимошенко к одномерным уравнениям теории стержней, описывают три формы потери устойчивости: 1) статическую, реализуемую по изгибной форме от действия торцевой суммарной сжимающей осевой силы, так как при рассматриваемых условиях закрепления ее неконсервативная часть не может совершать работу на прогибах осевой линии; 2) также статическую, но реализуемую по чисто сдвиговой форме с превращением цилиндра с нормальными срезами в цилиндр с параллельными косыми срезами, соответствующая критическая нагрузка не зависит от длины оболочки; 3) динамическую, которая реализуется по изгибно-сдвиговой форме и может быть выявлена только динамическим методом при использовании уточненной сдвиговой модели.
Обобщающие результаты исследований устойчивости цилиндрических оболочек, проводившихся многими авторами, приведены, в частности, Э.И. Григолюком и В.В. Кабановым [1]. Однако большинство из них относится лишь к исследованиям классических изгибных форм потери устойчивости (ФПУ). Наряду с такими ФПУ, как было установлено [2-4], у цилиндрических оболочек существует и ряд других (неклассических) ФПУ, которые могут реализоваться раньше классических изгибных при тех или иных видах нагружения и определенных сочетаниях определяющих физико-механических и геометрических параметров оболочки.
Ниже в продолжение предыдущих исследований [2-4] рассматривается случай, когда на цилиндрическую оболочку с закрытыми и шарнирно опертыми торцевыми сечениями действует всестороннее внешнее давление, остающееся нормальным к боковой поверхности в процессе деформирования.
1. Действие на оболочку внешнего давления неизменного направления. Рассмотрим цилиндрическую оболочку длиной L, толщиной t и радиусом срединной поверхности R, находящуюся под действием внешнего давления р. Введем координату x, отсчитываемую вдоль образующей оболочки, и полярный угол 0, отсчитываемый от некоторой плоскости. Материал оболочки считается ортотропным, имеющим упругие характеристики E1, E2, G12, v12 = v21E1/E2. В безмоментном приближении в оболочке, как известно, формируются тангенциальные усилия сжатия вида
T11 = - pR/2, Г02 = -pR
(1.1)
если давление р действует как иа боковую, так и на торцевые поверхности оболочки, или вида
Т01 = 0, Т°22 = -рЯ (1.2)
если загружена только боковая поверхность.
В случае, когда направление действия давления в процессе деформирования остается неизменным ("мертвая" [5] сила), для исследования некоторых неклассических форм потери устойчивости (ФПУ) рассматриваемой оболочки в рамках использования соотношений безмоментной теории, составленных в непротиворечивом квадратичном приближении [2], имеет место вариационное уравнение
Ь 2п 2
5И = Л £ (¿¡]8ец + ¿;з8ю;)Яйхйе = 0 (1.3)
0 0 } = 1
где
¿11 = Вп(еп+ У21е22), $12 = (В12 + т01 )е12 + В12 е21, $13= ^^ Г2 ,ЛЛ,
(1.4)
В11 = Ехг/ (1- У12 У21), 1^2; В12 = В21 = Ои I
Величины е^, связаны с перемещениями и, и, ^ точек срединной поверхности следующими зависимостями:
и е и е + w wе - V
е11 = Ux, е12 = ®1 = wx, е21 = Я е22 = -"я—' ю2 = -Я- (1.5)
Нижние индексы после запятой означают частные производные по соответствующим независимым переменным х и е. Введем обозначения
Тц = Т^/Я, В а = Ви!Я
Тогда при использовании соотношений (1.4) и (1.5), исходя из уравнения (1.3), устанавливается система однородных дифференциальных уравнений статического нейтрального равновесия оболочки
/1 = Я$11, х + ¿21,е = Ь1(w) + Т°22иее = 0
/2 = Я$12,х + ¿22,е + ¿13 = Ь2(и, и, w) + ЯТ^хх + Т2а(w,е - и) = 0 (1.6)
/з = Я$13,х + ¿23,е - ¿22 = Ьз(и,и w) + Ят0lw,xx + Т22(w,ее - и,е) = 0 где
Ь(и, и, w) = ВцЯи,хх + ^21В11+ В12)и,хе + Впи,ее + V2lВпw,x
Ь2(и, и, w) = В12Яи,хх + (V12В22 + В12)и,хе + В22(и,ее + ^е) (1.7)
Ь3(и, и, w) = - V12В22и,х - В12(и,е + w)
В случае, когда начальные усилия в оболочке, обусловленные действием внешнего давления неизменного направления, определены равенствами (1.2), решения задачи о возможных неклассических ФПУ были построены ранее [2]. Одно из них соответству-
ет реализации в оболочке ФПУ при перемещениях, имеющих нулевую изменяемость в окружном направлении, т.е. при u = u(x), и = u(x), w = w(x). В этом случае при усилиях, определяемых равенствами (1.1), уравнения (1.6) принимают вид
v21
f 1 = u,xx + "R" w,x = 0
f2 = R2(Bl2-f)u,xx + pU = 0 (1.8)
f 3 = V12 B22 u,x + B22 w + W,xx = 0
По аналогии с полученными ранее результатами [2] из второго уравнения (1.8) для
давления следует первое бифуркационное значение
2
B12 Rn „ Rn
p*i) = 2 12 - 2 ; к = Rr (1.9)
L (1+ Л/2) L
соответствующее сдвиговой ФПУ оболочки при перемещениях вида
и = V 0sin (nx/R), u = 0, w = 0 (1.10)
а из системы, состоящей из первого и третьего уравнений (1.8), следует отсутствующее в рассмотренном ранее случае [2] второе бифуркационное значение
2B
p*2) = -2-4, n = 1,2,...; B2 = e2t (1.11)
n к
причем, очевидно, что при n ^ имеем p* ^ 0. Если принять в равенстве (1.9) К = 0,
то приходим к формуле, полученной ранее [2]. Следовательно, слагаемым К2/2 в знаменателе учитывается действие внешнего давления со стороны торцевых сечений x = 0 и x = L, которое, как видно, уменьшает значение критического давления.
Второй вид решения соответствует нулевой изменяемости функций u, и, w в осевом направлении, при котором уравнения (1.6) принимают вид
f 1 = (B12- p) u,ee = 0
f2 = B22(u,ee + w,e) - p(w,e - u) = 0 (1.12)
f 3 = B22(u,e + w) + p(w,ee - U,e) = 0
Из первого уравнения (1.12), как и ранее [2], следует бифуркационное значение
p*3) = p* = B12 (1.13)
соответствующее чисто сдвиговой ФПУ, когда за счет перемещений u = U0cos e, и = 0, w = 0
исходный цилиндр с нормальными срезами после статической потери устойчивости превращается в цилиндр с косыми срезами, а система, состоящая из второго и третьего уравнений (1.12), в рамках принятого предположения об изменяемости функций перемещений абсолютно несодержательна.
Как и ранее [2], для перемещений примем представления
u = U( x) cos 0, и = V( x) sin 9, w = W(x) cos 9 (1.14)
при использовании которых уравнения (1.6) принимают вид B11RU" + (v21 Bn + B12) V-(BBi2-p)U + v21 B11W = 0
r2{bi2-2>)V" - (Vi2B22 + B12) U - (B22- p)(V + W) = 0
(1.15)
- V12 B22U-(B22-p)(V + W)-p W = 0
2
Если в системе уравнений (1.15) отбросить подчеркнутые слагаемые, что эквивалентно определению начальных усилий по формулам (1.2), то при граничных условиях U'(0) = U(L) = 0 устанавливается бифуркационное значение [2]
2
n2B1 R
p*4) = -L—2; B1 = E11 (1.16)
(1 + V12) L
соответствующее решению
U = U0sin(nx/L), V Ф 0, W Ф 0
Эта ФПУ полностью аналогична изгибной ФПУ стержня-полосы при равномерном поперечном сжатии [6], она реализуется без деформаций поперечных сдвигов. Для рассматриваемого случая, когда граничные условия формулируются в виде
S11 (0) = S11 (L) = 0, и( 0) = v(L) = w (0) = w (L) = 0 для перемещений примем представления
u = UncosKnx, и = VnsinXnx, w = WnsinXnx; Xn = nп/L, n = 1, 2,... (1.17)
подстановка которых в уравнения (1.15) приводит к однородной алгебраической системе
a 1 Un + anVn + ai3Wn = 0, i = 1, 2, 3 (1.18)
где
2
a11 = - B11RК - B12 + p, a12 = (V21 B11+ B12)^n, a13 = V21 B11^n (1 19)
a22 = - R2( ^12- p/2)^n - BÍ22 + p, a23 = ^22 + p, a33 = pKn/2- ^22 + p
Из системы уравнений (1.18) не удается определить бифуркационное значение p*, соответствующее балочной изгибной ФПУ, в виде простой аналитической формулы. Поэтому для упрощения рассматриваемой задачи без потери ее содержательности в поперечном сечении оболочки x = const вектор перемещений u произвольной точки срединной поверхности представим в виде [3, 4]
u = U(x) + j(x)x p = u(x) + j x(yj + zk) =
= Ui + Vj + Wk + (фi + yj + xk) x (yj + zk) = (1.20)
= (U + zy - yx) i + (V - z фХ) + (W + ;ф) k
где
x = R sin 0, y = R cos 0,
i = e j = e2cos 0 + m sin 0 (1.21)
k = - e2sin 0 + m cos 0
При подстановке в правую часть равенства (1.20) выражений (1.21), а в левую часть -представления u = ue1 + ue2 + wm можно установить зависимости
u = U + R(¥cos0 - xsin0), v = Vcos0 - Wsin0 - Rф, w = Vsin0 + Wcos0 (1.22)
соответствующие использованию для рассматриваемой оболочки сдвиговой модели Тимошенко, известной в теории стержней. Внеся зависимости (1.22) в равенства (1.5), получим соотношения
e11 = U' + R(v'cos0 - x'sin0), e12 = Vcos0 - Wsin0 -Rф,
(1.23)
e21 = - ¥ sin 0 - x cos 0, e22 = 0, ю1 = Vsin 0 + Wcos 0, ю2 = ф
из которых следует, что аппроксимация перемещений u, и, w зависимостями (1.22) соответствует введению предположения о нерастяжимости оболочки в окружном направлении при ее переходе в возмущенное равновесное состояние.
При использовании соотношений (1.23) и (1.4), исходя из уравнения (1.3), можно получить уравнение 2nRBnU" = 0, имеющее только тривиальное решение, обособленное уравнение
(B12 + T°1)R2 ф''- T°22 ф = 0 (1.24)
которым описывается крутильная ФПУ и из которого следует бифуркационное значение p* (формула (1.11)), а также две обособленные системы уравнений
B11 rV-B12 W - (B12 + T 02 )¥ = 0, B12( W' + ¥') + 2 T?1W" = 0
B12RY + B12V-(B12 + T°2)x = 0, B12( V"-x') + 2 T?1V = 0
Этими системами уравнений, абсолютно эквивалентными, описываются одинаковые как чисто сдвиговые ФПУ функциями x = const и ¥ = const, которым соответствует бифуркационное значение p* (формула (1.13)), так и изгибные ФПУ, реализующиеся в плоскостях x, y и x, z.
Рассматривая далее только первую из полученных систем уравнений (1.25), введем в рассмотрение функцию перемещений Ф в виде зависимостей
¥ = Ф',
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.